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Calcul Vectoriel
I – Généralités
1 – Définition d’un vecteur
2 - Egalité de deux vecteurs
Deux vecteurs 𝑢𝑢�⃗ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑣𝑣⃗ sont égaux si et seulement si ils ont même
direction, même sens et même longueur.
Si 𝐴𝐴𝐴𝐴
alors, ABDC est un parallélogramme.
Exemples :
Soit ABCD un quadrilatère montrer que si on a 𝐴𝐴𝐴𝐴
alors ABDC est un parallélogramme
ABCD un quadrilatère donc (AB) et (CD) ne sont pas confondus et comme 𝐴𝐴𝐴𝐴
signifie que
(AB) et (CD) sont parallèles de même on a AB = CD donc les segments
[
]
et
[
]
sont parallèles et
isométriques d’où ABDC est parallélogramme
II – Addition des vecteurs
1 – Définition
2 – Propriétés
Soient 𝑢𝑢�⃗ , 𝑣𝑣⃗ et 𝑤𝑤��⃗ trois vecteurs du plan on a : 𝑢𝑢�⃗ + 𝑣𝑣⃗ = 𝑣𝑣⃗ + 𝑢𝑢�⃗ ; (𝑢𝑢
Un vecteur est caractérisé par :
Sa direction Son sens Sa norme
Remarque : De ce fait, un vecteur peut être déplacé n'importe où dans le plan, à condition
que ses trois composantes, direction, sens et longueur ne changent pas.
Soient 𝑢𝑢�⃗ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑣𝑣⃗ et trois points A, B et C du plan tel que 𝑢𝑢�⃗ = 𝐴𝐴𝐴𝐴
.Soit D le point [𝐴𝐴𝐶𝐶] 𝑒𝑒𝑒𝑒 [𝐴𝐴𝐶𝐶]
aient le même milieu.
On appelle vecteur somme de ��𝑢𝑢�⃗ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑣𝑣⃗ , le vecteur 𝑤𝑤��⃗ tel que ��𝑤𝑤��⃗ = 𝐴𝐴𝐶𝐶
, le vecteur 𝑤𝑤��⃗ est noté 𝑢𝑢�⃗ + 𝑣𝑣⃗
C
D
A
B
2
A B
u
M
3 – L’opposé d’un vecteur
Exemples :
1 ) Soient 𝑢𝑢�⃗ , 𝑣𝑣⃗ et 𝑤𝑤��⃗ trois vecteurs du plan, déterminer −
2 ) Simplifier les écritures suivantes :
1
2
1
2
1
2
4
2
5
2
III – Multiplication d’un vecteur par un réel
1 – Multiplication d’un vecteur par un réel
a – Définition
Soient A un point du plan, 𝑢𝑢�⃗ un vecteur non nul et B un point tel que 𝑢𝑢�⃗ = 𝐴𝐴𝐴𝐴
. Soit 𝛼𝛼 un réel et M le
point de (𝐴𝐴𝐴𝐴) d’abscisse 𝛼𝛼 dans le repère (𝐴𝐴, 𝐴𝐴). On appelle vecteur produit de 𝑢𝑢�⃗ par 𝛼𝛼, le
vecteur 𝑣𝑣⃗ tel que 𝑣𝑣⃗ = 𝐴𝐴𝐴𝐴
Si 𝛼𝛼 =0, 𝑣𝑣⃗ = 0. 𝑢𝑢�⃗ = 0
Si 𝛼𝛼 >0, 𝑢𝑢�⃗ et𝑣𝑣⃗ ont même sens, même direction mais de longueurs
différentes.
Si 𝛼𝛼 <0, 𝑢𝑢�⃗ et𝑣𝑣⃗ ont même direction, mais sont de sens opposés et
n'ont pas même longueur.
