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CCP 2003 – FILIÈRE MP – PHYSIQUE 1
THERMODYNAMIQUE
I- Étude préliminaire 1- Conduction thermique 1-a- J(x,t) représente le transfert thermique (ou la quantité de chaleur) traversant une section unité perpendiculaire à l’axe des x, dans le sens de uG (^) x , pendant 1 seconde. C’est une grandeur algébrique qui s’exprime en W.m-2. La loi de Fourier précise que cette grandeur est proportionnelle au gradient de température et que l’écoulement de transfert
thermique s’effectue dans le sens des températures décroissantes, soit J x t^ grad T
→ →
1-b- Considérons comme système la tranche comprise entre x et x + dx. Un bilan d’enthalpie pendant la
durée dt donne : dH = ρ.S.c.dx.dT = (J(x) – J(x+dx))Sdt = - ∂J/ ∂x.S.dx.dt. Pour un système unidirectionnel, J(x,t) = - λ. ∂T/ ∂x,
ce qui donne l’équation de la chaleur
T
t c
T
x
2 2
1-c- En régime stationnaire (indépendant du temps),^ ∂
2 2 0
T
x
=. Compte-tenu des conditions aux limites, on a
T x T T x L
( ) = c L− 0 h +T 0 et J x
L
( ) = λ^ cT 0 −TLh
2- Résistance thermique due à la conduction 2-a- Par définition, on a Pth = J.S et donc P S L
th =^ λ^ c^ T 0 −TLh, ce qui permet d’écrire^ T^ T^ L
S
0 −^ L = Pth
. En
électricité, la loi d’Ohm sous forme intégrale s’écrit V 0 − V (^) L = R (^) e. I avec, pour un conducteur de longueur L et de section S,
R L e (^) S
où σ est la conductivité électrique du matériau. La puissance thermique est l’analogue de l’intensité électrique, la
température est l’analogue du potentiel électrostatique et la résistance thermique R L th (^) S
est l’analogue de la résistance
électrique.
On a donc T^ T^
L
S
0 −^ L =^ Pth^ =R^ th Pth
. (^) avec Rth en K.W -1. Pour une différence de température donnée, le flux thermique sera
d’autant plus faible que la résistance thermique sera élevée. 2-b- Pour A 1 , on a T 0 – T 1 = Rth1.Pth et pour A 1 , on a T 1 – T 2 = Rth2.Pth avec la même puissance Pth puisqu’il n’y a pas de fuites latérales. On obtient alors T 0 – T 2 = (Rth1 + Rth2 ).Pth, soit R^ th =^ R^ th 1 +Rth 2 : les résistances thermiques s’ajoutent pour des matériaux montés en série (les uns derrière les autres). 2-c- Cette fois-ci, Pth = Pth1 + Pth2, ce qui conduit à G^ th =^ Gth^1 +Gth 2 si Gth est la conductance thermique, l’inverse de la résistance thermique. 3- Transfert convectif
Pour un transfert convectif, T T h S a P c
− = (^) c (^1) définit une résistance thermique de convection R c h Sc
4- Transfert par rayonnement 4-a- On donne P h c h kT
R =^ d
F
HG^
I
KJ^ −
F
HG^
I
KJ
∞
z
3 (^02)
exp
. Posons x h kT
= ν^ et donc dx h
kT
= dν. On obtient alors
l’intégrale P
h kT h
x c x
kT h
dx k T h c
x x
dx k h c
R = T
F
HG^
I
KJ
z ∞^ z∞ =
3
0 2
4 4 3 2
3 0
5 4 3 2
4
c^ exp b g h exp(^ )
, soit PR = σ.T^4 avec^ σ
5 4 3 2
k h c
4-b- Pour l’atmosphère, on obtient, pour Te = 263 K, λma = 11,0 μm, situé dans l’infrarouge. Pour le soleil, on
obtient, pour TS = 5700 K, λms = 0,508 μm, situé dans le visible.
4-c- Le corps de surface S et à la température T émet la puissance totale PR = σ.S.T^4 tandis qu’il reçoit de
l’environnement PRe = σ.S.Te^4 , d’où un bilan donnant P = σ.S.(T^4 – Te^4 ) sortant du corps.
