complex function lecture notes, Lecture notes of Complex Numbers Theory

Download complex function lecture notes and more Lecture notes Complex Numbers Theory in PDF only on Docsity!

CATATAN KULIAH

FUNGSI KOMPLEKS

oleh Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, M.Si.

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

• 1 Bilangan Kompleks
  • 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Kompleks
  • 1.2 Aspek Geometri Bilangan Kompleks
  • 1.3 Tempat Kedudukan Titik di Bidang Kompleks
  • 1.4 Latihan Soal
• 2 Fungsi Elementer
  • 2.1 Fungsi Linear
  • 2.2 Fungsi Resiprokal
  • 2.3 Fungsi Bilinear
  • 2.4 Fungsi Pangkat
  • 2.5 Fungsi Eksponen
  • 2.6 Fungsi Logaritma
  • 2.7 Fungsi Trigonometri dan Hiperbolik
• 3 Fungsi Analitik
  • 3.1 Topologi di Bidang Kompleks
  • 3.2 Limit dan Kekontinuan
  • 3.3 Diferensial
  • 3.4 Fungsi Analitik
• 4 Integral Fungsi Kompleks
  • 4.1 Lintasan di Bidang Kompleks
  • 4.2 Daerah Terhubung Sederhana
  • 4.3 Integral Fungsi Kompleks sebagai Integral Garis
  • 4.4 Latihan Soal
• 5 Teori Integrasi Cauchy
  • 5.1 Teorema Integral Cauchy
  • 5.2 Teorema Annulus
  • 5.3 Rumus Integrasi Cauchy dan Teorema Morera
  • 5.4 Latihan Soal
• 6 Deret Pangkat Kompleks
  • 6.1 Barisan Bilangan Kompleks
  • 6.2 Deret Bilangan Kompleks
  • 6.3 Deret Pangkat Kompleks (Complex Power Series)
  • 6.4 Deret Pangkat Kompleks sebagai Fungsi Analitik
  • 6.5 Fungsi Analitik sebagai Deret Pangkat Kompleks
  • 6.6 Latihan Soal

Bab 1

Bilangan Kompleks

Himpunan bilangan kompleks, dilambangkan sebagai C, adalah himpunan semua bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a + bi atau a + ib, dengan a, b ∈ R dan i = √−1. Secara formal, C = {z = a + bi| a, b ∈ R, i^2 = − 1 }. Di sini a disebut bagian real z dan dinotasikan sebagai a = Re(z), sedangkan b disebut bagian imajiner z dan dinotasikan dengan b = Im(z). Jika Re(z) = 0 maka z dikatakan sebagai bilangan kompleks imajiner murni, sedangkan jika Im(z) = 0 maka z merupakan bilangan real. Dua bilangan kompleks dikatakan sama jika bagian real bilangan pertama sama dengan bagian real bilangan ke dua dan bagian imajiner bilangan pertama sama dengan bagian imajiner bilangan ke dua. Menggunakan notasi matematika dapat dituliskan sebagai berikut. Misalkan z 1 = a 1 + ib 1 dan z 2 = a 2 + ib 2.

z 1 = z 2 ⇔ a 1 = a 2 dan b 1 = b 2

1.1 Sifat Aljabar Bilangan Kompleks

Seperti pada himpunan biangan real R, pada himpunan bilangan kompleks C dapat pula didefinisikan operasi-operasi aljabar biner seperti penjumlahan dan perkalian. Misalkan z 1 = x 1 + iy 1 dan z 2 = x 2 + iy 2.

