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La fonction exponentielle
Problème à résoudre
On cherche les fonctions f dérivables sur R telles que
{ (^) f (0) = 1 f ′^ = f Nous avons déjà essayé de construire une représentation graphique approchée d'une telle fonction au voisinage de 0 en utilisant la méthode d'Euler.
I) Dé nition de la fonction exponentielle
1) Théorème et dé nition
Théorème 1 Il existe une unique fonction f dé nie et dérivable sur R telle que f (0) = 1 et f ′^ = f. Cette fonction est appelée exponentielle et notée exp.
Démonstration. Deux points à montrer :
- Existence. (admis pour l'instant)
- Unicité. Pour démontrer l'unicité d'une telle fonction nous allons avoir besoin d'un résultat intermédiaire :
Lemme 2 Si f est une fonction dérivable sur R telle que f (0) = 1 et f ′^ = f , alors
- Pour tout x ∈ R, f (x) × f (−x) = 1.
- La fonction f ne s'annule pas sur R, elle est même strictement positive.
Démonstration du lemme 2.
- Pour tout x ∈ R, on pose ϕ(x) = f (x)f (−x). La fonction ϕ est dé nie et dérivable sur R. De plus ϕ est un produit de la forme u × v, où v est une fonction composée :
ϕ′(x) = f ′(x)f (−x) + f (x)f ′(−x) × (−1) = f (x)f (−x) − f (x)f (−x) = 0
Ainsi ϕ est constante. Or ϕ(0) = f (0)f (−0) = 1 × 1 = 1. Donc, pour tout x ∈ R,
f (x)f (−x) = ϕ(x) = ϕ(0) = 1
- • Raisonnons par l'absurde : soit a ∈ R tel que f (a) = 0. Alors ϕ(a) = f (a)f (−a) = 0 × f (−a) = 0. Mais, d'après ci-dessus, ϕ(a) = 1. Ce qui est absurde.
- Pour montrer que f > 0 , raisonnons aussi par l'absurde : soit a ∈ R tel que f (a) < 0. La fonction f est dérivable donc continue sur R, f (0) = 1 > 0 et f (a) < 0 , donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe b compris entre 0 et a tel que f (b) = 0. Ce qui est impossible d'après ci-dessus. Donc f (x) > 0 pour tout x ∈ R.
Démonstration du théorème 1 (unicité). Soit f et g qui conviennent^1. Posons ϕ =
f g
. La
fonction ϕ est dé nie et dérivable sur R (car g(x) 6 = 0 pour tout x ∈ R, d'après le lemme). Vu que f ′^ = f et g′^ = g, il vient
ϕ′^ =
f ′g − f g′ g^2
f g − f g g^2
Donc ϕ est constante et comme ϕ(0) = f (0)/g(0) = 1/1 = 1, pour tout x ∈ R ϕ(x) = 1. C'est-à-dire f /g = 1, d'où f = g. Il y a donc unicité.
2) Propriétés de la fonction exponentielle
Propriété 3
La fonction exp est dérivable sur R, et pour tout x ∈ R, exp′(x) = exp(x).
exp(0) = 1
Pour tout x ∈ R, exp(−x) =
exp(x)
Pour tout x ∈ R, exp(x) > 0
Pour tout x ∈ R et tout y ∈ R, exp(x + y) = exp(x) exp(y)
Pour tout x ∈ R et tout y ∈ R, exp(x − y) =
exp(x) exp(y)
- Pour tout x ∈ R et tout n ∈ Z, exp(nx) = (exp(x))n
Démonstration.
Par dé nition.
Par dé nition.
Lemme 2, point 1.
Lemme 2, point 2 : pour tout x ∈ R, exp(x) exp(−x) = 1 donc exp(−x) =
exp(x)
- On procède comme lors de la démonstration du lemme 2, point 2. Soit y ∈ R xé. La fonction dé nie par ϕy(x) = exp(x + y) exp(−x) est dé nie et dérivable pour tout x ∈ R. De plus
ϕ′ y(x) = exp′(x+y) exp(−x)+exp(x+y) exp′(−x)×(−1) = exp(x+y) exp(−x)−exp(x+y) exp(−x) = 0
Ainsi ϕy est constante. Or ϕy(0) = exp(0 + y) exp(−0) = exp(y). Donc, pour tout x ∈ R,
exp(x + y) exp(−x) = ϕy(x) = ϕy(0) = exp(y)
Donc, d'après le point 3, pour tout x ∈ R, exp(x + y) =
exp(−x)
exp(y) = exp(x) exp(y)
- Conséquence des points 5 et 4.
- Récurrence.
(^1) Début classique de la plus part des démonstrations d'unicité.
- Position de C par rapport à sa tangente en x = 0 Il faut étudier le signe de ϕ(x) = ex^ − (x + 1) sur R. La fonction ϕ est dérivable, et ϕ′(x) = ex^ − 1. Or pour tout x ∈ R, ϕ′(x) ≥ 0 ⇐⇒ ex^ ≥ 1 ⇐⇒ ex^ ≥ e^0 ⇐⇒ x ≥ 0
x
ϕ′(x)
ϕ
Donc, pour tout x ∈ R, ϕ(x) ≥ 0 , c'est-à-dire Cexp est au-dessus de sa tangente.
- Équation de la tangente à C en x = 1. Par dé nition, exp(1) = e et exp′(1) = exp(1) = e. Donc
y = exp′(1)(x − 1) + exp(1) = e(x − 1) + e = ex
3) Représentation graphique
x
f (x)
e
T 0
T 1
4) Résolution d'équations et d'inéquations
Propriété 9 Pour tout réel a et b, ea^ = eb^ ⇐⇒ a = b ea^ > eb^ ⇐⇒ a > b
Démonstration. La fonction exp est strictement croissante.
5) Limites en l'in ni
Propriété 10
- lim x→+∞
ex^ = +∞.
- (^) x→−∞lim ex^ = 0.
Démonstration.
D'après ci-dessus, pour tout x ∈ R, ex^ ≥ x + 1. Or (^) x→lim+∞ x + 1 = +∞. Donc, par comparaison, (^) x→lim+∞ ex^ = +∞.
La propriété précédente entraîne (^) x→lim+∞
ex^
De plus
ex^
= e−x^ et (^) x→−∞lim −x = +∞. Donc, par composition des limites, (^) x→−∞lim ex^ = 0.
III) Applications
1) Fonctions composées du type eu
C'est un cas particulier de fonction composée à connaître impérativement.
Propriété 11 Soit u une fonction dé nie et dérivable sur un intervalle I. Alors
(eu)′^ = u′eu
Démonstration. Posons v = exp. Puisque v′^ = exp, la formule de dérivation des fonctions compo- sées s'écrit f ′^ = (v ◦ u)′^ = u′^ × (v′^ ◦ u) = u′eu.
Exemple 12 Étudier la fonction dé nie par f (x) = e−x^ pour tout x ∈ R.
La fonction u dé nie sur R par u(x) = −x a pour dérivée u′(x) = − 1. Pour tout x ∈ R, f (x) = exp(u(x)), donc, d'après la propriété 11, f ′(x) = u′(x) exp(u(x)) = − 1 × exp(−x) = −e−x.
2) Croissance comparée
Propriété 13
- (^) x→lim+∞
ex x
- (^) x→−∞lim xex^ = 0.
Démonstration. La démonstration est du même type que celle de la propriété 10.
Donc, par composition des limites (^) x→lim+∞
ex xn^
= (^) x→lim+∞ f (x) = +∞
