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MA2001-2 C´alculo en Varias Variables
Profesor: Marcelo Leseigneur P.
Auxiliares: Mauricio Gonz´alez - Valent´ın Retamal
Fecha: 07 de Octubre de 2015
Tiempo: 3:00 hrs
Control 1
P1. Sea E = C 1 ([0 , 1]). Para cada f ∈ E definimos
‖ f ‖ A = ‖ f ‖∞ + ‖ f
′ ‖∞
= sup x ∈[0 , 1]
| f ( x )| + sup x ∈[0 , 1]
| f
′ ( x )|
‖ f ‖ B = | f (0)| + ‖ f + f
′ ‖∞
= | f (0)| + sup x ∈[0 , 1]
| f ( x ) + f
′ ( x )|
i) (2 pts.) Muestre que ‖ · ‖ A y ‖ · ‖ B son normas
ii) (2pts.) Muestre que (∃ c > 0) ‖ f ‖ B ≤ c ‖ f ‖ A
iii) (2pts.) Muestre que (@ C 1 , C 2 > 0)(∀ f ∈ E ) ‖ f ‖ A ≤ C 1 ‖ f ‖∞ , ‖ f ‖ B ≤ C 2 ‖ f ‖∞
P2. i) (2pts.) Sea f : R
2 −→ R definida como
f ( x, y ) =
x
x 2
a ) Estudie las curvas de nivel de f.
b ) Demuestre, a trav´es de las curvas de nivel de f , que l´ım ( x,y )→(0 , 0)
f ( x, y ) no existe.
ii) (4pts) Identifique cada funci´on con su gr´afico, justificando brevemente su elecci´on:
f ( x, y ) = sin(3 x ) cos(5 y ) g ( x, y ) = cos( y
2 ) h ( x, y ) = ln( x ) u ( x, y ) = cosh( xy ) e
−| xy |
P3. i) (3pts.) Determine la existencia de los siguientes l´ımites y calc´ulelo cuando sea posible:
a ) l´ım ( x,y )→(0 , 0)
2 x
3
2 − 2 y
3
x^2 + y^2
b ) l´ım ( x,y )→(0 , 0)
y 2 ( x 3
x 4
Indicaci´on: Use que | x |
3 ≤ ( x
4
4 )
3 / 4 y | y |
2 ≤ ( x
4
4 )
2 / 4
c ) l´ım ( x,y )→(0 , 0)
| xy | α
x 2 − xy + y 2
ii) (3pts.) Sea D : (C
1 (R) , ‖ · ‖ p ) −→ (C(R) , ‖ · ‖ p ) dada por
D( f ) = f
′
a ) Muestre que esta funci´on es lineal pero no es continua (verif´ıquelo para p = 1 , 2 , ∞).
b ) Sea ‖ · ‖ A la norma definida en P1. Muestre que si redefinimos D como
D : (C
1 (R) , ‖ · ‖ A ) −→ (C(R) , ‖ · ‖∞), entonces D es continua.
P4 (Bonus)
∗ (1pt.) Sea ‖ · ‖ una norma cualquiera en R
n
. Diremos que f : R
n −→ R
n es contractante si
(∃ k ∈ (0 , 1))(∀ x, y ∈ R
n ) ‖ f ( x ) − f ( y )‖ ≤ k ‖ x − y ‖
Queremos demostrar el Teorema del Punto Fijo de Banach, el que dice que si f es contractante, entonces existe un
unico ¯´ x ∈ R n tal que f (¯ x ) = ¯ x.
Para ello, fije x 0 ∈ R n y considere la sucesi´on definida por xn +1 = f ( xn ).
i) Demuestre que (∀ n ∈ N) ‖ xn +1 − xn ‖ ≤ k n ‖ x 1 − x 0 ‖
ii) Pruebe que (∀ n, p ∈ N) ‖ xn + p − xn ‖ ≤
k n
1 − k
‖ x 1 − x 0 ‖.
iii) Con lo anterior, deduzca que { xn } n es sucesi´on de Cauchy, es decir, que l´ım n →∞
‖ xn + p − xn ‖ −→ 0
Se tiene que, en (R n , ‖ · ‖), toda sucesi´on de Cauchy es convergente. Llame ¯ x al l´ımite de { xn } n.
iv) Muestre que ¯ x que satisface f (¯ x ) = ¯ x
v) Demuestre que tal ¯ x es ´unico y concluya.
∗ : El puntaje obtenido en el Bonus aplica directamente a la nota obtenida en el Control.
