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Un problème d'alignement Soit un parallélogramme ABCD.
Le point I est le milieu de [BC] et le point E est défini par
→ AE =
→ AC.
Démontrer que les points D, E et I sont alignés. Il faut démontrer que les vecteurs
→ DE et
→ DI sont colinéaires. 1 ière^ méthode. Exprimera
→ DE et en fonction de
→ DA et
→ DC (par exemple). 2 ième^ méthode. On utilise un repère (D,A,B) (par exemple) a) Quelles sont les coordonnées des points A, B, C et D? b) Quelles sont les coordonnées des points I et E? c) Quelles sont les coordonnées des vecteurs
→ DE et
→ DI Conclure Un problème de parallélisme Soit un triangle DIM. Soit A le milieu de [DM]. Construire les points T et H tels que :
→ DT = 4
→ DI et
→ IH = 3
→ IM. On veut démontrer que (TH) est parallèle à (IA). Il faut démontrer que les vecteurs
→ IA et
→ TH sont colinéaires. 1 ière^ méthode. Exprimera
→ IA et
→ TH en fonction de
→ ID et
→ IM (par exemple). 2 ième^ méthode. On utilise un repère (I,
→ ID ,
→ IM) (par exemple) a) Quelles sont les coordonnées des points I, D et M? b) Quelles sont les coordonnées des points A T et H? c) Quelles sont les coordonnées des vecteurs
→ IA et
→ TH? Conclure Dans un repère Soit A(– 2 ; 1) , B(– 1 ; 4) et C(2 ; 3). 1° Soit M le symétrique de A par rapport à B. Soit N le symétrique de A par rapport à C. Calculer les coordonnées des points M et N. 2° Soit P et Q les points définis par ,
→ AP = – 3
→ AB et
→ AQ = –
→ AC. a) Calculer les coordonnées des points P et Q. b) Démontrer que les droites(MN) et (PQ) sont parallèles. Parallélogramme Soit le parallélogramme CHAT de centre O et soit I le milieu de [AT]. 1° Montrer que
→ HT = 2
→ OT et exprimer
→ →^ CA en fonction de OA. En déduire que
→ HT +
→ CA= 4
→ OI 2° La droite (CI) coupe (OT) en L. et la droite (HI ) coupe (OA) en K. a) Démontrer que L est le centre de gravité du triangle CAT.
b) Démontrer que :
→ IL =
→ IC et
→ IK =
→ IH.
c) Démontrer que les droites (KL) et (HC) sont parallèles. Deux méthodes Soit ABCD un parallélogramme. Construire les points E, F et G tels que→ DE = 2
→ DB ;
→ CF = 5
→ CA ;
→ BG = 3
→ AB. 1° On se propose de démontrer que les points E, F et G sont alignés de deux manières différentes. 1 ière^ méthode a) Démontrer que :
→ GE = – 2
→ AB –
→ AD et
→ EF = – 6
→ AB – 3
→ AD. b) Démontrer que les points E, F et G sont alignés. 2 ième^ méthode On se place dans le repère (A ,
→ AB ,
→ AD) a) Déterminer les coordonnées des points A, B, C et D. b) Calculer les coordonnées des points E, F et G. c) Démontrer que les points E, F et G sont alignés. 2° Construire le point H tel que : 3
→ AH = 4
→ DB. Les points H, E, F et G sont-ils alignés? Justifiez votre réponse en utilisant une des deux méthodes proposées au choix.
H A
C T
O I K
L
Un problème d'alignement I milieu de [BC] et
→→→→ AE =
→→→→ AC.
1 ière^ méthode. → DE =
→ DA +
→ AE =
→ DA +
→ AC =
→ DA +
→ AD +
→ DC =
→ DA –
→ AD +
→ DC =
→ DA +
→ DC → DI =
→ DC +
→ CI =
→ DC +
→ CB =
→ DA +
→ DC
2
→ DI =
→ DA + 2
→ DC = 3
→ DE. les vecteurs
→ DE et
→ DI sont donc colinéaires. 2 ième^ méthode Avec le repère (D ,
→ DA ,
→ DC) a) A(1 , 0), B (1 , 1), C (0 , 1) et D (0 , 0)
b) I
donc I
→ AE (^)
x – 1 y – 0 et^
→ AC (^)
→ AE =
→ AE ⇔
(^) x – 1 = – 2/ y = 2/3 ⇔^
(^) x = 1/ y = 2/3 E^
c)
→ DE (^)
→ DI (^)
- On a :
× 1 –
×
= 0 les vecteurs
→ DE et
→ DI sont donc colinéaires.
Avec le repère (A ,
→ AB ,
→ AD) le calcul des coordonnées de E est plus simple.
a) A (0 , 0), B (1 , 0), C (1 , 1), D (0 , 1) b) I
E
c)
→ DE (^)
→ DI (^)
×
× 1 = –
= 0 les vecteurs
→ DE et
→ DI sont donc colinéaires.
Un problème de parallélisme A le milieu de [DM],
→→→→ DT = 4
→→→→ DI et
→→→→ IH = 3
→→→→ IM. 1 ière^ méthode.