1. Hasil penjumlahan bilangan kompleks z 1 dengan z 2 adalah bilangan kom- pleks z 3 = z 1 + z 2 yang didefinisikan sebagai z 3 = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ). 1

1.2. ASPEK GEOMETRI BILANGAN KOMPLEKS 3

1. z 1 + z 2 = z 1 + z 2 dan z 1 z 2 = z 1 z 2
2. z 1 − z 2 = z 1 − z 2 dan z z^12 = z z^12
3. z = z
4. zz = x^2 + y^2
5. z + z = 2 Re(z)
6. z − z = 2i Im(z)

1.2 Aspek Geometri Bilangan Kompleks

Secara aljabar bilangan kompleks z = x+yi dapat dibayangkan sebagai pasangan terurut dua bilangan real (x, y) yang terletak di bidang Euclides atau bidang Argan R^2 , sehingga secara geometri himpunan bilangan kompleks C dapat pula dinyatakan sebagai suatu bidang, yang disebut bidang kompleks atau bidang-z. Pada bidang kompleks, sumbu x disebut sumbu real sedangkan sumbu y disebut sumbu imajiner. Dengan demikian, suatu bilangan kompleks z = a + bi dapat dinyatakan sebagai titik di bidang kompleks dengan koordinat (a, b) dan C ∼= R^2. Selain itu, suatu bilangan kompleks z = a + bi dapat dinyatakan pula sebagai vektor di bidang kompleks dengan titik pangkal (0, 0) dan titik ujung (a, b). Jika pada R^2 kita dapat menyatakan suatu titik dalam koordinat kutub (polar) maka demikian pula pada C, dengan mendefinisikan modulus dan argumen dari z. Pada R^2 , modulus kita kenal sebagai panjang atau norm vektor (x, y), sedangkan argumen kita kenal sebagai arah vektor (x, y). Modulus dari z = a+bi, dinotasikan sebagai |z| didefinisikan sebagai

|z| =

a^2 + b^2 ,

sedangkan argumen dari z, dinotasikan sebagai arg(z), didefinisikan sebagai suatu sudut θ yang memenuhi

cos θ = (^) |az| dan sin θ = (^) |zb|.

4 BAB 1. BILANGAN KOMPLEKS

Karena sifat fungsi sinus dan cosinus yang periodik, maka nilai arg(z) tidak tunggal. Oleh karena itu ∀z ∈ C perlu dipilih suatu arg(z) yang disebut sebagai argumen utama dari z, dinotasikan sebagai Arg(z), adalah arg(z) yang berada pada selang (−π, π]. Sekarang kita siap mendefinisikan bentuk kutub (polar form) bilangan kompleks secara umum. Misalkan z = x + iy, r = |z|, dan θ = Arg(z) maka jelas bahwa

x = r cos θ dan y = r sin θ

sehingga z = r cos θ + ir sin θ atau sering ditulis z = r cis θ.

Sifat-sifat Modulus Bilangan Kompleks: Untuk setiap bilangan kompleks z dan w, berlaku:

1. |z| = |−z| = |z|
2. |z − w| = |w − z|
3. |z|^2 = |z^2 | = zz. Jadi jika z 6 = 0 maka (^1) z = (^) |zz| 2
4. |zw| = |z| |w|
5. ∣∣^ wz^ ∣∣^ = (^) ||wz|| , asalkan w 6 = 0.
6. |z + w| ≤ |z| + |w|
7. ||z| − |w|| ≤ |z − w|
8. |z| − |w| ≤ |z + w|

Pada sifat ke dua, |z − w| menyatakan jarak antara z dan w. Sifat ke 6 dikenal sebagai ketaksamaan segitiga. Perhatikan bahwa sifat-sifat tersebut sa- ma dengan sifat nilai mutlak pada sistem bilangan real, maupun sifat norm di R^2.

Pada Gambar 1.1 diberikan ilustrasi mengenai modulus dan argumen suatu bilangan kompleks z = a + bi

Teorema berikut menyatakan sifat perkalian dan pembagian dua buah bilangan kompleks bila dinyatakan dalam bentuk kutubnya.

6 BAB 1. BILANGAN KOMPLEKS

Dengan demikian, kedua teorema tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk eks- ponen sebagai berikut. Jika z 1 = r 1 ei t^1 dan z 2 = r 2 ei t^2 maka

1. z 1 z 2 = r 1 ei t^1 r 2 ei t^2 = r 1 r 2 ei^ (t^1 +t^2 )
2. z z^12 = r r^12 eeii^ tt^12 = r r^12 ei^ (t^1 −t^2 )
3. zn^ = rn^ ei nt, ∀n bilangan bulat tak negatif.

