Download classical mechanic goldstein and more Study notes Classical Mechanics in PDF only on Docsity!
و ِ هىبى رس ُ سا ث ِ هجذا ٍكل هیىٌذ دس ًظش ثگیشین دس ایي سا ث ِ ػٌَاى یه ثشداس ؿؼبػی r اخبص ُ دّیذ :سا اص سؼشیف صیش داؿش ِ ثبؿین )v(ِكَسر هی سَاًین ثشداس ػشػز اٍلی
v= 𝑑𝑟𝑑𝑡 (1 − 1)
) 1 - 2 ( P=mv
رس ُ هوىي اػز ًیشٍّبی هخشلفی هبًٌذ خبرث ِ یب الىششٍدیٌبهیىی دس اثش ثشّوىٌؾ ػبهل خبسخی ٍ هیذاى .هی دّذ ساfًیشٍی ول ٍاسد ثشرس ُ یؼٌی ثشداس خوغ ّو ِ ایي ًیشٍّب .ث ِ وٌذ سا سدش حبلشی و ِ دس آى سوبم حبلشْبی .ثٌب ؿذ ُ اػز f=ma هىبًیه رس ُ ای ثش اػبع لبًَى دٍم ًیَسي یؼٌی : هخشلف حشوز رس ُ دس ًظش گشفش ِ ؿذ ُ اػز ثب هؼبدالر صیش سؼشیف هی ؿَد
f=𝑑𝑝 𝑑𝑡 =𝑝 ) 1 - 3 (
f= (^) 𝑑𝑡𝑑 (mv) ) 1 - 4 (
f=m𝑑𝑣 𝑑𝑡 =ma ) 1 - 5 ( :صیش سؼشیف هی وٌین ثشداس ؿشبة رس ُ ث ِ كَسر a و ِ دس ایٌدب
a =d^2 r/dt^2 =𝑑𝑣 𝑑𝑡 ) 1 - 6 ( ِث ِ هشسج ِ دیفشاًؼیل ٍاثؼش fِثٌبثشایي هؼبدل ِ حشوز یه هؼبدل ِ دیفشاًؼیلی دسخ ِ دٍم اػز ثبفشم ایٌى
. ًجبؿذ
ِ ایي لبًَى ث ِ ایي ًىش ِ اؿبس ُ هی وٌذ .وٌٌذهی سؼذاد صیبدی اص ًشبیح هْن هىبًیىی ث ِ لَاًیي دبیؼشگی داللز .ّؼشٌذ ثؼیبسی اص وویز ّبی هخشلف هىبًیىی دس ًی صهبى ثبثز و .ث ِ ًَسهؼشمین اٍلیي لبًَى دبیؼشگی سا ًشید ِ هی دّذ ) 1 - 3 (ِهؼبدل pٍدس ًشید ِسىب ًِ خٌی 𝑝 = 0 اگش ًیشٍی ول ٍاسد ثش رس ُ كفش ثبؿذ دغ : ُلبًَى ثمب ِ سىب ًِ خٌی رس
. ثبثز اػز :هـخق ٍث ِ كَسر صیش سؼشیف هیـَد Lثبoرس ُ دس دیشاهَى ًم ٌِ سىب ًِ صاٍی ِ ای L=r×p ) 1 - 7 ( .سَخ ِ وٌیذ و ِ هشسج ِ هشیت هْن اػز .سا ث ِ رس ُ ٍكل هی وٌذ oثشداس ؿؼبػی اػز و ِ هشوض r دس ایٌدب : سىب ًِ ًیش ٍ یب گـشبٍس ساث ِ كَسر سٍثش ٍ سؼشیف هی وٌین N=r× F ) 1 - 8 ( :هی ًَیؼین ) 1 - 4 (سا ث ِ فشهی دیگش اص N ) 1 - 3 (ِثب اػشفبد ُ اص هؼبدل
N=r×F =r × (^) 𝑑𝑡𝑑 (mv) ) 1 - 9 (
