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Variables aléatoires discrètes
Variables aléatoires continues
- Variable aléatoire Table des matières - I.1 Notion de variable aléatoire discrète - I.2 Loi d’une variable aléatoire - I.3 Espérance d’une variable aléatoire - I.4 Variance et écart-type d’une variable aléatoire - I.5 Transformation affine d’une variable aléatoire
- II Couples de variables aléatoires - II.1 Definition - II.2 Indépendance de deux variables aléatoires - II.3 somme de variables aléatoires
- III Lois fondamentales - III.1 Loi de bernouilli - III.2 loi binomiale - III.3 loi de Poisson
- IV Variable aléatoire continue - IV.1 Notion de variable aléatoire continue - IV.2 Fonction de répartition - IV.3 Densité et loi de probabilité - IV.4 Espérance et variance
- V La loi Normale - V.1 Définition et cadre naturel d’apparition - V.2 Loi normale centrée réduite N (0; 1) - V.3 Utilisation de la table de la loi normale - V.4 Lien avec la loi normale - V.5 Opérations de variables suivant une loi normale
iset rades classe cd1 Variables aléatoires discrètes 2021 − 2022
I Variable aléatoire
I.1 Notion de variable aléatoire discrète
Définition 1 Une grandeur numérique X prenant, lors d’une expérience aléatoire, des valeurs x 1 , x 2 , ..., xn avec des probabilités p 1 , p 2 , ..., pn est une variable aléatoire discrète.
Exemple 1 Un jeu de hasard consiste à lancer un dé équilibré à 6 faces. Le lanceur gagne la somme double de la valeur de la face obtenue si celle-ci est paire, sinon, il perd le double de la valeur indiquée par le dé. On appelle X le gain, positif ou négatif, du joueur après un lancer. Ô Ici, l’ensemble des issues possibles est Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, Ô on a défini avec X une variable aléatoire réelle telle que : X (1) = − 2 , X (2) = 4, X (3) = − 6 , X (4) = 8, X (5) = − 10 et X (6) = 12.
I.2 Loi d’une variable aléatoire
Définition 2 La loi de probabilité de la variable aléatoire X est la fonction f qui a chaque valeur associe sa probabilité.
Remarque 1 En général, on présente la loi d’une variable aléatoire X sous la forme d’un tableau, qui récapitule les valeurs prises par X ainsi que les probabilités associées.
Dans tout le reste du chapitre, on considèrera la variable aléatoire discrète de loi :
Valeurs de X : xi x 1 x 2 x 3 ... xn Probabilité : p ( X = xi ) p 1 p 2 p 3 ... pn
Exemple 2 On reprend l’énoncé de l’exemple précédent. La loi de X est donnée par :
xi − 10 − 6 − 2 4 8 12 p ( X = xi ) (^161616161616)
Exemple 3 On dispose d’un jeu de 32 cartes. On tire une carte dans ce jeu, et on attribue à ce tirage la valeur X calculée suivant la règle suivante : Ô si la carte est un Roi, X vaut 4 points, Ô si la carte est une Dame, X vaut 3 points, Ô si la carte est un Valet, X vaut 1 point, Ô toutes les autres cartes valent 0 point. La loi de X est donnée par :
xi 0 1 3 4 p ( X = xi ) (^58181818)
Remarque 2 On note que pour chacun de ces tableaux, la somme des probabilités élémentaires fait 1, en accord avec l’un des axiomes des probabilités!
http://nathalie.daval.free.fr -2-
Variables aléatoires discrètes
Le théorème suivant permet un calcul plus facile de la variance :
Théorème 1 (De Kœnig)
V ( X ) = p 1 x^21 + p 2 x^22 + ... + pnx^2 n − [ E ( X )]^2 =
∑^ n
i =
pix^2 i − [ E ( X )]^2 = E ( X^2 ) − E^2 ( X ).
Exemple 6 Autre méthode de calcul de la variance pour le jeu de cartes :
Ô V ( X ) = 5 8 ×^0
(^2) +^1 8 ×^1
(^2) +^1 8 ×^3
(^2) +^1 8 ×^4
(^2) − 12
Ô V ( X ) = 0 + 1 8
9 8
16 8 − 1 = V ( X ) = 9 4 = 2 , 25.
Propriété 1 © La variance et l’écart-type d’une variable aléatoire réelle X sont des nombres positifs. © L’écart-type mesure la dispersion des valeurs d’une variable aléatoire par rapport à son espérance. © Si X est exprimé dans un certaine unité, σX l’est dans la même unité.