Kesamaan dua bilangan kompleks dalam bentuk kutub dinyatakan dalam definisi berikut, yang dapat dimanfaatkan untuk menentukan akar bilangan kompleks. Definisi: r cis t = ρ cis θ jika dan hanya jika r = ρ dan t = θ + 2kπ

Akar bilangan kompleks Jika c adalah bilangan kompleks, akan ditentukan √nc = c 1 n^. Misalkan z = √nc dan c = ρ cis θ maka akan ditentukan z yang memenuhi zn^ = c. Misalkan z = r cis t maka zn^ = rn^ cis nt = c = ρ cis θ. Berdasarkan definisi kesamaan dua bilangan kompleks dalam bentuk kutub maka diperoleh

rn^ = ρ dan nt = θ + 2kπ, k ∈ Z.

Dengan demikian

r = ρ 1 n^ dan tk = θ^ + 2n kπ, k = 0, 1 ,... n − 1.

Jadi diperoleh sebanyak n akar dari c, yaitu

zk = ρ 1 n^ cis θ^ + 2n kπ, k = 0, 1 ,... n − 1.

Contoh: Tentukan √^3 i. Di sini akan kita tentukan z yang memenuhi z^3 = i. Kita nyatakan z dan i dalam bentuk kutub. Bentuk kutub untuk i adalah 1 cis π 2. Misalkan z = r cis t. Dari persamaan z^3 = i diperoleh z^3 = r^3 cis 3 t = 1 cis π 2 , sehingga

r^3 = 1 dan 3t = π 2 + 2kπ, k = 0, 1 , 2.

1.3. TEMPAT KEDUDUKAN TITIK DI BIDANG KOMPLEKS 7

Akibatnya,

r = 1 dan t = π 6 +^2 kπ 3 , k = 0, 1 , 2.

Untuk k = 0 ⇒ z = r cis t 0 = 1 cis π 6 = cos π 6 i sin π 6 = √ 3 2 +^2 i , untuk k = 1 ⇒ z = r cis t 1 = 1 cis 5 vπ 6 = cos 56 π i sin 56 π = − √ 3 2 +^2 i , dan untuk k = 2 ⇒ z = r cis t 2 = 1 cis 32 π = cos 32 π i sin 32 π = 0 − i = −i. Jadi, telah diperoleh tiga akar dari i, yaitu z 0 = √ 3 2 +^2 i ,^ z^1 =^ −

√ 3 2 +^ i 2 , dan^ z^2 =^ −i.

1.3 Tempat Kedudukan Titik di Bidang Kom-

pleks

Untuk menyatakan himpunan titik-titik di bidang kompleks pada suatu tempat kedudukan dapat digunakan suatu persamaan atau pertaksamaan. Sebagai con- toh, akan ditentukan kedudukan titik-titik di bidang kompleks yang memenuhi persamaan |z + i| = 2. Misalkan z = x + iy. Dari persamaan tersebut dipe- roleh |x + iy + i| = |x + i(y + 1)| = 2. Berdasarkan definisi modulus bilangan kompleks diperoleh persamaan:

√x (^2) + (y + 1) (^2) = 2,

yang ekivalen dengan persamaan

x^2 + (y + 1)^2 = 4.

Persamaan terakhir merupakan persamaan lingkaran berpusat di (0, −1) berjari- jari 2. Jadi titik-titik di bidang kompleks yang memenuhi persamaan |z + i| = 2 berkedudukan di lingkaran berpusat di z = −i berjari-jari 2.

Dengan demikian, pertaksamaan |z + i| < 2 menyatakan titik-titik di bi- dang kompleks yang berada di dalam lingkaran tersebut.

1.4. LATIHAN SOAL 9

Jadi, titik-titik di bidang kompleks yang memenuhi persamaan |z − 2 i| = |z + 2| terletak pada garis y = −x.