‖ f ‖ B = 0 ⇐⇒ | f (0)| + ‖ f + f
′ ‖∞ = 0
=⇒ f (0) = 0 , f + f
′ = 0 queda una EDO
=⇒ f (0) = 0 , f ( x ) = Ke
x usamos cond. inicial
=⇒ K = 0
=⇒ f = 0
‖ λf ‖ B = |( λf )(0)| + ‖( λf ) + ( λf )
′ ‖∞
= | λf (0)| + ‖ λf + λf
′ ‖∞
= | λ || f (0)| + | λ |‖ f + f
′ ‖∞
= | λ |(| f (0)| + ‖ f + f
′ ‖∞)
= | λ |‖ f ‖ B
‖ f + g ‖ B = |( f + g )(0)| + ‖( f + g ) + ( f + g )
′ ‖∞
= | f (0) + g (0)| + ‖ f + g + f
′
′ ‖∞
= | f (0) + g (0)| + ‖( f + f
′ ) + ( g + g
′ )‖∞
≤ | f (0)| + | g (0)| + ‖ f + f
′ ‖∞ + ‖ g + g
′ ‖∞
= ‖ f ‖ B + ‖ g ‖ B
ii)
‖ f ‖ B = | f (0)| + ‖ f + f
′ ‖∞
≤ | f (0)| + ‖ f ‖∞ + ‖ f
′ ‖∞
≤ ‖ f ‖∞ + ‖ f ‖∞ + ‖ f
′ ‖∞
≤ ‖ f ‖∞ + ‖ f ‖∞ + ‖ f
′ ‖∞ + ‖ f
′ ‖∞
= 2(‖ f ‖∞ + ‖ f
′ ‖∞)
= 2 ‖ f ‖ A
iii) Para ver que no existe forma de acotar ‖ · ‖ A y ‖ · ‖ B por ‖ · ‖∞, tomemos una sucesi´on que de norma acotada
en ‖ · ‖∞ pero no acotada para ‖ · ‖ A y ‖ · ‖ B. Sea
fn ( x ) = sin( nx )
Es claro que { fn } n
⊆ C
1 ([0 , 1]). Adem´as, (∀ n ∈ N) ‖ sin( nx )‖∞ = 1, luego ‖ sin( nx )‖∞ −→ 1. Sin embargo
‖ sin( nx )‖ A = ‖ sin( nx )‖∞ + ‖ n cos( nx )‖∞
= 1 + n −→ ∞
‖ sin( nx )‖ B = | sin( n · 0)| + ‖ sin( nx ) + n cos( nx )‖∞
1 + n^2 −→ ∞ (puede verificarlo)
P2. i) (2pts.) Sea f : R 2 −→ R definida como
f ( x, y ) =
x
x 2
a ) Estudie las curvas de nivel de f.
b ) Demuestre, a trav´es de las curvas de nivel de f , que l´ım ( x,y )→(0 , 0)
f ( x, y ) no existe.
ii) (4pts) Identifique cada funci´on con su gr´afico, justificando brevemente su elecci´on:
f ( x, y ) = sin(3 x ) cos(5 y ) g ( x, y ) = cos( y
2 ) h ( x, y ) = ln( x ) u ( x, y ) = cosh( xy ) e
−| xy |
Sol.: i) a ) Estudiamos las curvas de nivel:
c =
x
x 2
x
2
2
c
x
x
2 −
c
x + y
2 = 0
x −
2 c
4 c 2
2 = 0
x −
2 c
2
4 c 2
Son c´ırculos desplazados en el eje OX, siempre tangentes a la recta x = 0, cuyo radio disminuye conforme
aumenta c.
ii) (3pts.) Sea D : (C 1 (R) , ‖ · ‖ p ) −→ (C(R) , ‖ · ‖ p ) dada por
D( f ) = f
′
a ) Muestre que esta funci´on es lineal pero no es continua (verif´ıquelo para p = 1 , 2 , ∞).
b ) Sea ‖ · ‖ A la norma definida en P1. Muestre que si redefinimos D como
D : (C 1 (R) , ‖ · ‖ A ) −→ (C(R) , ‖ · ‖∞), entonces D es continua.
Sol.: i) a )
l´ım ( x,y )→(0 , 0)
2 x 3
x 2
= l´ım r → 0
2 r 3 cos 3 θ + r 2 sin 2 θ − 2 r 3 sin 3 θ
r 2
= l´ım r → 0
2 r (cos
3 θ − sin
3 θ ) + sin
2 θ
= sin
2 θ
Luego el l´ımite no existe, pues depende del ´angulo θ de incidencia.
b )
l´ım ( x,y )→(0 , 0)
y
2 ( x
3
2 ) + x
4
x 4
= l´ım ( x,y )→(0 , 0)
y
2 x
3
4
4
x 4
= l´ım ( x,y )→(0 , 0)
y
2 x
3
x 4
= l´ım r → 0
r
5 cos
3 θ sin
2 θ
r 4 (cos 4 θ + sin
4 θ )
= l´ım r → 0
r
cos 3 θ sin 2 θ
cos 4 θ + sin
4 θ
Esto pues cos 4 θ + sin 4 θ 6 = 0 para todo θ.
