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— (BEeEeaeBaneeEk Ee, &: ECOL SUPERIEURE POLYTECHNIQUE Concours @’catrée 2010-201 1 CONCOURS D’ ADMISSION . COMPOSITION DE MATHEMATIOUES (Duré heures) Enoncé 1: (6 points) iner un Polynéme P du 3° depré;rinitaire (c'est-a-dire dont le coefficient de X? st 1) tel que + ° P(Q}=0 et PQ)=1 ef PQ b) ‘a étant un nombre réel, étadier la suite (U,) définie par : : c < i e2 U=a Vae It, Ua =rlu,) Enoncé 2: (4 points) Soit (UV, june suite, 4 termes strictement positifs, de limite 0 ; on suppose que la série DY, diverge. Soient : Si SU, ? Wy fa0 i) Exprimer 1—v, ea fonciionde S, et Si, ¥ 11) Quelle est la nature de la série Y'w, ? (On utilisera la série de terme général [n 7 iii} Quel Ja nature de la série Sy, ? ‘Bnoncé 3: (6 points) UOMEE ‘ r i eae rg 2 < dt Soit x un réel strictement positif et différent de 1. Scit a dn 1) Montrer ?? > i 7 2) Seit BG)= —. 9) i in2 lng Montrer existence de g(x) et calouler sa valeur. 3) Soit w la fonction définie sur IR par w(x) = jx- E(x)-0,5| 7” ot E(x}désigne la partie entiére dex. On définit C(x) = if w Montrer Pexistence de C(x) et calculer sa valeur. Rnoneé 4 t 4 points Pour tous entiers pelw,on poss: yo = ‘ ' a) Calculer | 2(I ~ tht hn) Mantrer que, pour tant entier 2 Montrer que fa suite (8_) con 