ؿذ ُ دس یه هؼیش اص یه هؼیش ثخلَف ثش ایي هَهَع داللز هی وٌذ و ِ وبس اًدبم W 12 هؼشمل ثَدى
ث ِ هؼیش فیضیىی w 12 ایٌى ِ ًبلیض ثشداسی هی داًین و ِ ؿشى الصم ٍ وبفی ثشای ٱ ثب یه ؿٌبخز خَة اص .ثشاثشثب سبثغ اػىبلشی اص هَلؼیز ثبؿذ fِایي اػز و ثؼشگی ًذاؿش ِ ثبؿذ ًُی ؿذ F=-∇V(r) ) 1 - 16 ( ی دشبًؼیل سبثؼی اص هىبى اػز و ِ هـشك آى ثب طاًش(.ی دشبًؼیل هی ًبهینطسا دشبًؼیل یب اًش V دس ایٌدب ). ػالهز هٌفی ًیش ٍ سا ث ِ هب هی دّذ سَاى گفز سٌْب وویشی و ِ ثبػث سغییش ثبؿذ دغ هی) 2 (ٍ) 1 (هؼشمل اص هؼیش اًشگشالی ؿذ ُ ثیي w 12 اگش هـخق هی ؿَد دغ v ِایي همذاس ث ِ ٍػیل .اػز) 2 (ٍ) 1 (هی ؿَد سغییش دس همذاس ًمبى اًشْبیی w 12 دس : ثشای فَاكل هخشلف هؼیش ساث ٌِ صیش سا داسین
F.ds=-dV → F= -𝜕𝑉𝜕𝑆
اهبف ِ وٌین Vدس هؼبدالر فَق هی سَاًین ّش همذاس ثبثشی سا ثذٍى داؿشي ّیچ اثشی ثش سٍی ًشید ِ ث : ًِِىش .دلجخَاّی اػز V اص ایي س ٍ دس ًظش گشفشي هیضاى كفش ثشای ػٌح : ثشای یه ػیؼشن دبیؼشبس وبس اًدبم ؿذ ُ ث ِ ٍػیل ِ ًیش ٍ ثشاثش اػز ثب
W 12 =V 1 - V 2 یب -W 12 =V 2 - V 1 ) 1 - 17 (
T 1 +V 1 =T 2 +V 2 ) 1 - 18 (
.دبیؼش ِ اػز T+Vیؼٌی ی ول رسُ طثبؿذ دغ اًش اگش ًیشٍی ػول وٌٌذ ُ ثش سٍی یه رس ُ دبیؼشبس
:سا ًی هی وٌذ ثشاثش اػز ثب dsو ِ هؼیش
𝑓. 𝑑𝑠 = − 𝜕𝑣 𝜕𝑠 𝑑𝑠 ُ هبًٌذ ( دغ حشی دس خبث ِ خبیی ّبی ًِ چٌذاى ًَالًی ّن سغییشار ولی ثب سَخ ِ ث ِ سغییشار اؿىبس صهبى ) 2 (ِث ) 1 ( ٌِی یه رس ُ ثشای سفشي اص ًم ٍثٌبثشایي وبس اًدبم ؿذ ُ ثش س .ث ِ ٍخَد هی آیذ –vدس)حشوز رس ثب ٍخَد ایٌى ِ هوىي اػز T+Vی ولطدس حبلی و ِ اًش .ثیي ایي ًمبى ًذاسدv سفبٍر چٌذاًی ثب سغییشار سبثغ .ّوچٌبى هی سَاى سؼشیف وشد سا ًیض داسای ثمب ًجبؿذ ػیؼشن دس ػشاػش هؼیش سفز ٍ ثشگـز
(fe^ =0«acm=0 » vcm=0) خٌی همذاسی ثبثز اػز
,rij=rj-ri, fij=-fji هی داًین و : ًِِىش
rijثشاثشi ًُؼجز ث ِ رس jُثشداس خبث ِ خبیی رس