1.4 Latihan Soal

1. Nyatakan bilangan kompleks berikut dalam bentuk a + bi. (a) (5 − 2 i) + (2 + 3i) (b) (2 + 3i)(4 − i) (c) i¯i (d) (^3) −^12 i (e) 3+2 3 − 2 ii (f) (^1) −ii + 1 −ii (g) (^1) i − (^13) −ii (h) i^123 − 4 i^9 − 4 i
2. Jika ada, tentukanlah bilangan kompleks z yang memenuhi sifat berikut. (a) z−^1 = z (b) ¯z = −z (c) ¯z = z−^1
3. Buktikan bahwa ∀z ∈ C berlaku:

Re(z) = z^ + ¯ 2 z dan Im(z) = z^ − 2 ¯z

4. Buktikan: z = ¯z jika dan hanya jika z adalah bilangan real
5. Buktikan: z^2 = (¯z)^2 jika dan hanya jika z adalah bilangan real atau z adalah bilangan kompleks imajiner murni.
6. Nyatakan bilangan-bilangan 3+4i, 1−i, −1+i, 2, − 3 i, e+πi, dan −2+√ 3 sebagai titik-titik di bidang kompleks

10 BAB 1. BILANGAN KOMPLEKS

7. Berapakah jarak antara 2 + i dan 3 − i?
8. Nyatakan bilangan kompleks −1, −2 + 2i, 1 − i, 3, − 4 i, √ 3 i, 2 − 3 i, dan −√ 27 − 3 i dalam bentuk kutub.
9. Tentukan tempat kedudukan titik-titik di bidang kompleks yang memenuhi persamaan atau pertaksamaan berikut. (a) |z − 5 | ≤ 6 (b) Re(z + 2) > − 1 (c) |z + i| < |z − i| (d) |z + 3| − |z + 1| = 1 (e) Im(iz¯) ≥ 4 (f) 0 < Im(z + 1) ≤ 2 π (g) − 2 ≤ Re(z) < 1 (h) arg(z) = π 4 (i) 0 ≤ arg(z) < π (j) Im(2¯z + i) = 0 (k) |z − 2 | ≤ |z|
10. Tentukan semua z yang memenuhi persamaan z^3 + 8 = 0
11. Selesaikan persamaan z^2 + i = 0 kemudian gunakan hasil yang diperoleh untuk menyelesaikan persamaan z^4 + 2iz^2 − 1 = 0
12. Jika |z| = 1 buktikan bahwa |z − w| = | 1 − wz¯ | , ∀w ∈ C
13. Jika |z| < 1 buktikan bahwa Re(z + 1) > 0
14. Tentukan enam bilangan kompleks yang memenuhi persamaan z^6 − √^1 −3+ii =
16. Jika z = cis t buktikan bahwa zn^ + z−n^ = 2 cos nt dan zn^ − z−n^ = 2 sin nt

12 BAB 1. BILANGAN KOMPLEKS

Bab 2

Fungsi Elementer

Pada bab ini dibahas berbagai fungsi elementer yang memetakan suatu titik di C menjadi suatu titik di C pula. Analog dengan pendefinisian fungsi real, fungsi kompleks f adalah suatu aturan yang memetakan atau mentransformasikan suatu bilangan z = x + iy ∈ C menjadi suatu bilangan kompleks w = u + iy ∈ C sehingga fungsi kompleks disebut pula sebagai transformasi. Fungsi kompleks biasa dinotasikan sebagai w = f (z) atau w = u(x, y) + iv(x, y) = f (x, y). Secara geometris, fungsi f merupakan transformasi yang memetakan titik di bidang-z ke bidang-w. Dengan demikian, fungsi kompleks dapat dipandang sebagai fungsi dari R^2 ke R^2 yang memetakan (x, y) menjadi (u, v). Fungsi yang dibahas di sini meliputi fungsi linear, fungsi resiprokal, fungsi bilinear, fungsi pangkat, fungsi eksponen, fungsi logaritma, fungsi trigonometri, dan fungsi hiperbolik.

