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A
S
B
D C
O
I
1S
Géométrie dans l’espace
Exercice 1 : SABCD est une pyramide régulière à base carrée. M est le milieu de [SA], N est
le point de [SC] tel que SN = SC. O est le centre de ABCD. (SO) est donc la hauteur de la
pyramide. I est le milieu de l’arête [BC].
- Démontrer que les droites (MN) et (AC) sont sécants.
- Placer le point d’intersection de (MN) et (AC).
- Démontrer que (SO) est orthogonale à la droite (CB).
- En déduire que (CB) est orthogonale au plan (SOI).
Exercice 3 : ABCD est un tétraèdre.
- G est le barycentre des points pondérés (A ;1) , (B ;1) , (C ;2) , (D ;1).Préciser la
position de G.
- I et J sont les milieux respectifs de [AB]et [CD]. Les points E , F et H sont définis
par :
AE = a AB ; BF aBC et H milieu du segment [EF]
a. Vérifier que F est le barycentre (B ;1-a) et (C ;a), et que E est barycentre de (A ;1-a) et
(D ;a)
b. En utilisant l’associativité du barycentre montrer que H est barycentre des points
pondérées (A ;1-a) , (B ;1-a) , (C ;a) et (D ;a).
c. En déduire que les points I, J et H sont alignés
Exercice 4 : L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O , i ; j ; k ).
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D)et (D’)dans les cas
suivants :
a. (D) passe par A(-2 ;3 ;5) et B(2 ;1 ;3)
b. (D’) passe par C(1 ;2 ;3) et parallèle à (EF) avec E(0 ;2 ;3) et F(-1 ;2 ;1).
- Déterminer l’intersection des droites (D) et (D’) (s’il existe.)
- Calculer les coordonnées G du barycentre de (A ;2) ;(B ;1) ;(E ;-3) et (F ;4)
Exercice 5 : L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O , i ; j ; k ).
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D)et (D’)dans les cas
suivants :
a. (D) passe par A(1 ;2 ;3) et de vecteur directeur U (-1 ;3 ;5).
b. (D’) passe par C(0 ;1 ;4) et de vecteur directeur V (-1 ;-1 ;1).
- Quelle est la position relative des droites (D) et (D’). Soit {F} = (D)∩(D’)
- Calculer les coordonnées G du barycentre de (A ;2) ;(C ;1) ; (F ;-4).
- Trouver une représentation paramétrique puis cartésienne du plan définie par (D) et
(D’).
Exercice 6 L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O , i ; j ; k ).
(D) est la droite passe par A(1 ;-3 ;2) et de vecteur directeur U (2 ;1 ;3).
(P) est le plan d’équation : 2x-y+5z+4 = 0.
1S
- La droite (D) et le plan (P) sont- ils parallèles?
- Trouver les coordonnées du point d’intersection de (D) et (P).
- Donner une équation de la sphère (Ω) de centre A et passant par l’origine du repère.
- Quelle est l’équation de la tangente (T) passant par O de ce sphère?
- Déterminer l’intersection de la sphère (Ω) et du plan (P).
Exercice 7 : L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O , i ; j ; k ). Les points A ; B ; C
sont définies par : OA 2 i ; OB i j ; OC i j k.
- Montrer que les plans (OAB) et (ABC) sont perpendiculaires.
- a. Déterminer les équations des plans médiateurs des segments : [OA] ;[OB] et [OC].
b. Déduire le centre de la sphère circonscrit au tétraèdre OABC et le rayon de la sphère.
Exercice 8 : Soit A et B et C deux points de l’espace tels que AB = 8 ;BC = 6 et AC = 5.
Déterminer et construire dans chacun des cas l’ensemble des points M de l’ espace tel que :
a. AB. AM 12 ; b. BM. AM 12 ; c. ( MA 2 MB ).( MA MB ); d.
MA. MB 2 MA. MC
e. ( MA 2 MB ).( MA MB ) ; f.
MA MB MA MB ; g.
MA MB MC MA MB
Exercice 9 L’espace est orienté et muni d’un repère orthonormal direct O , i , j , k
. On
considère les points A, B, C de l’espace de coordonnées respectives dans ce repère :
A 2;0;0 ; B 1;3;0 ; C 1;1; 2
Soit le triangle M 1
M
2
M
3 défini par : OM aOA OM bOB OM cOC 1 2 3
; ; où a, b, c
sont trois nombres réels de l’intervalle
Le but de l’exercice est de déterminer, parmi les triangles M 1
M
2
M
3
, un triangle d’aire
maximale.
- Faites une figure.
- On pose : S OB OC S OC OA S OA OB S AB AC 1 2 3 4
;
2
1
;
2
1
;
2
1
a. Calculer les coordonnées de ces quatre vecteurs ainsi que leurs normes. On note
S la plus grande de ces normes. Prouver l’égalité : 0 4 1 2 3
S S S S
b. On pose 1 2 1 3
2
1
T M M MM interpréter géométrique la norme de T
c. Prouver l’égalité : bc S caS abS T 1 2 3
Montrer aussi que T
s’écrit sous la
forme 1 2 3 4
T ( bc x ) S ( ca x ) S ( sc x ) S xS où x un réel quelconque.