ى دس یه ػیؼشنثٌبثشای,و ِ دبیؼش ِ ثبؿذ اهىبى دزیش اػز Lٍ P هؼوَال دیذا وشدى حبلشْبی سؼوین یبفش ِ اص
:ث ِ ػٌَاى یه ًم ٌِ هشخغ ثشای سىب ًِ صاٍی ِ ای ول ثذػز هی آٍسین O ثب اػشفبد ُ اص هجذا
L= (^) 𝑖 𝑟 ×pi اهیي رس ُ دسi ِسا ث ِ ػٌَاى ثشداس ؿؼبػی اص هشوض خشم ث r’ ٍث ِ هشوض خشم oسا ث ِ ػٌَاى ثشداس ؿؼبػی اص R .گیشین ًظش هی : دغ داسین ri=ri’^ +R ) 27 - 1 ( vi=vi’ +v ٍ V=dR/dT: ِدس خبیی و
.ٍاثؼش ِ اػز oٌِػشػز هشوض خشم ث ِ ًم .ام ث ِ هشوض خشم ػیؼشن ٍاثؼش ِ اػز iرس ُ ػشػز :اػشفبد ُ هی وٌین ٍ سىب ًِ صاٍی ِ ای ول سا ث ِ ؿىل صیش هی ًَیؼین ) 27 - 1 (ِاص هؼبدل L= (^) 𝑖 𝑅× miv+ (^) 𝑖 𝑟‘i ×mivi’+( (^) 𝑖 𝑚iri’)×v+R×d/dt 𝑚 (^) iri .حزف هی ؿًَذ m (^) iri د ٍ خول ِ آخش ثذلیل ایٌى ِ ّش د ٍ ؿبهل حبكلدوغ
خشمثشداس ؿؼبػی هشوض خشم دس حبلز ّوبٌّگ ػیؼشن و ِ هشوض ِایي هَهَع سا هی سَاى ثب ایي سؼشیف و .دس هجذا لشاس داؿش ِ ثبؿذ ثشاثش كفش اػز ثیبى وشد :داسینoٌِثب ثبص ًَیؼی خوالر ثبلیوبًذ ُ دس هحذٍد ُ ًم L=R×mv+ 𝑟‘i×p’i ) 28 - 1 ( سىب ًِ صاٍی ِ ای حشوز هشوشوض ثشاثشoٌِهی گَیذ و ِ سىب ًِ ساٍی ِ ای حَل ًم ) 28 - 1 (ِث ِ ػجبسسی هؼبدل
. ؿذ ُ دس هشوض خشم ثؼال ٍُ سىب ًِ صاٍی ِ حشوز دس دیشاهَى هشوض خشم اػز
W 12 = (^) 𝑖 12 𝑓 i.ds= (^) 𝑖 12 𝑓ie.ds+ (^) 𝑖,𝑗 12 𝑓ij.ds ) 29 - 1 ( سَاًین لؼوز اٍل دس ًو ًَِ ای خبف و ِ اًشطی خبسخی لبثل هحبػج ِ ثب گشادیبى دشبًؼیل اػز هب هی :هؼبدل ِ فَق سا ث ِ ؿىل صیش ثٌَیؼین
ie.dsi=-^ 𝑖 12 ∇ivi.ds=-^ 𝑖 𝑣i|^21 𝑖,𝑗 12 𝑓 .دس اسسجبى اػزri ِدس ػولگش دل اؿبس ُ ث ِ ایي داسد و ِ هـشك فَق ثب هَلف i دس ایٌدب صیش ًَیغ
هی سَاًذ فشهی اص سبثغ (fij=fji)امj ٍامiی هشمبثل ثیي رس ٍُ اگش ًیشٍّبی داخلی ًیض دبیؼشبس ثبؿذ دغ ًیش .ساثذػز دّذ vij دشبًؼیل :هی سَاًذ سٌْب سبثؼی اص فبكل ِ ثیي رس ُ ّب ثبؿذ vij ثب اػشفبد ُ دسػز اص لبًَى لَی ػول ٍ ػىغ الؼول vij=vij (|ri-rj|) ) 32 - 1 ( :دغّن ّؼشٌذ د ٍ ًیش ٍ ث ِ ًَس خَدوبس ثشاثش ٍ دس خالف خْز fji=-∇ (^) ivij=+∇jvij=-fij ) 33 - 1 ( ∇vij(|rj-ri|)=( rj-ri )f ) 34 - 1 ( ٍ .سبثؼی اػىبلش اػزfِدس حبلشی و