2.1 Fungsi Linear

Fungsi linear memiliki bentuk umum

w = f (z) = az + b,

dengan a, b ∈ C. Jika a = 0 maka fungsi linear berubah menjadi fungsi konstan. Jika a = 1 dan b = 0 maka fungsi linear merupakan fungsi identitas. Untuk mempelajari bagaimana fungsi linear mentransformasikan suatu titik z di

13

2.2. FUNGSI RESIPROKAL 15

Jika |z| < 1 maka |w| > 1 dan sebaliknya. Artinya, titik-titik di dalam lingkaran satuan |z| = 1 akan ditransformasikan menjadi titik-titik di luar lingkaran, dan sebaliknya. Sedangkan titik-titik pada lingkaran akan tetap berada pada lingkar- an namun posisinya dicerminkan terhadap sumbu x, sebab sudutnya adalah −t. Hal yang menarik dari fungsi resiprokal adalah bahwa fungsi ini dapat mentran- sformasikan garis dan lingkaran menjadi garis atau lingkaran seperti diperlihatkan berikut ini. Perhatikan bahwa jika z = x + iy maka

w = z^1 = (^) x +^1 iy = (^) x +^1 iyxx^ −−^ iyiy = (^) xx 2 −+^ iyy 2 = (^) x (^2) +x y 2 − i (^) x (^2) +y y 2.

Di sini w = u(x, y) + iv(x, y) dengan

u = (^) x (^2) +x y 2 dan v = − (^) x (^2) +y y 2.

Pandang persamaan garis atau lingkaran di bidang-z yang secara umum dinya- takan sebagai a(x^2 + y^2 ) + bx + cy + d = 0. (2.1)

Perhatikan bahwa jika a 6 = 0 maka diperoleh persamaan lingkaran sedangkan jika a = 0 maka diperoleh persamaan garis. Dari rumus u dan v maka diperoleh

u^2 + v^2 = (^) x (^2) +^1 y 2.

Jika kedua ruas persamaan (2.1) dibagi dengan x^2 + y^2 maka diperoleh

a + b (^) x (^2) +x y 2 + c (^) x (^2) +y y 2 + d (^) x (^2) +^1 y 2 = 0.

Substitusi u dan v ke persamaan terakhir akan menghasilkan

a + bu − cv + d(u^2 + v^2 ) = 0,

yang merupakan persamaan lingkaran atau garis.

Jadi, secara umum, transformasi resiprokal memetakan garis atau lingkaran di bidang z dengan persamaan

a(x^2 + y^2 ) + bx + cy + d = 0

16 BAB 2. FUNGSI ELEMENTER

menjadi garis atau lingkaran di bidang w dengan persamaan

a + bu − cv + d(u^2 + v^2 ) = 0.

Sebagai contoh, lingkaran di bidang z berpusat di z = −i berjari-jari 2 yang dinyatakan oleh persamaan

x^2 + (y + 1)^2 = 4

ekivalen dengan x^2 + y^2 + 2y − 3 = 0,

sehingga di sini a = 1, b = 0, c = 2, dan d = −3. Oleh fungsi resiprokal, lingkaran tersebut ditransformasikan menjadi

1 − 2 v − 3(u^2 + v^2 ) = 0,

yang ekivalen dengan persamaan

u^2 + v^2 +^23 v − 13 = 0.

Dengan melakukan manipulasi aljabar sederhana, persamaan tersebut dapat di- nyatakan sebagai u^2 + (v +^13 )^2 =^49 ,

yang merupakan persamaan lingkaran berpusat di z = −^13 i berjari-jari 23.

2.3 Fungsi Bilinear

Fungsi berbentuk f (z) = a 0 + a 1 z + a 2 z^2 +... anzn,

dengan n bilangan bulat tak negatif dan a 0 , a 1 ,... an konstanta kompleks, disebut polinom. Misalkan p(z) dan q(z) adalah polinom. Fungsi berbentuk

f (z) = p q((zz)) ,