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Ondes et Signaux

CHAPITRE 4

Circuit linéaire

du 2

nd

ordre

Prof N’CHO Janvier Sylvestre

Introduction

Ce chapitre concerne l’étude de la réponse temporelle de

systèmes d’ordre deux, qu’ils soient électriques ou

mécaniques. Nous étudierons essentiellement le circuit RLC

série comme modèle de l’oscillateur amorti. Nous verrons en

effet qu’une analogie électromécanique permet d’identifier

formellement cet oscillateur amorti (du fait de l’existence

d’une résistance dans le circuit) à l’oscillateur mécanique

(masse relié à un ressort et astreinte à se déplacer suivant l’axe

horizontal) amorti par frottement visqueux (c’est-à-dire que la

force de frottement est proportionnelle à la vitesse).

 un générateur de tension continue de 𝑓. é. 𝑚 est branché aux bornes du circuit 𝑅𝐿𝐶 ;  pour 𝑡 < 0, le condensateur est déchargé et l’interrupteur 𝐾 est ouvert;  à l’instant 𝑡 = 0, on ferme l’interrupteur 𝐾 : le générateur débite alors un courant dans le circuit.  Dans ce circuit 𝑖 est l’intensité du courant, 𝑈𝐾 la tension aux bornes de l’interrupteur, 𝑈𝐶 la tension aux bornes du condensateur, 𝑈𝐿 la tension aux bornes de l’inductance et 𝑈𝑅 la tension aux bornes de la résistance. En convention récepteur on a : 𝑈𝑅 = 𝑅𝑖 𝑈𝐿 = 𝐿 𝑑𝑡𝑑𝑖

𝑖 =

𝑑𝑞 𝑑𝑡 = 𝐶

𝑑𝑈𝐶 et (^) 𝑑𝑡 𝑈𝑅 = 𝑅𝐶

𝑑𝑈𝐶 𝑑𝑡

𝑈𝐿 = 𝐿𝐶

𝑑^2 𝑈𝐶 𝑑𝑡^2

et

 Pour 𝑡 < 0, l’interrupteur 𝐾 est ouvert : 𝒊 = 𝟎; 𝑼𝑹 = 𝑼𝑪 = 𝑼𝑳 = 𝟎; 𝑼𝑲 = 𝑬

En remplaçant 𝑈𝑅 , 𝑈𝐶 et 𝑈𝐿 par leur expression, la tension 𝑼𝑪 aux bornes d’un circuit 𝑹𝑳𝑪 série soumis à l’échelon de tension 𝑬 vérifie l’équation différentielle de second ordre :

𝒅𝒕𝟐^

 Pour 𝑡 ≥ 0, l’interrupteur 𝐾 est fermé : 𝑈𝐾 = 0 (tension aux bornes d’un fil donc même potentiel). En appliquant la loi des mailles on a : 𝑼𝑹 + 𝑼𝑳 + 𝑼𝑪 = 𝑬

𝒅𝟐𝑼𝑪 𝒅𝒕𝟐^

• 𝟐𝜶𝝎𝟎

𝒅𝑼𝑪 𝒅𝒕

• 𝝎𝟎𝟐𝑼𝑪 =

𝑬 𝑳𝑪

L’équation différentielle devient :

La solution générale de cette équation différentielle est la somme de deux solutions :

Deux conditions initiales sur 𝑼𝑪 𝒕 sont nécessaires pour déterminer complètement la solution générale.



La réponse du régime transitoire 𝑈𝐶𝑡𝑟 𝑡 est solution de l’équation différentielle du second ordre sans second membre,

𝒅𝟐𝑼𝑪𝒕𝒓 𝒅𝒕𝟐^

• 𝟐𝜶𝝎𝟎

𝒅𝑼𝑪𝒕𝒓 𝒅𝒕

• 𝝎𝟎𝟐𝑼𝑪𝒕𝒓 = 𝟎

On cherche une solution de la forme 𝑒𝑟𝑡^ que l’on réinjecte dans l’équation précédente. On arrive à l’équation caractéristique de la forme :

𝑟^2 + 2𝛼𝜔 0 𝑟 + 𝜔 02 = 0 ou 𝑟^2 +

𝜔 0 𝑄

𝑟 + 𝜔 02 = 0

 Le régime apériodique : ∆> 𝟎 ⇒ 𝜶 > 𝟏 𝐨𝐮 𝑸 < 𝟏 ⁄𝟐

Le polynôme caractéristique admet 2 racines négatives :