ػشػز اٍلی ِ یب گـشبٍس اػذیي حمیمی ثبؿذ دغ سبثؼی اص ثؼوی صٍج ثشداسّبی رس ُ هبًٌذ ّوچٌبى vij اگش ًیش ٍ هوىي اػز ّوچٌبى هؼبٍی ٍ دس خالف خْز ثبؿذ اهب ایي هَهَع ثبص ّن ث ِ اّویز خي ٍاكل ثیي .رس ُ ًیؼز 2 ثش سٍی صٍج سا هیشَاى ث ِ كَسر خوغ ) 29 - 1 (ِصهبًی و ِ ّو ِ ًیشٍّب دبیؼش ِ ّؼشٌذ خول ِ دٍم دس هؼبدل ایي خول ِ ثشای ّش صٍج رس ُ ث ِ كَسر صیش دس هی آیذ: ; رس ُ ّب ثبص ًَیؼی وشد
- 12 ( ∇ivij.dsi+∇jvijdsj ) .ثبؿذ r (^) ijِث ِثب سَخ ∇ijهـخق گشدد ٍ اگش هَلؼیز ثشای گشادیبى r (^) ijثب r (^) i-r (^) j اگش اخشالف فبكل ِ ثیي ∇ (^) ivij ; ∇ (^) ijvij =- ∇ (^) jvij dsi-dsj=dri-drj=drij ٍ
:خول ِ ث ِ فشم صیش دس هی آیذ ij ثٌبثشایي ثشای صٍج
- ∇ ijvij.drij : دغ وبس ولی ًبؿی اص ًیشٍّبی داخلی ث ِ ؿىل صیش هی ؿَد
- 1/2 (^) 𝑖𝑗 12 ∇ijvij.drij=-1/2 (^) 𝑖𝑗𝑣ij|^21 ) 35 - 1 ( ثبس دس ًٌش گشفش ِ ؿذ ُ اػز 2 jٍiُ خوغ ثش سٍی ّش وذام اص صٍج ّبی دلیل ظبّش ؿذ ُ ن ث ِ ایي 1 / 2 هشیت jٍ ثبس دیگش ثشای i یؼٌی یه ثبس ثشای
ثب سَخ ِ ث ِ هٌبلت فَق ٍ ایٌى ِ ًیشٍّبی داخلی ٍ خبسخی ّش د ٍ اص دشبًؼیل هـشك گشفش ِ ؿذ ُ اًذ دغ هی :سَاًین اًشطی دشبًؼیل ول ثشای ػیؼشن ساًیض ث ِ كَسر صیش ثٌَیؼین v= 𝑖 𝑣i+1/2 𝑖𝑗𝑣ij ) 36 - 1 ( )ثشای سه رسار) 18 - 1 (ل ِ دبیؼشگی ًظیش هؼبد(T+V ّوبًٌذ دبیؼشگی اًشطی ول
mi𝑟i=fie+ (^) 𝑗𝑓 ji دیچیذگی ّبیی دس سؼشیف وشدى چٌذیي ًیشٍی ػول وٌٌذ ُ ثش سٍی ػیؼشن چٌذ رس ُ ای ثبػث ایدبد اگشچ ِ ث ِ ًَس ولی ثشای یه .سیبهیبر هؼئل ِ ؿذ ُ ٍ ثذػز آٍسدى خَاة سا ثشای آى ثؼیبس هـىل هی وٌذ ػیؼشنث ِ ًَس هثبل هحبػج ِ هحذٍدیز ّبی هٌحلش ث ِ حشوز .یىی ًشید ِ ثؼیبس ػبد ُ اػز ًم ٌِ ثبثز فیص .