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MA2001-1 C´alculo en Varias Variables Profesor: Marcelo Leseigneur P. Auxiliares: Sim´on Pigaz- Valent´ın Retamal. Fecha: 29 de Diciembre 2014.
Pauta Control 2
P1 1) Sea D ⊆ R n^ y sea f : D → R una funci´on. Construya un esquema en que explique qu´e propociciones implican otras, y cuales son equivalentes. En los casos en que las implicancias no se cumplen, muestre un contraejemplo. a ) f es diferenciable en x 0. b ) Existen las derivadas parciales de f en x 0 c ) f es continua en x 0. d ) D~v f ( x 0 ) existe para todo v ∈ R n. e ) Existen las derivadas parciales de f en x 0 y son continuas en x 0.
- Considere la funci´on:
f ( x, y ) =
x^2 sen ( (^1) x ) + y^2 sen ( (^1) y ) si ( x, y ) 6 = (0 , 0)
x^2 sen ( (^1) x ) si y = 0 , x 6 = 0
y^2 sen ( (^1) y ) si x = 0 , y 6 = 0
0 si ( x, y ) = (0 , 0) a ) Calcule las derivadas parciales de f en todo punto (incluyendo el (0 , 0). b ) Demuestre que f es diferenciable en (0 , 0) c ) ¿Son las derivadas parciales de f continuas en (0 , 0)? Sol:
- El esquema de implicancias es:
[C^1 ] =⇒ [ Dif ] =⇒ [ deriv.direc ] =⇒ [ derivparcial ] Adem´as de [ Dif ] =⇒ [ Cont ] En t´erminos del enunciado: ( e ) =⇒ ( a ) =⇒ ( d ) =⇒ ( b ) ( a ) =⇒ ( c ) Considerando obviamente las implicancias que se deducen por transitividad.
Para los contraejemplos consideraremos: ◦ f ( x, y ) =
√ xy x^2 + y^2 (Extendida por 0 en (0 ,^ 0)) Muestra que ( b ) = 6 ⇒ ( d ) pues tiene derivadas parciales en (0 , 0), pero no tiene derivada direccional en (0 , 0) en la direcci´on v = (1 , 1).
◦ f ( x, y ) = √ xxy (^2) + y 2 (Extendida por 0 en (0 , 0)). Muestra que ( b ) = 6 ⇒ ( c ) ∨ ( a ) ∨ ( e ) Pues tiene derivadas parciales en (0 , 0), pero no es continua en (0 , 0) (por lo tanto no es diferenciable en (0 , 0), ni sus derivadas parciales son continuas en (0 , 0)).
Adem´as muestra que ( d ) = 6 ⇒ ( c ) pues existen todas sus derivadas direccionales en (0 , 0), y sin embargo no es continua.
◦ f ( x ) =
| x | (en una variable, por lo que la derivada parcial calza con la derivada usual). Muestra que ( c ) = 6 ⇒ ( a )∨( b )∨( d )∨( e ) Pues es continua en 0, sin embargo, no tiene derivadas parciales ni direccionales en 0 (por lo tanto no es diferenciable, ni tiene derivadas parciales continuas). ◦ Utilizamos tambi´en la funci´on de la parte (2) de esta misma pregunta:
f ( x, y ) =
x^2 sen ( (^1) x ) + y^2 sen ( (^1) y ) si ( x, y ) 6 = (0 , 0)
x^2 sen ( (^1) x ) si y = 0 , x 6 = 0
y^2 sen ( (^1) y ) si x = 0 , y 6 = 0
0 si ( x, y ) = (0 , 0) Muestra que ( a ) = 6 ⇒ ( e ) pues es Diferenciable, pero con derivadas parciales no continuas.
- a) Calculemos las derivadas para ( x, y ) 6 = (0 , 0).
