13/11/11
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Chapitre 5
Stabilité des systèmes
Aymeric Histace 1
Plan
n 1. Condition générale de stabilité
n 2. Critère de Routh-Hurwitz
n 3. Critère simplifié de Nyquist (critère du
revers)
Aymeric Histace 2
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Typology: Exercises
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Chapitre 5
Stabilité des systèmes
Aymeric Histace 1
Plan
n 1. Condition générale de stabilité
n 2. Critère de Routh-Hurwitz
n 3. Critère simplifié de Nyquist (critère du
revers)
Aymeric Histace 2
Plan
n 1. Condition générale de stabilité
n 2. Critère de Routh-Hurwitz
n 3. Critère simplifié de Nyquist (critère du
revers)
Aymeric Histace 3
Condition générale
n Définition
Un système est stable s'il retourne naturellement
vers son état d'équilibre après en avoir été écarté.
Aymeric Histace 4
Condition générale
n Exemples
Aymeric Histace 7 Stable Limite Instable
Condition générale
n Exemple d’un système instable
Aymeric Histace 8 Le pont Tacoma Narrows ( au Puget Sound, Washington, USA ) au moment ou les oscillations ont commencé. Le pont Tacoma Narrows au moment de la catastrophe. NOTE: Le pont était ouvert au trafic le 1 juillet 1940. Il oscillait à chaque fois que le vent se levait. Après 4 mois (i.e. 7 novembre 1940), un vent a produit des oscillations qui augmentèrent en amplitude jusqu’ à la l effondrement du pont.
Condition générale
n Définition mathématique (1) :
q Un système est stable si et seulement si sa
réponse impulsionnelle tend vers 0 lorsque t tend
vers l'infini :
Aymeric Histace 9 lim t !! " # simp ( t ) = h ( t ) = 0
Condition générale
n Conséquences sur les pôles de la FT
q Soit T la fonction de transfert d’un système
industriel. Alors :
Aymeric Histace 10 T ( p ) = N ( p ) D ( p ) Numérateur caractérisé par des zéros Dénominateur caractérisé par des pôles
Condition générale
n Conséquences sur les pôles de la FT
Aymeric Histace (^13)
h ( t ) = e
! (^) it
i = 1 n
" e^
j " it ! (^) i < 0 ! (^) i > 0
stable instable
Condition générale
n Conséquences sur les pôles de la FT
q On en déduit donc le critère de stabilité suivant :
Un système (linéaire) est stable si et seulement
si tous ses pôles sont à partie réelle strictement
négative
Aymeric Histace 14 Re( pi ) < 0
Condition générale
n Conséquences sur les pôles de la FT
q Lieu des pôles (lieu d’Evans):
Aymeric Histace 15 stable instable limite (0;0)
Condition générale
n Remarques
q Ces critères de stabilité restent difficiles à utiliser
en pratique en particulier pour les systèmes
d’ordre élevé (calcul des pôles)
q On préfèrera alors soit le critère algébrique de
Routh-Hurwitz lorsque la TBF est connue
q Le critère du revers (Nyquist simplifié) lorsque
seule la TBO est connue
Aymeric Histace 16
Critère de Routh-Hurwitz
n Principe :
q Ce critère est issu d’une méthode qui permet
de décompter le nombre de racines à partie
réelle positive ou nulle du polynôme D(p).
q Il s’applique en deux temps et ne nécessite pas
le calcul des pôles.
Aymeric Histace 19
D ( p ) = a 0 + a 1 p + a 2 p
2
+... + an! 1 p
n! 1
+ an p
n
Critère de Routh-Hurwitz
n 1 re^ partie du critère
q Tous les coefficients ai de D doivent être de
même signe et non nuls
q Dans le cas contraire le système est
instable.
Aymeric Histace 20
D ( p ) = a 0 + a 1 p + a 2 p
2
+... + an! 1 p
n! 1
+ an p
n
Critère de Routh-Hurwitz
n 2 nde^ partie du critère :
q On construit le tableau suivant : Aymeric Histace 21
Critère de Routh-Hurwitz
n 2 nde^ partie du critère :
q On construit le tableau suivant : Aymeric Histace 22 La première ligne contient les coefficients des termes en pn-2k, dans l’ordre des puissances décroissantes. La deuxième ligne contient les coefficients des termes en pn-1-2k, et se termine suivant la parité de n.
Critère de Routh-Hurwitz
n 2 nde^ partie du critère :
q Les coefficients des lignes suivantes se calculent sous forme de déterminant: q Rappel : q Si nécessaire, une case vide est prise égale à zéro. Aymeric Histace 25 a b c d = a! d " c! b
Critère de Routh-Hurwitz
n Condition de stabilité :
q Le système est stable si et seulement si tous les termes de la première colonne (colonne du pivot) sont strictement positifs. Aymeric Histace 26
Critère de Routh-Hurwitz
n Exemple 1 :
Aymeric Histace 27
Critère de Routh-Hurwitz
n Exemple 1 :
Aymeric Histace 28
Critère de Routh-Hurwitz
n Exemple 1 :
Aymeric Histace 31
Critère de Routh-Hurwitz
n Exemple 1 :
Aymeric Histace 32
Critère de Routh-Hurwitz
n Exemple 1 :
Aymeric Histace 33
Critère de Routh-Hurwitz
n Exemple 1 :
Aymeric Histace 34 b 2 = ! 1 " ( 1 " 1! 1 " 3 ) 1 = 2
Critère de Routh-Hurwitz
n Exemple 1 :
Aymeric Histace 37
Critère de Routh-Hurwitz
n Exemple 1 :
Aymeric Histace 38 b 0 = ! 1 " ( 1 " 0! 1 " 1 ) 1 = 1
Critère de Routh-Hurwitz
n Exemple 1 :
Aymeric Histace 39
Critère de Routh-Hurwitz
n Exemple 1 :
Aymeric Histace 40