I.5 Transformation affine d’une variable aléatoire
Propriété 2 Soit X une variable aléatoire discrète admettant une espérance et une variance, alors pour tous a ; b ∈ R, la variable aléatoire aX + b admet une expérance, une variance et un écart-type définis par : © E ( aX + b ) = aE ( X ) + b. © V ( aX + b ) = a^2 V ( X ). © σ ( aX + b ) = | a | σ ( X ).
Exemple 7 On considère la variable aléatoire X de loi
xi 0 1 2 p ( X = xi ) (^141412)
Ô La loi de Y = 2 X − 1 est donnée par
yi − 1 1 3 p ( Y = yi ) (^141412)
Ô E ( X ) = 5 4 donc : E ( Y ) = E (2 X − 1) = 2 E ( X ) − 1 = 2 × 5 4 − 1 = 3 2 .
Ô V ( X ) = 11 16 donc : V ( Y ) = V (2 X − 1) = 2^2 V ( X ) = 4 × 11 16 = 11 4 .
Ô σ ( X ) =
√ 11 4 donc :^ σ ( Y^ ) =^ σ (2 X^ −^ 1) =^ |^2 | ×
√ 11 4 =
√ 11
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II Couples de variables aléatoires
II.1 Definition
Certaines situations sont naturellement décrites par la donnée d’un couple de variables aléatoires. Par exemple, en météorologie, on peut s’intéresser au couple formé par la donnée de la température ( T ) et de la pression ( P ) atmosphériques. On est ainsi amené à étudier les deux paramètres simultanément, donc à regarder le couple ( T ; P ), qui est un couple de variables aléatoires.
Exemple 8 On considère dans le plan les points de coordonnées entières situés dans la zone B , définie par
B = {( x ; y ) tel que x ; y ∈ N et 1 ≤ x ≤ 2 , 1 ≤ y ≤ 3 }.
On considère l’expérience aléatoire consistant à choisir l’un de ces points au hasard (tous les choix de points dans B étant équiprobables). On définit la variable aléatoire discrète Z qui est formée du couple de coordonnées du point choisi.
Ô Détermination de la loi de Z :
Valeurs de Z (1; 1) (1; 2) (1; 3) (2; 1) (2; 2) (2; 3) Probabilités (^161616161616)
Ô La variable aléatoire Z est appelée couple des variables aléatoires X et Y. On peut présenter sa loi de manière à faire apparaître les rôles joués par X et Y plus clairement : HH HH X H
Y (^) 1 2 3
(^1 ) (^2 )
Ô on peut aussi déterminer les lois de X et de Y à partir de celle de Z : Par exemple, P ( Y = 1) = P (( X = 1) et ( Y = 1)) + P (( X = 2) et ( Y = 1)) = P ( Z = (1; 1)) + P ( Z = (2; 1)) = 1 6
1 6 = 1 3 . De manière plus rapide, en faisant les additions en colonne, on obtient la loi de Y :
yi 1 2 3 P ( Y = yi ) (^131313)
Ô en faisant les additions en ligne, on obtient la loi de X :
xi 1 2 P ( X = xi ) (^1212)
Ô ces deux lois sont appelées lois marginales du couple ( X ; Y ). De façon synthétique, on peut représenter toutes ces données dans un même tableau : HH HH X H
Y (^) 1 2 3 P ( X = x i ) (^1 ) (^2 ) P ( Y = yi ) (^131313)
Variables aléatoires discrètes
Exemple 11 Dans une fête foraine, on considère deux roues A et B définies ainsi :
- pour la roue A : on a 20% de chance de tomber sur le nombre 10 , 50% de chance de tomber sur le nombre 20 et 30% de chance de tomber sur le nombre 30.
- pour la roue B : on a 40% de chance de tomber sur le nombre 10 et 60% de chance de tomber sur le nombre 20. On lance successivement les deux roues, on note X la variable aléatoire égale au nombre obtenu pour la roue A et Y la variable aléatoire égale au nombre obtenu pour la roue B.
Ô Les deux variables X et Y sont indépendantes l’une de l’autre. Ô La loi de X est donnée par :
xi 10 20 30 P ( X = xi ) 0 , 2 0 , 5 0 , 3
on obtient E ( X ) = 21 et V ( X ) = 49. Ô La loi de Y est donnée par :
yi 10 20 P ( Y = yi ) 0 , 4 0 , 6
on obtient E ( Y ) = 16 et V ( Y ) = 24. Ô La loi de S = X + Y est donnée par :
si 20 30 40 50 P ( S = si ) 0 , 08 0 , 32 0 , 42 0 , 18
on obtient E ( S ) = E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) = 21 + 16 = 70, et V ( S ) = V ( X + Y ) = V ( X ) + V ( Y ) = 49 + 24 = 73. Ô La loi de D = X − Y est donnée par :
di − 10 0 10 20 P ( D = di ) 0 , 12 0 , 38 0 , 38 0 , 12
on obtient E ( D ) = E ( X + Y ) = E ( X ) − E ( Y ) = 21 − 16 = 5 et V ( D ) = V ( X − Y ) = V ( X ) + V ( Y ) = 49 + 24 = 73.