- On suppose a c et b c . En choisissant x = ab, prouver l’inégalité.
T ( bc ca ab ) S
Déduisez de l’inégalité ( )( )
2
bc ca ab c c b c a que 0 ( bc ca ab ) 1 puis
l’inégalité
T S .
- Préciser, parmi les triangles M 1
M
2
M
3 , un triangle dont l’aire est maximale.
Exercice 8
Le plan P est du repère orthonormal direct O , u , v .on considère les points d’affixes
A 2 i 2
i
M z et N z et z re
z
- P désigne le barycentre du système
M ; 2 , N ; 2
Exprimer les coordonnées de P en
fonction de r et de .
1S
2. On note M’’ l’image de M par la réflexion d’axe ( ). On se propose de déterminer
l’ensemble ( ) des points M du plan tels que A est équidistant de M’ et M’’.
a. montrer que AM’’=BM.
b. Montrer que M appartient à (
) si et seulement si CM = 2BM.
c. Déterminer la nature de (
) puis construire (
Exercice 13
Le plan P est du repère orthonormal direct O , u , v . On considère l’ensemble (E) des points
M de P de coordonnées ( x , y ) vérifiant l’équation :
2 2 2
25 x y 3 x 16
- En interprétant géométriquement l’équation (1), démontrer que (E) est une conique de foyer
O et de directrice ( ) d’équation
3
16
x
. Donner la nature et l’excentricité de (E).
Dans toute la suite de l’exercice, M désigne un point de (E) et une détermination de l’angle
u , OM .
a. Déduire de l’équation (1) une relation du premier degré entre OM et l’abscisse x de M.
b. Démontrer que
5 3 cos
16
OM .
- On suppose que
2
;
2
. La droite (OM) coupe ( ) en I et recoupe (E) en M’.
a. Démontrer que
'
1 1
OM OM
est une constante indépendante de M.
b. Démontrer que
OM OM OI
2
'
1 1
Exercice 14
FGH est un triangle équilatéral de coté l
. Soit (H ) l’ hyperbole de foyer F, de directrice
(GH) et d’ excentricité 2.
- Déterminer les sommets S et S’ de cette hyperbole (on remarquera S et S’ sont sur la
hauteur issue du sommet issue de F dans le triangle FGH) son centre O et le deuxième
foyer en fonction de F’. Calculer en fonction de l , la distance des deux sommets 2 a et la
distance des deux foyers
- On choisie le repère orthonormé direct O , u , v . Où O est le centre de l’hyperbole et u
un vecteur directeur de la demi droite
OF
; Ecrire une équation de (H ) et donner l’
allure de (H ).
Courbes paramètres
Exercice 1
Soit ( ) la courbe de représentation paramétrique suivante
cos sin
cos sin
x t t
t
y t t
Montrer que ( ) est un cercle
Représenter ( )
Exercice 2(Cardioïde)
Le plan est du repère orthonormal direct
O i j , ,
1S
1 cos cos
1 cos sin
x t t t
t
y t t t
- En utilisant la parité et la périodicité des fonctions x(t) et y(t) réduisez l’intervalle d’étude
et déterminer les symétriques de la courbe (C)
Etudier les variations des fonctions x(t) et y(t)
a) Montrer que, si t , la droite t
OM
a pour vecteur directeur u cos t i sin t j
b) Déduisez en la tangente au pont
M
de la courbe (C) puis tracer (C).
Exercice 3 ( Spiral logarithmique)
Soit
la courbe de représentation paramétrique suivante
cos
sin
t
t
x t e t
t
y t e t
Par quelle transformation passe t-on de M t à M t 2 et à M t 2
Etudier les variations t x t ( ) et t y t ( ) pour t 0; 2
Construire la courbe représentative de
constituée des points M(t) pour t 0; 2
- Déduisez-en la partie de la courbe de
constituée des points M(t) pour t 2 ; 2
Exercice 4 ( courbe de lissajou)
Soit ( ) la courbe de représentation paramétrique suivante
x t sin t
t
y t cost
Déterminer l’intervalle d’étude utile.
Etudier les variations de x t ; y t
Montrer que la courbe est inscrite dans un carré de coté 2
Déterminer les points de contact avec ce carré et les tangentes en ces points.
Tracer la courbe
Exercice5 (cyloide)
Soit
la courbe de représentation paramétrique suivante
1 sin
x t R t
t
y t R cost
- Comparer les coordonnées des points M t et M t 2 et montrer que ces points ce
correspondent dans une translation. Déduisez en l’intervalle d’étude utile
- Etudier les variations de x t ; y t et calculer le vecteur dérivée V t
- On suppose ici que t est non nul, montrer que la droite t
OM
admet un vecteur directeur
u t 1 cos t i sin t j
t t
.déterminer les limites des coordonnées de u
et déduisez
en la tangente en O à la courbe
