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Ce document explore les concepts fondamentaux de la géométrie analytique en trois dimensions, en se concentrant sur les droites et les plans dans l'espace. Il présente les équations paramétriques et cartésiennes de droites et de plans, ainsi que les méthodes de calcul de l'intersection de droites et de plans, la distance d'un point à une droite ou à un plan, et le volume d'un parallélépipède. Le document utilise des exemples concrets et des illustrations pour illustrer les concepts et les méthodes.
Typology: Study notes
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Math1-ETE
#Math1-ETE
Dans cette section, on va revoir les notions de bases de la
géométrie vectorielle.
Définition 1.
Un vecteur v → est une flèche dans le plan ou l'espace sans
attache.
Ici, le vecteur → v = AB est d'extrémité A et B. Comme un
vecteur n'a pas d'attache, on a
Les vecteurs ont 3 caractéristiques :
a) Addition
b) Multiplication par un scalaire
Etant donné un nombre λ ∈ R
∗
et un vecteur u →, on désigne par
λ
u le vecteur de longueur | λ | fois la longueur de
u , de même
direction que
u et de même sens que
u si λ > 0 et de sens
opposé si λ < 0.
De même
0 ⋅ u → =
une direction;
un sens;
une longueur.
Dans l'exemple précédent, la longueur de
n'est rien
d'autre que la distance entre les points A et B.
C'est par cette relation que l'on déduit que :
Notons d'ailleurs que AB = − BA
Définition 1.2.
On dit que les vecteurs
u et
v sont colinéaires si l'un est un
multiple de l'autre. En particulier le vecteur
0 est colinéaire
avec n'importe quel autre vecteur.
On peut mettre un système de coordonnées pour ces
vecteurs. On munit le plan d'une base orthonormée { O ,
e
1
e
2
où e →
1
et → e
2
sont deux vecteurs orthogonaux de longueur 1 tels
que pour n'importe quel point A du plan, on a l'égalité :
OA = a
1
e
1
2
e
2
Les nombres
a
1
et
a
2
sont les composantes de de
dans la
base { O , e →
1
, e →
2
}. On écrit
a
1
a
2
y= & a_2+\lambda\cdot d_
\end{array}
\right.\lambda\in\mathbb{R}
Ilyatroisièmemanièrededéfinirunedroitevial
′
équationcartésienne :
\boxed{d: ax+by+c=0}$ avec $ a , b , c ∈ R.
Ainsi, sous forme cartésienne, le vecteur
n → = ( ) est appelé
le vecteur normal de la droite d et est perpendiculaire au
vecteur directeur
d = ( ).
La droite d passant par le point A (1, 2) et de vecteur directeur
d = ( ) a pour équation :
( ) = ( ) + λ ( ) où λ ∈ R,
pour équations paramétriques
{ λ ∈ R
et pour équation cartésienne
3 x + y − 5 = 0.
a
b
− b
a
x
y
x = 1 − λ
y = 2 + 3 λ
Soient d 1
et d
2
les droites d'équations OM = OA + λ
d
1
et
OM = OB + λ
d
2
où λ ∈ R.
Si les droites se coupent au point I , il existe λ et μ tels que :
et donc
OA + λ
d
1
= OB + μ
d
2
C'est un système de deux équations pour λ et μ. On calcule λ
(ou μ ) et on en déduit que OI = OA + λ
d
1
(ou
OI = OB + μ
d
2
OI = OA + λ
d
1
OI = OB + μ
d
2
Le produit vectoriel de
v → = et
w → = est le vecteur,
noté → v ∧ w → ou → v × w →.
Il est défini par :
Soient → a = et
b =
, alors on obtient :
Le plus simple pour calculer le produit vectoriel est quand
même la règle de Sarrus :
v
1
v
2
v
3
w
1
w
2
w
3
v → ∧ w → =
v
2
w
3
− v
3
w
2
v
3
w
1
− v
1
w
3
v
1
w
2
− v
2
w
1
a ∧
b = =.