ثؼیبس هْن اػز حبلشی و ( ِسای خؼن كلت سا ثشسػی وشدینة لجل اص ایي ًیض هب یىی اص هحذٍدیز ّبی هَخَد دسػیؼشن ).دس آى لیذّبی هَخَد دس رس ُ ثب سغییش فبكل ِ سغییش ًوی وٌذ گبصیث ِ ًَس هثبل هَلىَل ّبی. ث ِ آػبًی هی سَاى هثبل ّبی دیگشی اص هحذٍدیز ّبی ػیؼشن سْی ِ وشد دس داخل یه خؼج ِ هحذٍد ؿذ ُ اًذ ٍ سٌْب هی سَاًٌذ دس داخل خؼج ِ حشوز وٌٌذ ٍ یب یه هىبى خبف ثش سٍی یه ػٌح وشٍی خبهذ ًو ًَِ یه هحذٍدیز اػز و ِ سٌْب هی سَاًذ ثش سٍی ػٌح داخلی یب خبسخی .وش ُ حشوز وٌذ ن خَد ػیؼشن ث ِ ساحشی هی ٍ ثب ون هحذٍدیز ّب سا هی سَاى ث ِ سٍؽ ّبی هشفبٍسی ًجم ِ ثٌذی وشد .سَاى آًْب سا هـخق وشد
: اگش ؿشایي هحذٍدیز ث ِ هؼبدل ِ دیَػش ِ ای ثشای رس ُ ٍ صهبى داللز فشم هؼبدل ِ هب ث ِ ؿىل صیش دس هی آیذ
f(r1;r2;r3;……….;t)=0 ) 37 - 1 (
ؿبیذ ثشَاًین ثگَیین هثبل ػبد ُ اص هحذٍدیز .گَیٌذ Holonomicهحذٍدیز; ث ِ ایي ًَع هحذٍدیز خؼن كلت اػز دس خبیی و ِ هحذٍدیز ث ِ هؼبدل ِ ای ث ِ فشم صیش داللز وٌذ: Holonomic )ri-rj(^2 - cij^2 = هحذٍدیز یه رس ُ ثشای حشوز دس ًی یه هؼیش فشهی یب ػٌح هؼلَم ًیض هثبل آؿىبسی اص هحذٍدیز ُاػز و ِ هی سَاى آى سا ثب اػشفبد ُ اص هؼبدل ِ ای و ِ ثشای هٌحٌی یب ػٌح ًوبیؾ داد ُ ؿذ Holonomic
. سؼشیف وشین حل وٌین و ِ ث ِ آًْب هحذٍدیز داللز ًوی وٌذ )ؿىل ّب ( اهب هحذٍدیز ّبیی داسین و ِ ث ِ ایي سٍؽ ّب گَیٌذ ث ِ ًَس هثبل دیَاس ُ ّبی یه هحفظ ِ گبصی یب گیش اًذاخشي یه رس ُ ثش سٍی ػٌح Nonholonomic .اػزNonholonomic یه هٌحٌی یه هحذٍدیز : ثشای هثبل ّبی فَق هی سَاًین اص ًبهؼبدل ِ ای ث ِ فشم صیش اػشفبد ُ وٌین r 2 - a^2 ≥ .چٌیي فشهی ًذاسین ) 37 - 1 ( ِهؼبدل ؿؼبع هٌحٌی اػز دس حبلی و ِ دس a
ًبهیذ ُ هی (scleronomous)ٍ اگش ث ِ ًَس كشیحی ث ِ صهبى ثؼشگی ًذاؿش ِ ثبؿذ (rheonomus(ثبؿذ
. ؿَد .اػزscleronomous چْبسچَة هشحشن یه خؼن كلت ثب ؿىل فشهی ًَه ٌِ آؿىبسی اص لیذ .ائل هىبًیه سا ثیبى ٍ حل هی وٌٌذ ًَع اص اؿىبالر هَخَد ثشای حل هغ 2 لیَد