→ IA =
→ IM +
→ MA =
→ IM +
→ MD =
→ IM +
→ MI +
→ ID =
→ IM +
→ ID
→ TH =
→ TD +
→ DI +
→ IH = 4
→ ID +
→ DI + 3
→ IM = 3
→ IM + 3
→ ID → TH =
→ IA donc
→ IA et
→ TH sont colinéaires donc (TH) est parallèle à (IA).
2 ième^ méthode. Repère (I,
→ ID ,
→ IM) a) I (0 , 0), D (1 , 0), M (0 , 1)
b) A
donc A
→ DT (^)
x – 1 y – 0 et^
→ DI (^)
0 On a :^
→ DT = 4
→ DI ⇔
(^) x – 1 = – 4 y = 0 T (– 3 , 0) → IH (^)
x y et^
→ IM (^)
1 On a :^
→ IH = 3
→ IM ⇔ (^)
(^) x = 0 y = 3 H (0 , 3)
c)
→ IA (^)
→ TH (^)
× 3 – 3 ×
= 0 les vecteurs
→ IA et
→ TH sont colinéaires donc les droites (IA) et
(TH) sont parallèles Dans un repère A(– 2 ; 1) , B(– 1 ; 4) et C(2 ; 3).
1° M symétrique de A par rapport à B. B milieu de [AM] : x – 2 2 = – 1 et y + 1 2
= 4 M (0 , 7)
→ AN (^)
x + 2 y – 1 et^
→ AC (^)
3 – 1 N symétrique de A par rapport à C.^
→ AN = 2
→ AC ⇔
(^) x + 2 = 8 y – 1 = 4 N (6 , 5).
2° a)
→ AP (^)
x + 2 y – 1 et^
→ AB (^)
4 – 1. On a :^
→ AP = – 3
→ AB ⇔ (^)
(^) x + 2 = – 3 y – 1 = – 9 P ( – 5 , – 8) → AQ (^)
x + 2 y – 1 et^
→ AC (^)
3 – 1. on a :^
→ AQ = –
→ AC ⇔
(^) x + 2 = – 12 y – 1 = – 6 Q ( – 14 , – 5)
b)
→ MN (^)
5 – 7 donc^
→ MN (^)
– 2 ,^
→ PQ (^)
→ PQ (^)
- 6^ ×^ 3 – (– 2)^ ×^ (– 9) = 0 Les vecteurs^
→ MN et → PQ sont colinéaires donc les droites (MN) et (PQ) sont parallèles.
D
I M
A
T
H
Deux méthodes 1°
→ DE = 2
→ DB ;
→ CF = 5
→ CA ;
→ BG = 3
→ AB. 1 ière^ méthode a)
→ GE =
→ GB +
→ BD +
→ DE = – 3
→ AB +
→ BA +
→ AD + 2
→ DB = – 4
→ AB +
→ AD + 2
→ DA + 2
→ AB = – 2
→ AB –
→ →^ AD EF =
→ ED +
→ DC +
→ CF = 2
→ BD +
→ AB + 5
→ CA = 2
→ BA + 2
→ AD +
→ AB + 5
→ CD + 5
→ DA = – 2
→ AB + 2
→ AD +
→ AB – 5
→ AB – 5
→ AD = – 6
→ AB – 3
→ AD = 3
→ GE b) Les vecteurs
→ GE et
→ EF sont colinéaires donc les points E, F et G sont alignés. 2 ième^ méthode Repère (A ,
→ AB ,
→ AD) a) A (0 , 0), B(1 , 0), C (1 , 1) et D (0 , 1).
b)
→ DE (^)
x – 0 y – 1 et^
→ DB (^)
0 – 1. On a :^
→ DE = 2
→ DB ⇔ (^)
(^) x = 2 y – 1 = – 2 E (2 , – 1) → CF (^)
x – 1 y – 1 et^
→ CA (^)
→ CF = 5
→ CA ⇔
(^) x – 1 = – 5 y – 1 = – 5 F (– 4 , – 4) → BG (^)
x – 1 y – 0 et^
→ AB (^)
- On a :^
→ BG (^)
x – 1 y – 0 = 3^
→ AB (^)
0 ⇔^
(^) x – 1 = 3 y = 0 G (4 , 0)
c)
→ EF (^)
→ EF (^)
– 3.^
→ EG (^)
0 + 1 donc^
→ EG (^)
1 On a^
→ EF = – 3
→ EG.
2°
→ AH (^)
x y et^
→ DB (^)
0 – 1. On a : 3^
→ AH = 4
→ DB ⇔
(^) 3 x = 4 3 y = – 4 H^
→ EH (^)
→ EH (^)
→ EG (^)
- On a : –
× 1 – 2 ×
Les vecteurs
→ EH et
→ GE sont colinéaires donc les points E, H et G sont donc alignés avec E et F.
Autre méthode.
→ EH =
→ ED +
→ DA +
→ AH = 2
→ BD –
→ AD –
→ BD = –
→ AD +
→ BD = –
→ AD –
→ AB +
→ AD
= –
→ AB –
→ AD =
→ GE (
→ GE = – 2
→ AB –
→ AD )
Les vecteurs
→ EH et
→ GE sont colinéaires donc les points E, H et G sont donc alignés avec E et F.