c )
l´ım ( x,y )→(0 , 0)
| xy | α
x 2 − xy + y 2
= l´ım r → 0
r α | cos θ sin θ | α
r 2 − r 2 cos θ sin θ
= l´ım r → 0
r
α − 2 | cos θ sin θ |
α
1 − cos θ sin θ
Como 1 − cos θ sin θ 6 = 0 para todo θ , el l´ımite siempre existe si α > 2, mientras que no existe si α ≤ 2.
ii) a ) Sean f, g ∈ C
1 (R), λ ∈ R. Luego
D( f + λg ) = ( f + λg )
′ = f
′
′ = D( f ) + λ D( g )
Luego D es lineal. Para ver que no es continua, hag´amoslo por caso:
p = ∞: Tomamos fn ( x ) =
sin( nx ) n y vemos que
sin( nx )
n
∞
n
Pero (^) ∥ ∥ ∥ ∥
D
sin( nx )
n
∞
= ‖ cos( nx )‖∞ = 1
Luego, fn
‖·‖∞
→ 0 pero D( fn )
‖·‖∞ 9 D(0).
p = 1: Tomamos f ( x ) = e − nx 2 y vemos que
∥ e
− nx 2
1
∞
−∞
e
− nx 2 dx =
n
∞
−∞
e
− u 2 du =
π √ n
Pero ∥ ∥ ∥D
e
− nx 2
1
∞
−∞
∣− 2 nxe
− nx 2
∣ dx = 2
∞
0
2 nxe
− nx 2 du = 2
Luego, fn
‖·‖ 1 → 0 pero D( fn )
‖·‖ 1 9 D(0).
p = 2: Nuevamente tomamos f ( x ) = e − nx 2 y vemos que
∥ e
− nx 2
2
2
∞
−∞
e
− nx 2
dx =
∞
−∞
e
− 2 nx 2 dx =
2 n
∞
−∞
e
− u 2 du =
π √ 2 n
Pero ∥ ∥ ∥D
e
− nx 2
2
∞
−∞
− 2 nxe
− nx 2
dx = 2
nπ −→ ∞
Luego, fn
‖·‖ 2 → 0 pero D( fn )
‖·‖ 2 9 D(0).
b ) Sea { fn } n ⊆ C
1 (R) tal que fn
‖·‖ A −→
f. Es decir,
‖ fn −
f ‖ A = ‖ fn −
f ‖∞ + ‖ f
′ n −^
f
′ ‖∞ −→ 0
Como ‖ g
′ ‖∞ ≤ ‖ g ‖∞ + ‖ g
′ ‖∞, se tiene que
‖D( fn ) − D(
f )‖∞ = ‖ f
′ n −^
f
′ ‖∞
≤ ‖ fn −
f ‖∞ + ‖ f
′ n −^
f
′ ‖∞
= ‖ fn −
f ‖ A −→ 0
Luego, D( fn )
‖·‖∞ −→ D(
f )
P4 (Bonus)
∗ (1pt.) Sea ‖ · ‖ una norma cualquiera en R
n
. Diremos que f : R
n −→ R
n es contractante si
(∃ k ∈ (0 , 1))(∀ x, y ∈ R
n ) ‖ f ( x ) − f ( y )‖ ≤ k ‖ x − y ‖
Queremos demostrar el Teorema del Punto Fijo de Banach, el que dice que si f es contractante, entonces existe un
unico ¯´ x ∈ R
n tal que f (¯ x ) = ¯ x.
Para ello, fije x 0 ∈ R
n y considere la sucesi´on definida por xn +1 = f ( xn ).
i) Demuestre que (∀ n ∈ N) ‖ xn +1 − xn ‖ ≤ k n ‖ x 1 − x 0 ‖
ii) Pruebe que (∀ n, p ∈ N) ‖ xn + p − xn ‖ ≤
k n
1 − k
‖ x 1 − x 0 ‖.
iii) Con lo anterior, deduzca que { xn } n es sucesi´on de Cauchy, es decir, que l´ım n →∞
‖ xn + p − xn ‖ −→ 0
Se tiene que, en (R
n , ‖ · ‖), toda sucesi´on de Cauchy es convergente. Llame ¯ x al l´ımite de { xn } n.
iv) Muestre que ¯ x que satisface f (¯ x ) = ¯ x
v) Demuestre que tal ¯ x es ´unico y concluya.
∗ : El puntaje obtenido en el Bonus aplica directamente a la nota obtenida en el Control.