III Lois fondamentales
III.1 Loi de bernouilli
Définition 6 Une expérience de Bernouilli est une expérience qui n’a que deux issues possibles, l’une appelée « suc- cès » qui a pour probabilité p , l’autre appelée « échec » qui a pour probabilité q = 1 − p. Définir une loi de Bernouilli de paramètre p , c’est associer une loi de probabilité discrète à cette expérience aléatoire en faisant correspondre la valeur 1 à l’apparition d’un succès et 0 à celle d’un échec.
xi 1 0 p ( X = xi ) p 1 − p
Variables aléatoires discrètes
Exemple 12 Si on lance un dé et qu’on nomme « succès » l’apparition de la face 6 , on obtient la loi de Bernouilli suivante :
xi 1 0 p ( X = xi ) (^1656)
Propriété 4 Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernouilli B( p ), alors : © L’espérance de X vaut E ( X ) = p. © La variance de X vaut V ( X ) = pq.
Exemple 13 Dans l’exemple précédent, on obtient E ( X ) = 1 6 et V ( X ) = 5 36 .
III.2 loi binomiale
Définition 7 La loi binomiale de paramètres n et p , notée B( n ; p ) est la loi de probabilité du nombre de succès dans la répétition de n expériences de Bernouilli de paramètre p identiques et indépendantes. Elle est définie par :
P ( X = k ) = n × pk^ × qn − k^ , ∀ 0 ≤ k ≤ n.
Exemple 14 On lance 2 fois un dé bien équilibré. On s’intéresse à l’apparition de la face 6. Chaque lancer est une expérience de Bernouilli
de paramètre 16. On obtient donc une loi binomiale B
( 2; 1 6
) .
nombre de succès 0 1 2 probabilité 2536 1036 361
Propriété 5 Soit X une variable aléatoire suivant une loi Binomiale B( n, p ), alors : © L’espérance de X vaut E ( X ) = np. © La variance de X vaut V ( X ) = npq.
Exemple 15 Dans l’exemple précédent, on obtient E ( X ) = 1 3 et^ V^ ( X ) =^
5
Variables aléatoires continues
IV Variable aléatoire continue
IV.1 Notion de variable aléatoire continue
Définition 1 Une variable aléatoire continue est une variable qui prend ses valeurs dans un intervalle de R.
Exemple 1 Exemple de variables aléatoires qui ne sont pas discrètes : Ô Variable T correspondant à la taille d’un élève, Ô Variable L correspondant à longueur d’un train, Ô Variable A correspondant au temps d’attente à une caisse...
IV.2 Fonction de répartition
Définition 2 Soit X une variable aléatoire, on appelle fonction de répartition de X la fonction définie sur R par
F ( x ) = P ( X ≤ x ).
Propriété 1 La définition nous permet d’écrire : © F ( x ) = P ( X ∈ ] − ∞ ; x ]). © P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( X ≤ b ) − P ( X ≤ a ) = F ( b ) − F ( a ). © P ( X > b ) = P ( X ≤ b ) = 1 − F ( b ).
Remarque 1 On admet que pour une variable aléatoire continue, pour tout a ∈ R : P ( X = a ) = 0. On a donc :
- P ( a < X < b ) = P ( a < X ≤ b ) = P ( a ≤ X < b ) = P ( a ≤ X ≤ b ),
- P ( a < X ) = P ( a ≤ X < b ),
- P ( X > b ) = P ( X ≥ b ).
Propriété 2 La fonction de répartition F d’une variable aléatoire continue X a les propriétés suivantes : © F est une fonction croissante, définie et continue sur R. © Pour tout x ∈ R, 0 ≤ F ( x ) ≤ 1. © lim x →−∞ F ( x ) = 0 et lim x →+∞ F ( x ) = 1.
Variables aléatoires continues
V.3 Densité et loi de probabilité
Définition 3 Dans le cas où F est dérivable, la fonction f dérivée de F est appelée densité de probabilité de X et pour tout x de R, F ′( x ) = f ( x ).