∂f ∂x ( x, y ) = ∂x^2 sen ( (^1) x ) ∂x ( x, y )
= 2 x · sen (
x ) − cos (
x
An´alogamente ∂f ∂y ( x, y ) = 2 y · sen (
x ) − cos (
y
Por otro lado, en (0 , 0) vamos por definici´on:
∂f ∂x (0 , 0) = l´ım h → 0
f ( h, 0) − f (0 , 0) h = l´ h ım→ 0
h^2 sen ( (^1) h ) h = l´ım h → 0 h · sen (
h
(nula por acotada)
An´alogamente ∂f∂y (0 , 0) = 0. b) Veamos que es Diferenciable en (0 , 0):
l´ım ( h,k )→(0 , 0)
f ( h, k ) − ∂f∂x (0 , 0) · h − ∂f∂y (0 , 0) · k − f (0 , 0) ‖( h, k )‖ = l´ım ( h,k )→(0 , 0)
h^2 sen ( (^1) h ) + k^2 sen ( (^1) k ) √ h^2 + k^2
Consideremos Coordenadas Polares
= l´ ρ ım→ 0
ρ^2 cos^2 ( θ ) · sen ( (^) ρcos^1 ( θ ) ) + ρ^2 sen^2 ( θ ) · sen ( (^) ρsen^1 ( θ ) ) ρ = l´ ρ ım→ 0 ρ · cos^2 ( θ ) · sen
ρcos ( θ )
ρsen ( θ )
Despejando las derivadas parciales respecto de x e y , queda: ∂f ∂x
∂f ∂u
u v
∂f ∂v
∂f ∂y
uv ∂f ∂v Reemplazando en la EDP:
2 u
∂f ∂u
u v
∂f ∂v
v u
uv ∂f ∂v = 0 =⇒ 2 u ∂f ∂u = 0 =⇒ f ( u, v ) = h ( v ) + c
∴ f ( x, y ) = h ( xy^2 ) + c donde h es una funci´on diferenciable de R en R. b) (2 Puntos) Veamos primero el caso F ( x, y ) := f ( u ( x, y ) , v ( x, y )), con f , u y v diferenciables, entonces: ∂F ∂x ( x, y ) = ∂f ∂x ( u ( x, y ) , v ( x, y )) ∂u ∂x ( x, y ) + ∂f ∂y ( u ( x, y ) , v ( x, y )) ∂v ∂x ( x, y )
Reemplazando el caso particular u = v = f , tenemos: ∂F ∂x ( x, y ) =^
∂f ∂x ( f^ ( x, y ) , f^ ( x, y ))^
∂f ∂x ( x, y ) +^
∂f ∂y ( f^ ( x, y ) , f^ ( x, y ))^
∂f ∂x ( x, y )
pero ∂f ∂x ( f ( x, y ) , f ( x, y )) no es necesariamente igual a ∂f ∂x ( x, y ), pues ambas funciones est´an evaluadas en diferentes puntos. Luego la f´ormula entregada es incorrecta. Por otro lado: f ( x, y ) = x^2 + 3 xy =⇒ ∂f ∂x = 2 x + 3 y y ∂f ∂y = 3 x
Seg´un la f´ormula dada, se obtiene: ∂F ∂x = (2 x + 3 y )^2 + (2 x + 3 y )3 x = (2 x + 3 y )(5 x + 3 y ) Pero, por otra parte:
F ( x, y ) = ( x^2 + 3 xy )^2 + 3( x^2 + 3 xy )^2 = 4( x^2 + 3 xy )^2
=⇒
∂F
∂x = 8( x^2 + 3 xy )(2 x + 3 y ) Donde podemos ver que es distinto a lo que daba la formula entregada en el encunciado.