𝒓𝟏 = −𝜶𝝎𝟎 −

∆ 𝟐

= −𝝎𝟎 𝜶 + 𝜶𝟐^ − 𝟏 = −

𝝎𝟎 𝟐𝑸

𝟏 + 𝟏 − 𝟒𝑸𝟐

𝒓𝟐 = −𝜶𝝎𝟎 +

∆ 𝟐

= −𝝎𝟎 𝜶 − 𝜶𝟐^ − 𝟏 = −

𝝎𝟎 𝟐𝑸

𝟏 − 𝟏 − 𝟒𝑸𝟐

La solution générale de l’équation différentielle sans second membre est : 𝑢𝐶𝑡𝑟 = 𝐴 1 𝑒𝑟^1 𝑡^ + 𝐴 2 𝑒𝑟^2 𝑡 La solution générale de l’équation différentielle est donc : 𝑈𝐶 = 𝑢𝐶𝑡𝑟 + 𝐸 ⟹ 𝑈𝐶 = 𝐴 1 𝑒𝑟^1 𝑡^ + 𝐴 2 𝑒𝑟^2 𝑡^ + 𝐸

Application des conditions de continuité

La tension 𝑈𝐶 aux bornes du condensateur et l’intensité 𝑖 du

courant dans l’inductance sont continues. À l’instant 𝑡 = 0, les

conditions initiales sur la tension et l’intensité s’écrivent donc :

𝑈𝐶 𝑡 = 0 et 𝑖 𝑡 = 0 = 0.

Les deux contions initiales permettant de trouver les constantes

sont :

𝒆𝒓𝟏𝒕^ −

𝒆𝒓𝟐𝒕^ + 𝟏

La tension 𝑈𝐶 aux bornes du condensateur a pour expression :

La tension 𝒖 tend vers sa valeur finale sans osciller , ce qui justifie le nom donné à ce régime. Le régime apériodique s’observe pour de faibles valeurs du facteur de qualité c’est-à-dire pour une valeur élevée de la résistance ( amortissement trop fort ).

 Le régime pseudopériodique : ∆< 𝟎 ⇒ 𝜶 < 𝟏 𝐨𝐮 𝑸 > 𝟏 ⁄𝟐

Le polynôme caractéristique admet 2 racines complexes conjuguées à partie réelle négative :

En posant :

Ω^2 = −∆′= −𝜔 02 𝛼^2 − 1 ⇒ Ω = 𝜔 0 1 − 𝛼^2 = 𝜔 0 1 −

4𝑄^2

Ω est appelée la pseudo-pulsation dont la pseudo-période est :

4𝑄^2

4𝑄^2 − 1

La tension 𝑈𝐶𝑡𝑟 aux bornes du condensateur a pour expression :

𝑼𝑪𝒕𝒓 𝒕 = −𝑬𝒆−𝜶𝝎𝟎𝒕^ 𝒄𝒐𝒔 𝛀𝒕 +

𝜶𝝎𝟎 𝛀

𝒔𝒊𝒏 𝛀𝒕

La tension 𝑈𝐶 aux bornes du condensateur a pour expression :

Le régime pseudopériodique s’observe pour des valeurs élevées du facteur de qualité donc pour des valeurs faibles de résistance ( amortissement faible )

𝑼𝑪 𝒕 = 𝑬 𝟏 − 𝒆−𝜶𝝎𝟎𝒕^ 𝒄𝒐𝒔 𝛀𝒕 +

𝜶𝝎𝟎 𝛀

𝒔𝒊𝒏 𝛀𝒕

L’évolution de 𝑈𝐶 𝑡 donne lieu à des oscillations amorties. La durée caractéristique de la décroissance est donnée par : 𝝉 = 𝟐𝑸 𝝎⁄ 𝟎 En régime pseudo-périodique, la pseudo-période 𝑻 des oscillations amorties est constante mais diffère de la période propre.

La tension 𝑈𝐶𝑡𝑟 aux bornes du condensateur a pour expression :

𝑼𝑪𝒕𝒓 𝒕 = −𝑬(𝟏 + 𝝎𝟎𝒕)𝒆−𝝎𝟎𝒕

La tension 𝑈𝐶 aux bornes du condensateur a pour expression :

Le circuit atteint le régime permanent sans osciller car l’amortissement est devenu trop important. Il s’agit du cas où l’équilibre (régime permanent) est atteint le plus rapidement.

𝑼𝑪 𝒕 = 𝑬 𝟏 − (𝟏 + 𝝎𝟎𝒕)𝒆−𝝎𝟎𝒕

Quand 𝑄 = 1 2⁄^ alors 𝑅 = 𝑅𝐶 = 2

𝐿 𝐶 ,^ on^ parle^ de résistance critique.