Conséquences :
- F étant une fonction croissante, f est positive.
- P ( a ≤ X ≤ b ) = F ( b ) − F ( a ) =
∫ (^) b
a
f ( x ) dx.
a (^) b
- P ( X ≤ a ) = F ( a ) = lim x →−∞ [ F ( a ) − F ( x ) ] = lim x →−∞
∫ (^) a
x
f ( t ) dt = notation
∫ (^) a
−∞
f ( t ) dt.
a
∫ (^) +∞
−∞
f ( x ) dx = 1. Graphiquement, l’aire entre la courbe de f , qui est une fonction positive, et l’axe des abscisses vaut 1.
Exemple 2 Voici quelques exemples de densités de probabilités ainsi que leurs courbes représentatives dans un repère orthonormal :
f 1 ( x ) =
0 si x < 0 1 si 0 ≤ x ≤ 1 0 si x > 1 − 1 0 1
1
f 2 ( x ) =
0 si x ≤ − 1 x + 1 si − 1 < x ≤ 0 − x + 1 si 0 < x ≤ 1 0 si x > (^1) − 2 − 1 0 1
1
f 3 ( x ) =
0 si x < 0 2 e −^2 x^ si x ≥ 0
− 1 0 1 2
1
2 b
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V La loi Normale
V.1 Définition et cadre naturel d’apparition
Cette loi est celle qui rend compte de diverses mesures d’une grandeur donnée, opérées à diverses reprises, chaque mesure étant sujette à des erreurs.
La loi normale (ou de Laplace-Gauss, appelée « normale » par Pearson en 1893) est la loi de certains phénomènes continus qui fluctuent autour d’une valeur moyenne μ , de manière aléatoire, résultante d’un grand nombre de causes indépendantes dont les effets s’ajoutent sans que l’un d’eux soient dominant :
par exemple la taille d’un individu en cm, influencée par le sexe, la nourriture, l’environnement, l’hérédité, le lieu géographique...
Définition 5 On appelle loi Normale de paramètres m ∈ R et σ > 0 la loi d’une variable aléatoire continue X prenant toutes les valeurs réelles, de densité de probabilité la fonction définie pour tout x ∈ R par
f ( x ) =
σ
2 π
e −^
1 2 (^ x − m σ )
2
On note X N ( m ; σ ).
Exemple 4 Voici des exemples de courbes pour quelques valeurs de m et σ :
− 3 − 2 − 1 1 2 3
1
2
− 3 − 2 − 1 1 2 3
1
2
m = − 1 et σ = 0 , 2 m = 0 et σ = 0 , 5
− 3 − 2 − 1 1 2 3
1
2
− 3 − 2 − 1 1 2 3
1
2
m = 1 et σ = 0_._ 8 m = 2 et σ = 1_._ 1
Variables aléatoires continues
Propriété 4 On admet que si X est une variable aléatoire suivant la loi normale N ( m ; σ ) alors
E ( X ) = m et σ ( X ) = σ.
Ainsi les paramètres d’une loi normale sont en fait son espérance mathématique et son écart-type.
Remarque 2 Dans l’exemple précédent, on peut observer :
- que la courbe admet comme axe de symétrie la droite d’équation x = m ,
- que le maximum de la courbe est atteint en m , espérance de la variable X (ce maximum valant
σ
2 π
- et que plus σ est grand, plus la courbe « s’étale » autour de la moyenne, en accord avec la signification de l’écart-type.
Propriété 5 Pour tous a et b réels tels que a ≤ b :
P ( a ≤ X ≤ b ) =
σ
2 π
∫ (^) b
a
e −^
1 2 (^ x − m σ )
2 dx.
V.2 Loi normale centrée réduite N (0; 1)
Définition 6 La variable aléatoire T qui suit la loi normale de paramètres m = 0 et σ = 1 est dite variable aléatoire centrée réduite. Sa densité de probabilité est définie sur R par f ( x ) =
2 π
e −^
1 2 x^2.
Notation : On note Π la fonction de répartition d’une variable aléatoire suivant la loi N (0; 1). On a donc
Pour tout t ∈ R , Π( t ) = P ( T ≤ t ) =
∫ (^) t
−∞
2 π
e −^
(^12) x 2 dx.