Soit 𝑢𝑢��⃗ un vecteur du plan, l’unique vecteur 𝑣𝑣��⃗ tel que 𝑢𝑢��⃗ + 𝑣𝑣��⃗ = 0
s’appelle l’opposé de 𝑢𝑢��⃗. Il est
noté −𝑢𝑢�⃗ .Ainsi on a 𝑢𝑢��⃗ + (−𝑢𝑢�⃗ ) = (−𝑢𝑢�⃗ ) + 𝑢𝑢��⃗ = 0
Si 𝐴𝐴𝐴𝐴
un vecteur, on note 𝐴𝐴𝐴𝐴
le vecteur opposé à 𝐴𝐴𝐴𝐴
. En
pratique 𝐴𝐴𝐴𝐴
, est de sens contraire à 𝐴𝐴𝐴𝐴
Remarques : 𝐴𝐴𝐴𝐴
vecteur nul. (d'après Chasles)
Soustraire 2 vecteurs correspond à additionner l'un avec l'opposé du 2
nd
4
3 ) Préciser si les vecteurs 𝑢𝑢�⃗ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑣𝑣⃗ sont colinéaires 𝑢𝑢�⃗ �
3
− √
3
� et 𝑣𝑣⃗ �
√ 3
− 1
3
− √
2
� et 𝑣𝑣⃗ �
√ 3
2
3
−√ 3
√
3
1
3 � = − 3 + 3 = 0 donc 𝑢𝑢�⃗ �
3
− √
3
� et 𝑣𝑣⃗ �
√ 3
− 1
� sont colinéaires
3
− √
2
√
3
2
� = 3 𝑥𝑥 2 − √ 3 �−√ 2 � = 6 + √ 6 ≠ 0 donc 𝑢𝑢�⃗ �
3
−√ 3
� et 𝑣𝑣⃗ �
√ 3
− 1
� ne sont pas
colinéaires
IV – Repère cartésien du plan
Soit O un point du plan et B =(𝑖𝑖⃗ , 𝑗𝑗⃗ ) une base de l’ensemble des vecteurs du plan.
(𝑂𝑂, 𝑖𝑖⃗ , 𝑗𝑗⃗ ) est appelé repère cartésien du plan.
Soit M un point du plan. Le couple de coordonnées du
point M dans le repère cartésien (𝑂𝑂, 𝑖𝑖⃗ , 𝑗𝑗⃗ ) est l’unique
couple (𝑥𝑥 , 𝑦𝑦)de réels tel que 𝑂𝑂𝐴𝐴
Le réel 𝑥𝑥 est l’abscisse du point M et le réel 𝑦𝑦 est
l’ordonnée du point M, dans le repère
cartésien (𝑂𝑂, 𝑖𝑖⃗ , 𝑗𝑗⃗ ). On note 𝐴𝐴(𝑥𝑥 , 𝑦𝑦).
Le point O est appelé origine du repère ; (𝑂𝑂, 𝑖𝑖⃗ ) est appelé l’axe des abscisses ; (𝑂𝑂, 𝑗𝑗⃗ ) est appelé
l’axe des ordonnées.
Exemples :
Le plan est muni d’un repère cartésien (𝑂𝑂, 𝑖𝑖⃗ , 𝑗𝑗⃗ ). Soit A(1 , 2) et B(- 3 , 4) déterminer les composantes
du vecteur 𝐴𝐴𝐴𝐴
= (− 3 − 1 )𝑖𝑖⃗ + ( 4 − 1 )𝑗𝑗⃗ = − 4 𝑖𝑖⃗ + 3 𝑗𝑗⃗ donc 𝐴𝐴𝐴𝐴
− 4
3
V – Norme d’un vecteur – Vecteurs orthogonaux
1 – Norme d’un vecteur
a - Définition
Soient A un point du plan, 𝑢𝑢�⃗ un vecteur et soit B le point tel que 𝑢𝑢�⃗ = 𝐴𝐴𝐴𝐴
. On appelle norme du
vecteur 𝑢𝑢�⃗ le réel noté ‖𝑢𝑢�⃗ ‖ et qui est égal à la distance AB.