4-d- Pour T = Te + ∆T avec ∆T « Te, on a T T T
e Te (^4) = 4 F 1 + 4 H
G
I K
J
∆ (^) et donc T T T T T e e e
(^4) − 4 = 4 3 ( − ). On obtient
donc P = 4 σST e^3 (T − Te ) = G .(T −Te) avec G^ =^4 σST^ e^3 =^1 /RR
4-e- Les puissances liées au rayonnement et à la convection s’ajoutent, avec une même expression de ∆T pour les deux phénomènes. On obtient donc PTOT = (hS + 4 σST^3 )(T – Te ) = (T – Te )/R avec R = 1/ (hS + 4 σST^3 ).
II- Transfert à travers le mur séparant le local de l’extérieur. 1-a- Entre l’extérieur et l’intérieur, les résistances thermiques s’ajoutent, soit R^ t 1 =^ R^ th +^ R^ ext+^ Rint.
On a, d’après les questions précédentes, R^
e t (^1) S h Se SText 3 h Si ST 3
λ σ + σ int^. La puissance thermique^ Pt1^ s’exprime par
Pt 1 = Tint^ −Text Rt
1-b- A.N. : Rt1 = 3,80.10 -2^ K.W-1^ et Pt1 = 526 W. 1-c- De la même façon, on a R^
e t S h S S T h S S T b b b e b b ext i b b
(^2 3 )
λ σ + σ int^.
A.N. : Rt2 = 0,136 K.W-1^ et Pt2 = 147 W. On constate que le béton est moins responsable des fuites thermiques. En fait, le verre possède une épaisseur 100 fois plus faible que le béton mais conduit à des pertes comparables. En mettant une épaisseur de verre plus importante ou, mieux, en mettant un double vitrage, on réduira les pertes liées au verre. 1-d- Pour une paroi uniquement vitrée, alors R’ (^) t1 = 2/5.Rt1 et donc P’ (^) t1 = 5/2.Pt1 = 1315 W. Les fuites thermiques seraient plus importantes, mais on a toujours un verre de faible épaisseur.
2-a- En régime stationnaire, les flux thermiques à travers S 1 et S 2 sont égaux à P0. On aura, au niveau de la
surface intérieure, Tint − T 1 =R (^) int. P 0 avec R int (^) h Si ST
, d’où T^ T^
P
int (^) h Si ST
0 1
2-b- L’intérieur du verre est uniquement le siège d’un phénomène de conduction thermique, d’où T T e S
1 −^2 = P 0
2-c- On a P 0 = h S Te ( 2 − Text )+ S T σ 2 4 −S Tσ ciel^4 en faisant un bilan énergétique sur la face de sortie S2. Avec
T 2 = Text + ∆T 2 avec ∆T 2 << Test, , on obtient P 0 = h Se ∆T 2 − S Tσ ciel 4 + S Tσext 4 + 4 S Tσ ext 3 ∆T 2 , ce qui permet d’écrire
∆T T T
P S T T
ext h S S T
ext ciel e ext
2 2
0 4 4 = − = 4 3
e j
. On peut poser f^ (^ Text^ ,^ Tciel^ )^ =^ S^ σ^ e Text^4 −Tciel^4 j
2-d- ∆T 2 = 6,47 K d’où T 2 = 279,5 K. T T e S
1 =^2 + P 0
donne T 1 = 280,2 K. T T P int (^) h Si ST
0 1
4 σ 3 donne
Tint = 295,2 K, soit 22,2 °C. La conduction dans le verre est égale à P 0 = 1500 W. La convection extérieure est égale à h (^) e S(T 2 – Text) = 1138 W, soit 76 % de P 0. Le rayonnement extérieur est égal à σS(T 24 – Tciel^4 ) = 374 W, soit 24 % de P0. La convection est 3 fois plus importante que le rayonnement. La convection intérieure est égale à h (^) iS(Tint – T 1 )= 1125 W, soit 75 % de P 0. La convection est encore 3 fois plus importante que le rayonnement. 2-e- Pour h (^) e = 60 Wm-2^ K, on obtient ∆T 2 = 3,97 K d’où T 2 = 277 K. T T e S
1 =^2 + P 0
donne T 1 = 277,7 K.
T T P int (^) h Si ST
0
donne Tint = 292,7K, soit 19,7 °C, température qui a baissé(c’est évident…) mais qui demeure une
température tout à fait raisonnable.
3-a- A travers une vitre, on a vu au 2-b- que T T e S 1 a −^1 b = P 0
= 0,7 K, ce qui fait que l’on peut considérer
que T1a ≈ T1b et de même T2a ≈ T2b.