Π( t )
t
Variables aléatoires continues
V.3 Utilisation de la table de la loi normale
Le formulaire ne donne que les valeurs de la loi normale centrée réduite et pour des valeurs positives. En voici un extrait pour comprendre la méthode de lecture :
t 0 , 05 0 , 06 0 , 07 1 , 1 0 , 8749 0 , 8770 0 , 8790 1 , 2 0 , 8944 0 , 8962 0 , 8980 1 , 3 0 , 9115 0 , 9131 0 , 9147
- Calcul de P ( T ≤ 1 , 36) : Le nombre situé à l’intersection de la colonne 0 , 06 et de la ligne 1 , 3 est la valeur de la fonction de répar- tition de T pour t = 1 , 3 + 0 , 06 = 1 , 36. Ainsi, Π(1 , 36) = P ( T ≤ 1 , 36) = 0 , 9131.
- Calcul de P ( T ≥ 1 , 25) : P ( T ≥ 1 , 25) = 1 − Π(1 , 25) = 1 − 0 , 8944 = 0 , 1056.
- Calcul de P ( T ≥ − 1 , 17) : P ( T ≤ − 1 , 17) = P ( T ≥ 1 , 17) = 1 − Π(1 , 17) = 1 − 0 , 8790 = 0 , 121.
- Calcul de P (1 , 15 ≤ T ≤ 1 , 37) : P (1 , 15 ≤ T ≤ 1 , 37) = Π(1 , 37) − Π(1 , 15) = 0 , 9147 − 0 , 8749 = 0 , 0398.
V.4 Lien avec la loi normale
Propriété 7 Si une variable aléatoire X suit la loi normale N ( m ; σ ), alors la variable aléatoire T =
X − m σ suit la loi normale centrée réduite N (0; 1). En particulier, on a E ( T ) = 0 et σ ( T ) = 1.
Ce résultat est très importante, puisqu’alors il nous suffit d’étudier la loi normale centrée réduite puis de procéder à un changement de variable pour obtenir n’importe quelle loi normale!
Exemple 5 Une variable X suit la loi normale de paramètres m = 12 et σ = 3.
On pose T = X − m σ =^
X − 12
Calcul de P ( X < 16) :
Ô X < 16 ⇐⇒ T < 16 − 12 3 ⇐⇒ T < 4 3 . Ô Donc, P ( X < 16) = P ( T < 1 , 33) = Π(1 , 33). Ô On lit sur la table Π(1 , 33) = 0 , 9082 donc : P ( X < 16) = 0 , 9082. Calcul de P (9 < X < 15) :
Ô P (9 < X < 15) = P (− 1 < T < 1) = 2Π(1) − 1. Ô Or, Π(1) = 0 , 8413 donc : P (9 < X < 15) = 2 × 0 , 8413 − 1 = 0 , 6828
Variables aléatoires continues
Remarque 3 Si X suit la loi normale de paramètres m et σ , alors
- P ( m − σ ≤ X ≤ m + σ ) ≈ 0 , 68.
- P ( m − 2 σ ≤ X ≤ m + 2 σ ) ≈ 0 , 95.
Démonstration :
T =
X − m σ ⇐⇒ X = m + σT.
Donc, pour t > 0, P (− t ≤ T ≤ t ) = P (− σt ≤ σT ≤ σt ) = P ( m − σt ≤ m + σT ≤ m + σt ) = P ( m − σt ≤ X ≤ m + σt ). Ainsi, en particulier : P ( m − σ ≤ X ≤ m + σ ) = P (− 1 ≤ T ≤ 1) = 2Π(1) − 1 = 2 × 0 , 8413 − 1 ≈ 0 , 68. P ( m − 2 σ ≤ X ≤ m + 2 σ ) = P (− 2 ≤ 2) = 2Π(2) − 1 = 2 × 0 , 9772 − 1 ≈ 0 , 95.
Interprétation graphique :
m
σ
2 π
m − σ m + σ
0_._ 68
m − 2 σ m + 2 σ
V.5 Opérations de variables suivant une loi normale
Propriété 8 Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N ( m ; σ ). Alors, pour tous a ; b ∈ R : © La variable aléatoire aX + b suit la loi normale N ( am + b ; | a | σ ), Si de plus Y suit une loi normale N ( m ′; σ ′), alors © La variable aléatoire X + Y suit une loi normale N ( m + m ′;
σ^2 + σ ′^2 ), © La variable aléatoire X − Y suit une loi normale N ( m − m ′;
σ^2 + σ ′^2 ),
Exemple 6 Si X suit la loi N (1;
√
- et Y suit la loi N (−1; 1), alors : Ô La variable aléatoire − 2 X + 5 suit la loi normale N (3; 2
√ 3), Ô La variable aléatoire X + Y suit une loi normale N (0; 2), Ô La variable aléatoire X − Y suit une loi normale N (2; 2).