Lorsque
= 1 , on dit que 𝑢𝑢�⃗ est un vecteur unitaire ou normé.
b – Propriétés
Pour tout vecteurs 𝑢𝑢�⃗ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑣𝑣⃗ et pour tout réel 𝛼𝛼 on a:
= 0 é𝑞𝑞𝑢𝑢𝑖𝑖𝑣𝑣𝑞𝑞𝑢𝑢𝑒𝑒 à 𝑢𝑢�⃗ = 0
O
1
1
M(x,y)
y
x
i
j
Mr SAHNOUN
Prof mathématique
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c - Distance de deux points – Expression de la norme d’un vecteur
Si dans une base (𝑖𝑖⃗ , 𝑗𝑗⃗ ) on a 𝑢𝑢�⃗
𝑥𝑥
𝑦𝑦
alors
2
2
Si dans un repère cartésien (𝑂𝑂, 𝑖𝑖⃗ , 𝑗𝑗⃗ ) on a 𝐴𝐴(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐴𝐴(𝑥𝑥
′
′
) alors
′
2
′
2
2 – Vecteurs orthogonaux
a - Définition
Soit A un point du plan et soient 𝑢𝑢�⃗ et 𝑣𝑣⃗ deux vecteurs non nuls du plan. Soient B et C les points tel
que 𝑢𝑢�⃗ = 𝐴𝐴𝐴𝐴
et 𝑣𝑣⃗ = 𝐴𝐴𝐶𝐶
On dit que les vecteurs 𝑢𝑢�⃗ et 𝑣𝑣⃗ sont orthogonaux si les droites (𝐴𝐴𝐴𝐴)𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝐴𝐴𝐶𝐶) sont perpendiculaires
Par convention le vecteur 0
est orthogonal à tout vecteur du plan.
Si les vecteurs 𝑢𝑢�⃗ et 𝑣𝑣⃗ sont orthogonaux, on écrit 𝑢𝑢�⃗ ⊥ 𝑣𝑣⃗ et on lit le vecteur 𝑢𝑢�⃗ est orthogonal au
vecteur 𝑣𝑣⃗
b – Base orthonormée
On dit qu’une base B =(𝑖𝑖⃗ , 𝑗𝑗⃗ ) est une base orthonormée, si les vecteurs 𝑖𝑖⃗ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑗𝑗⃗ sont orthogonaux et
sont normés. Ainsi (B =(𝑖𝑖⃗ , 𝑗𝑗⃗ ) est une base orthonormée) si et seulement si (𝑖𝑖⃗ ⊥ 𝑗𝑗⃗ et ‖𝑖𝑖⃗ ‖ = ‖𝑗𝑗⃗ ‖ = 1 )
On dit que le repère (𝑂𝑂, 𝑖𝑖⃗ , 𝑗𝑗⃗ ) est un repère orthonormé du plan si la base B =(𝑖𝑖⃗ , 𝑗𝑗⃗ ) est une base
orthonormé de l’ensemble des vecteurs du plan.
c – Condition analytique de l’orthogonalité de deux vecteurs
Soit (𝑂𝑂, 𝑖𝑖⃗ , 𝑗𝑗⃗ ) est un repère orthonormé du plan, soient 𝑢𝑢�⃗ �
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑥𝑥′
𝑦𝑦′
� dans la base (𝑖𝑖⃗ , 𝑗𝑗⃗ )
Les vecteurs 𝑢𝑢�⃗ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑣𝑣⃗ sont orthogonaux : (𝑢𝑢�⃗ ⊥ 𝑣𝑣⃗ équivaut 𝑥𝑥𝑥𝑥
′
′
Exemples :
1 ) Calculer la norme du vecteur ��𝑢𝑢�⃗ �
√
3
2
1
2
� ; on a
√ 3
2
2
1
2
2
3
4
1
4
2 ) Soient les deux points A(- 2 ,-4) et B(3 , 5) Calculer la distance AB
2
2
2
2
3 ) soient 𝑢𝑢�⃗ �
3
− 1
2
6
� dans la base (𝑖𝑖⃗ , 𝑗𝑗⃗ ) déterminer si Les vecteurs 𝑢𝑢�⃗ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑣𝑣⃗ sont orthogonaux
on a 3 𝑥𝑥 2 +
= 0 donc 𝑢𝑢�⃗ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑣𝑣⃗ sont orthogonaux