ِسا داؿش r (^) lُدس دػشگب r (^) lِث ql هب ّوچٌیي فشم هی وٌین هی سَاًین ؿىل ثبصگـز یبفش ِ ای اص سغییش r (^) lهؼبدل ِ لیذی و ِ ثب اػشفبد ُ اص ّش kیؼٌی هؼبدل ِ فَق سشویت ؿذ ُ سشویت ؿذ ُ اص ) 38 - 1 ِهؼبدل ( ثبؿین .ثذػز هیبیذq (^) l یه سبثغ هشغیش ثب صهبى ثشخالف هخشلبر وبسسضیي لبثل سمؼین ث ِ گشٍّْبی هٌبػجی و ِ ثشَاًٌذ qlِهؼوَال هخشلبر سؼوین یبفش وشٍی ثٌبثشایي دس هثبل حشوز رس ُ حجغ ؿذ ُ ثش سٍی ػٌح. ثب اػشفبد ُ اص ثشداس ث ِ ّن ث ِ دیًَذًذ ًیؼشٌذ یب ث ِ ًَس هثبل دس .سا هیذّذ ث ِ ًَس آؿىبسی هَلؼیز رس ُ سا دس ًَل ٍ ػشم خغشافیبیی هَخَد ِصاٍی 2 ِلؼوشی و ِ ثش سٍی یه ػٌح ّوَاس حشوز هی وٌذ ػَدهٌذ اػز و ِ هخشلبر سؼوین یبفش ِ سا ث 2 دبًذٍل ) 4 - 1 ؿىل(.دس ًظش هی گیشینθ 2 ٍθ 1 ِصاٍی 2 كَسر
ّیچ لیذ یب هحذٍدیشی ًذاسین اهب دس ایٌدب (v=v(r)) دس هؼئل ِ حشوز رس ُ دس هیذاى ًیشٍی هشوضی خبسخی
. ث ِ ًَس ٍاهحی هخشلبر لٌجی وشٍی هٌبػت سش اص هخشلبر وبسسضیي ػول هی وٌٌذ
هوىي اػزrوویز ّب هوىي اػز سحز سبثیشهخشلبر سؼوین یبفش ِ لشاسثگیشًذ ثٌبثشایي داه ٌِّو ِ اًَاع ِث ِ ػٌَاى یه هخشل ِ سؼوین یبفش ِ اػشفبد ُ ؿَد ٍ یب هوىي اػز اص وویز ّبیی ثب ثؼذ اًشطی یب سىب ًِ صاٍی
. ای اػشفبد ُ وٌین حزفثبؿذ هؼبدل ِ هب ث ِ هؼبدل ِ لیذی و ِ ًوی سَاًذ هخشلبر ٍاثؼش ِ سا Nonholonomic اگش لیذ هب .داللز هیىٌذ وٌذ .اػزNonholonomic هؼئل ِ غلشؾ ثش سٍی یه ػٌح ًبّوَاسثذٍى لغضؽ یه هثبل هحذٍدیز
ثش ای سؼییي وشدى هَلؼیز خْز گیشی خؼن اص هخشلبر صاٍی ِ ای ثؼال ٍُ یه ًم ٌِ ثبثز ثش ث ِ ًَس ولی ًَع دػشگب ُسـىیل ؿذ ُ اػز و ِ اصّن هؼشمل 2 هحذٍدیز غلشـی اص ایي.ػشفبد ُ هی وٌین سٍی ػٌح ا ثشای ؿشایي غلشـی).یه سغییش دس هؼیش ثشخَسد ث ِ ًبچبس ث ِ هؼٌی یه سغییش دس خْز گیشی اػز (. ًیؼشٌذ
. هب ًوی سَاًین سؼذاد هخشلبر سا وبّؾ دّین