P3 i) Sea f : R^2 −→ R diferenciable. Considere g ( u ( x, y ) , v ( x, y )) = f ( x, y ), donde x = veu^ y y = ve − u. Escriba ∇ f en t´erminos de u y v. ii) Definimos las coordenadas el´ıpticas cil´ındricas por
x = α cosh( u ) cos( v ) y = α sinh( u ) sin( v ) z = z
donde u ∈ R, v ∈ [0 , 2 π ) y α es una constante no negativa. Sea f : R^3 −→ R diferenciable. Escriba ∇ f en t´erminos de u, v y z.
Sol:
a)
x = veu
y = ve − u
v = √ xy
u = 12 ln( xy )
∂v ∂x
y √ xy
e − u^ ∂v ∂y
x √ xy
eu
∂u ∂x
x
e − u v
∂u ∂y
y
eu v
∂f ∂x
∂g ∂u
∂u ∂x
∂g ∂v
∂v ∂x
e − u v
∂g ∂u
e − u^ ∂g ∂v
e − u 2
v
∂g ∂u
∂g ∂v
∂f ∂y
∂g ∂u
∂u ∂y
∂g ∂v
∂v ∂y
eu v
∂g ∂u
eu^ ∂g ∂v
eu 2
v
∂g ∂u
∂g ∂v
b) (F) x = α cosh( u ) cos( v ) (♣) y = α sinh( u ) sin( v ) (♠) z = z Derivamos con respecto a x :
(F)
∂x ( x ) =
∂x ( α cosh( u ) cos( v )) =⇒ 1 = α sinh( u ) cos( v ) ∂u ∂x
- α cosh( u ) sin( v ) ∂v ∂x
(♣)
∂x ( y ) =
∂x ( α sinh( u ) sin( v )) =⇒ 0 = α cosh( u ) sin( v ) ∂u ∂x
- α sinh( u ) cos( v ) ∂v ∂x Luego:
sinh( u ) cos( v )(F) + cosh( u ) sin( v )(♣) =⇒ ∂u ∂x =^
2 sinh( u ) cos( v ) α ( c cosh(2 u ) − cos(2 v ))
− cosh( u ) sin( v )(F) + sinh( u ) cos( v )(♣) =⇒ ∂v ∂x
2 cosh( u ) sin( v ) α ( c cosh(2 u ) − cos(2 v )) Derivamos con respecto a y :
(F)
∂y ( x ) =
∂y ( α cosh( u ) cos( v )) =⇒ 0 = α sinh( u ) cos( v ) ∂u ∂y
- α cosh( u ) sin( v ) ∂v ∂y
(♣)
∂y ( y ) =
∂y ( α sinh( u ) sin( v )) =⇒ 1 = α cosh( u ) sin( v ) ∂u ∂y
- α sinh( u ) cos( v ) ∂v ∂y Luego:
sinh( u ) cos( v )(F) + cosh( u ) sin( v )(♣) =⇒ ∂u ∂y =^
2 cosh( u ) sin( v ) α ( c cosh(2 u ) − cos(2 v ))
− cosh( u ) sin( v )(F) + sinh( u ) cos( v )(♣) =⇒ ∂v ∂y
2 sinh( u ) cos( v ) α ( c cosh(2 u ) − cos(2 v )) Es claro que ∂z ∂x
∂z ∂y
∂x ∂z
∂y ∂z = 0 y ∂z ∂z
∂f ∂x
∂g ∂u
∂u ∂x
∂g ∂v
∂v ∂x
∂g ∂z
∂z ∂x
α ( c cosh(2 u ) − cos(2 v ))
sinh( u ) cos( v ) ∂g ∂u − cosh( u ) sin( v ) ∂g ∂v
∂f ∂y
∂g ∂u
∂u ∂y
∂g ∂v
∂v ∂y
∂g ∂z
∂z ∂y
α ( c cosh(2 u ) − cos(2 v ))
cosh( u ) sin( v ) ∂g ∂u
∂f ∂y =^
∂g ∂u
∂u ∂y +^
∂g ∂v
∂v ∂y +^
∂g ∂z
∂z ∂z =^
∂g ∂z