3-b- La relation de 2-a- T T P int (^) h Si ST
0
ne fait intervenir que la vitre et la surface intérieure : la
relation n’est donc pas modifiée.
C P G m D
e R D
G m R D
A A e A
x T A
A T A
x
→ − = −
F H
G
I K
J −
F
H
G G
I
K
J ( ) (^) J ≈
(^1 )
2 (^1 1 ) G G (^) et C P G m D
e R D
G m R D
A A e A
x T A
A T A
x
→ − = +
F H
G
I K
J −
F
H
G G
I
K
J ( ) (^) J ≈ −
(^2 )
2 (^1 1 )
G G
C P C P G m R D
A A A^ Te A
x
→ → ( 1 ) = − ( 1 ) ≈ 2. 3 G
A.N. : Pour la Lune, 2 3 1 10 10^6
G m R D
L T L
. (^) = ,. − (^) ms− et pour le Soleil, 2 3 5 107 2
G m R D
S T S
. (^) = ,01. − (^) ms− : la contribution du Soleil est
deux fois plus faible que celle de la Lune.
II- Trajectoire de la Lune
1-a- Le théorème du moment cinétique dans le référentiel barycentrique s’écrit d L dt
M
→ → →
système Terre-Lune est isolé. On aura donc L^ T L^ cste
→ → *( , ) =. 1-b- Comme L (^) T T (^) R (^) T JT T
→ → ( ) (^) / = .Ω et L (^) L L (^) R (^) L JL L
→ → ( ) (^) / = .Ω sont constants, les vecteurs rotation propre sont constants.
2-a- Par définition, (^) L C T CAi m vi i Ai
→ → → *( ) = (^) ∑ ∧ *. Or^ v^ i v^ T^ A Ti T
→ → → →
- = *( ) + ∧Ω et CAi CT TAi
→ → → = +. On obtient
donc L (^) C T CT TAi mi v T A Ti T Ai
→ → → → → → = +
F HG^
I KJ^
F HG^
I ∑ KJ *( ) *( ) Ω. Comme (^) m TAi A
i i
∑
→ → = 0 (définition du barycentre^ T^ de la Terre), et
que les points de la Terre sont uniquement en rotation dans le référentiel RT avec le vecteur vitesse angulaire Ω
→ T ce qui s’écrit v Ai (^) R (^) T A Ti T
→ → → ( ) (^) / = ∧Ω , on obtient en développant l’expression de L C T
→
L C T CT m (^) T v T TAi mi v Ai R Ai T
→ → → → → = ∧ +
F HG^
I KJ^
*( ) *( ) (^) ∑ ∧ FHG ( ) (^) / IKJ. La deuxième partie représente la définition de L T T RT
→ ( ) (^) /. On aboutit
à L^ C^ T^ L^ T^ T^ R (^) T CT^ m^ Tv^ T
→ → → → *( ) = ( ) (^) / + ∧ *( ).
2-b- Par analogie, on obtient L^ C^ L^ L^ L^ L^ R (^) L CL^ m^ Lv^ L
→ → → → *( ) = ( ) (^) / + ∧ *( ).
2-c- L T L L (^) C T L (^) C L L T T (^) R (^) T CT mT v T (^) R L L L (^) R (^) L CL m (^) L v L R
→ → → → → → → → → *( , ) = * ( ) + * ( ) = ( ) (^) / + ∧ ( ) (^) / * + ( ) (^) / + ∧ ( )/ *. On
peut donc écrire L T L L T T (^) R (^) T L L L (^) R (^) L Lorb
→ → → → *( , ) = ( ) (^) / + ( ) (^) / + * avec L^ orb CT^ mT^ v T^ R CL^ m^ L v^ L R
→ → → → →
- = ∧ ( ) (^) / * + ∧ ( )/ *
3-a- Comme C est le barycentre de T et L, on a m (^) L CL m (^) TCT
→ → →
- = 0. On déduit, en utilisant la relation de
Chasles, que CL^
m m m
TL CT m m m
T TL
T L
L T L
→ → → →
et (^).
Les vitesses se définissent par v
d CT
dt
m m m
d dt
T R L CM
L T
→
→ → =
F HG^
I KJ^ = −
F HG^
I KJ
/ * , soit^ v^
m m m
T R L v L T
M R
→ → = −
/ * / * (^). De même, on obtient
v m m m
L R T v L T
M R
→ →
3-b- La relation fondamentale de la dynamique s’écrit, dans R* : m d
dt
v m m m m
d dt L L R^ L^ T v^ F L T
M R T L
→ → →
et m d dt
v m m m m
d dt T T R^ L^ T v^ F^ F L T
M R L T T L
→ → → → = −
/ * / * =^ / = − /. On constate donc que la particule fictive de masse μ =^ m m m m
L T L +^ T
est
soumise à la force F T L
→ /.