Le produit vectoriel possède les propriétés géométriques
suivantes.
u et
v sont colinéaires si et seulement si
u ∧
v =
le vecteur dont
vecteur u → et → v.
par les vecteurs
u et
v.
par les vecteurs
u et
v.
de la main droite".
On continue en investiguant ses propriétés algébriques.
On obtient également l'équation paramétrique :
5.1 Remarque
Il n'y a pas d'équation cartésienne de la droite dans l'espace
5.2 Remarque
Soient
d
1
et
d
2
les droites de vecteur directeur respectif
d
1
et
d
2
d : λ ∈ R
x = a
1
1
y = a
2
2
z = a
3
3
d
1
et
d
2
sont colinéaires alors les droites d
1
et d
2
sont
parallèles ont confondues.
Comme pour les droites dans le plan, on a la même méthode
pour calculer le point d'intersection de deux droites (cf. 3.1).
Illustrons là plutôt par l'exemple suivant :
Calculons le point d'intersection des droites d'équation
= + λ où λ ∈ R
et
= + μ où μ ∈ R
On obtient le système suivant :
Le sous-système formé des deux premières équations a pour
solutions λ = 1, μ = 2 et cette solution satisfait la troisième
équations. les droites sont donc sécantes et en désignant par
x I
; y
I
et z
I
les coordonnées de I , on obtient que :
d
1
et
d
2
ne sont pas colinéaires alors les droites d
1
et d
2
sont sécantes ou elles sont gauches
x
y
z
x
y
z
1 + λ = −2 + 2 μ
2 + 2 λ = −2 + 3 μ
5 + 3 λ = 4 μ
Considérons maintenant un vecteur n → = normal au plan
(c.à.d. un vecteur perpendiculaire au plan π ) et toujours le
point A ∈ π. Alors l'équation cartésienne du plan π est :
où d est la constante obtenue en remplaçant le point ( x , y , z )
par le point A.
Soient A , B , C , trois points non alignés d'un plan π. Alors un
vecteur normal au plan π est :
d : λ , μ ∈ R
x = p
1
1
1
y = p
2
2
2
z = p
3
3
3
a
b
c
π : ax + by + cz + d = 0
n = AB ∧ AC.
Pour le plan π passant par les points
A (1, 1, 3), B (1, 2, 0), C (0, 4, 1) on a
→ n = AB ∧ AC ∧ =.
Ainsi, on a le plan
π : 7 x + 3 y + z + d = 0
On injecte le point B dans l'équation et on obtient
7 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 + 1 ⋅ 0 + d = 0 ⟺ d = −
Ainsi, l'équation cartésienne de π est
π : 7 x + 3 y + z − 13 = 0
z=& p_3+\lambda\cdot d_
\end{array}
\right.\lambda\in\mathbb{R}
et soit $\pi$ le plan d'équation cartésienne $$\pi: ax+by+cz+d=0$$ La dro
Ensuite, on injecte x , y , z en fonction de λ dans l'équation de
plan et on détermine λ :
−3(2 − 3 λ ) + (3 + λ ) − (1 − λ ) − 18 = 0 ⟺ 11 λ − 22 = 0 ⟺ λ =
Maintenant, il nous reste plus qu'à déterminer le point
d'intersection en injectant λ dans l'équation de la droite et on
obtient le point I (−4, 5, −1).
Nous voulons à présent comprendre comment fonctionne
l'intersection de deux plans. Commençons par remarquer que
si les deux plans s'intersectent, alors leur intersection est une
droite. Regardons comment faire pour la calculer. Soient π 1
et
π
2
, deux plans non parallèles et non confondus et soient n →
1
et
n →
2
, deux vecteurs normaux à π
1
et π
2
Le vecteur
d = n →
1
∧ n →
2
est un vecteur directeur de la droite
d'intersection. Il suffit donc de déterminer un point A de la
droite d'intersection pour conclure que cette dernière a pour
équation
OM = OA + λ
d où λ ∈ R
Soient π 1
le plan d'équation :
2 x + 3 y − z = 0 (1)
et π
2
le plan d'équation :
x + 2 y + 3 z − 4 = 0 (2)