4-a- L CT m v T CL m v L CT m m m m
v CL m m m m orb T R L R L^ T v L T
M R L^ T L T
M R
→ → → → → → → → → = ∧ + ∧ = − ∧
- ( ) (^) / * ( )/ * / * / * , soit
L TL m m m m orb L^ T v^ CM^ v L T
M R M R
→ → → → → = ∧
- (^) / * = ∧ μ / * (^) : le moment cinétique orbital est celui de la particule fictive.
Le théorème du moment cinétique appliqué en C fixe dans R*, d
dt
L (^) orb CM FT L
→ → → →
- = ∧ (^) / = 0 car CM F (^) T L
→ → et (^) / sont colinéaires.
L (^) orb
→
* est donc constant et peut s’écrire μ c
→
. A chaque instant, le vecteur CM
→ est perpendiculaire à c
→
. Le point C étant fixe,
le point M est dans le plan perpendiculaire à c
→ passant par le point C (qui est le plan contenant C, M 0 et v
→ 0 ).
4-b- Si m T >> m L, alors C est en T, M est en L et R* est confondu avec RT.
5-a- La formule de Binet relative à u( θ) s’écrit : a c u u d u d
er
→ → = − 2 2 +
2
( θ 2 ). La force agissant sur L s’écrit
F Gm m TL
u Gm m u e m a m c u u d u d
T L L^ T TL L T r L L er
→ → → → → / = −^2 = −^2 =^ = −^2 2 (^ + )
2
θ 2 , d’où^ u^
d u d
Gm c
+ 2 = T
θ 2 2 où^ c^ est la constante des aires.
Les solutions sont du type u Gm c
= 2 T+ Acos( θ −θ 0 ) et par un choix judicieux de l’axe des références, on obtient
u Gm c
Ac Gm
T T
F H
G
I K 2 J
2
1 cos θ et donc r
c Gm Ac Gm
p e
T
T
2
2
1 cos θ^1 cosθ^
où p est le paramètre et e l’excentricité de la conique.
5-b- r p p (^) e
et r p a (^) e
, ce qui donne e^
r r r r
a p a p
= 0,0547 et p
r r r r
a p a p
382 ,9. 10 3 km.
5-c- L’excentricité est très faible, donc la trajectoire est presque circulaire. Son rayon est environ D (^) L = ra^ +^ rp= 2
384.10 3 km (^) (valeur qui coïncide bien avec les données). Comme le mouvement est circulaire, la conservation
du moment cinétique orbital impose que ce mouvement soit uniforme. On peut alors écrire
F m D e Gm m D
T L (^) L L L r L^ Te L
r
→ → →
/ = −^ ω^2 = − 2 et donc^ ω^ L T
L
Gm D
2
= 3 , soit^ ω^ L
T L
Gm D
= 3 = 2 ,65. 10 −^6 rad.s− (^1). On en déduit la vitesse de la
Lune vL = D (^) L ωL = 1,02.10 3 m.s-^.
6-a- L^ orb D m vL L L
→ (^) −
- = =2 87.10, 34 kg.m s^2 1. L (^) T T (^) R (^) T J (^) T T m RT T T
→ (^) − ( ) (^) / = Ω = 2 Ω = ,08. kg.m s^2 5
(^2 7 1033) et
L (^) L L (^) R (^) L J (^) L L m RL L L
→ (^) − ( ) (^) / = Ω = 2 Ω = ,39. kg.m s^2 5
(^2 2 1029). On constate donc que →L (^) L ( L ) (^) / R (^) L << →L (^) T^ (T ) (^) / R (^) T < →L*orb.
6-b- Comme le moment cinétique de L est négligeable, on a L T L L (^) orb L (^) T T (^) R (^) T D m vL L L k J (^) T Tk
→ → → → → *( , ) = * + ( ) (^) / = + Ω. Pour le mouvement circulaire uniforme de la Lune autour de la Terre,
on a m v D
Gm m D
L L L
T L L
2 = 2 et donc D m vL L L = m (^) L Gm DT L. On en déduit L^ T L^ m^ L Gm DT L J^ T T ez
→ → *( , ) ≈ (^) e + Ω j.
