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LA FONCTION EXPONENTIELLE
Introduction : D’après Belin Éducation
Les études sur les bactéries intestinales ont montré que, très souvent, on observait le phénomène suivant : en appelant N la
fonction qui, à l’instant t, associe le nombre N(t) de bactéries présentes dans un échantillon, sa vitesse de croissance N’(t) est
proportionnelle à N(t), c’est-à-dire qu’il existe un réel k tel que ,pour tout réel t positif, N’(t)=k ×N(t).
Ainsi la fonction N vérifie un nouveau type d’équations où l’inconnue n’est plus un nombre mais une fonction. Ces équations
qui font intervenir la dérivée d’une fonction sont appelées équations différentielles.
I Généralités sur la fonction exponentielle
1. La fonction exponentielle
Définition
Il existe une unique fonction dérivable sur ℝ telle que pour tout réel 𝒙𝒙 , 𝒇𝒇
′
(𝒙𝒙) = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) et 𝒇𝒇(𝟎𝟎) = 𝟏𝟏.
Elle est appelée fonction exponentielle et est notée 𝒆𝒆𝒙𝒙𝒆𝒆.
Par définition, on a : 𝒆𝒆𝒙𝒙𝒆𝒆
′
(𝒙𝒙) = 𝒆𝒆𝒙𝒙𝒆𝒆(𝒙𝒙) sur ℝ et 𝒆𝒆𝒙𝒙𝒆𝒆
On admet l’existence de cette fonction.
Preuve de l’unicité : Approfondissement
Rappel : si une fonction 𝐹𝐹 est dérivable sur un intervalle 𝐼𝐼 et si 𝐹𝐹
′
(𝑥𝑥) = 0 sur 𝐼𝐼 alors 𝐹𝐹 est constante sur 𝐼𝐼.
a) Propriété intermédiaire : si une fonction 𝑓𝑓 vérifie 𝑓𝑓
′
(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) et 𝑓𝑓(0) = 1 alors 𝑓𝑓 ne s’annule pas sur ℝ.
Preuve : posons ℎ(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) × 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) pour tout réel 𝑥𝑥.
ℎ est dérivable sur ℝ et ℎ
′
′
)[
′
)] =
ℎ est donc une fonction constante sur ℝ. Or, ℎ(0) = 𝑓𝑓(0)
2
= 1 donc pour tout réel 𝑥𝑥, ℎ(𝑥𝑥) = 1.
Pour tout réel 𝑥𝑥, 𝑓𝑓
) ×
donc 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ne peut pas être égal à 0. On remarque que 𝑓𝑓
1
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
b) Supposons qu’il y ait deux fonctions 𝑓𝑓 et 𝑔𝑔 dérivables sur ℝ, égales à leur dérivée et prenant la valeur 1 en 0.
D’après a) ces fonctions ne s’annulent jamais. On peut poser, pour tout réel 𝑥𝑥, 𝑞𝑞
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑔𝑔(𝑥𝑥)
La fonction 𝑞𝑞 est dérivable sur ℝ et
′
𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑓𝑓
′
(𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔
′
(𝑥𝑥)
(𝑔𝑔
( 𝑥𝑥
))²
𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑓𝑓(𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥)
(𝑔𝑔
( 𝑥𝑥
))²
𝑞𝑞 est donc une fonction constante; or, 𝑞𝑞
. Pour tout réel 𝑥𝑥, 𝑞𝑞
et donc 𝑓𝑓
Les fonctions 𝑓𝑓 et 𝑔𝑔 sont donc les mêmes.
2. Propriétés algébriques
Théorème fondamental : pour tous réels 𝒙𝒙 et 𝒚𝒚 , 𝒆𝒆𝒙𝒙𝒆𝒆
𝒆𝒆𝒙𝒙𝒆𝒆(𝒙𝒙) × 𝒆𝒆𝒙𝒙𝒆𝒆(𝒚𝒚)
On dit que la fonction exponentielle transforme une somme en un produit.
Preuve : Approfondissement
Soit un réel 𝑎𝑎 et soit , pour tout réel 𝑥𝑥, 𝑘𝑘
. (on sait que exp(𝑥𝑥
≠ 0 pour tout 𝑥𝑥).
Cette fonction 𝑘𝑘 est dérivable sur ℝ et 𝑘𝑘
′
= 0
𝑘𝑘 est donc une fonction constante ; comme 𝑘𝑘(0) = exp(𝑎𝑎) alors , pour tout réel 𝑥𝑥, 𝑘𝑘(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒(𝑎𝑎).
Finalement : 𝑘𝑘(𝑥𝑥) =
= 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒(𝑎𝑎) donc pour tout réel 𝑥𝑥, 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒(𝑥𝑥) 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒(𝑎𝑎)
Comme 𝑎𝑎 était un réel quelconque , on a bien la propriété.
Conséquences :
Deux nombres opposés ont des exponentielles inverses.
La fonction exponentielle transforme une différence en un quotient.
3. Pour tout entier relatif 𝒆𝒆 , 𝒆𝒆𝒙𝒙𝒆𝒆
) = [
)]
𝒆𝒆
Preuve :
𝑥𝑥 + (−𝑥𝑥)) = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒(𝑥𝑥) × 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒(−𝑥𝑥) donc 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒
- Il suffit de voir que exp(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) = exp�𝑥𝑥 + (−𝑦𝑦)� = exp(𝑥𝑥) × exp(−𝑦𝑦) = exp(𝑦𝑦) ×
1
exp(𝑦𝑦)
exp(𝑥𝑥)
exp(𝑦𝑦)
- si 𝑒𝑒 ∈ 𝑁𝑁
∗
, exp(𝑒𝑒𝑥𝑥) = exp(𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ….. +𝑥𝑥) = exp(𝑥𝑥) × exp(𝑥𝑥) … × exp(𝑥𝑥) =[exp(𝑥𝑥)]
𝑒𝑒
𝑒𝑒 fois p fois
si p = 0 , exp(0)=1 = [exp(0)]
0
si 𝑒𝑒 < 0, 𝑒𝑒 = −𝑚𝑚 avec 𝑚𝑚 > 0 donc
exp(𝑒𝑒𝑥𝑥
) = exp( −𝑚𝑚𝑥𝑥
1
exp(𝑚𝑚𝑥𝑥)
1
[exp(𝑥𝑥)]
𝑚𝑚
[exp( 𝑥𝑥
)]
−𝑚𝑚
[exp( 𝑥𝑥
)]
𝑒𝑒
Exercice : Manipuler les propriétés algébriques
Sachant que 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒(2) ≈ 7 , 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒(3) ≈ 20 et 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒(4) ≈ 55 , en déduire un ordre de grandeur de 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒(5) ,
de 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒(−3) et de 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒(1)
2. Variations de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est définie et dérivable sur ℝ , strictement positive sur ℝ et strictement croissante sur
ℝ. Sa courbe est située au-dessus de l’axe (𝑶𝑶𝒙𝒙) , elle possède une tangente (non verticale) en chaque point.
Tableau de variations :
Courbe
f
C
Tangente
0
D au point d’abscisse 0 :
Tangente
1
D au point d’abscisse 1:
III Étude d’une composée affine de la fonction exponentielle
Vocabulaire : Si 𝑘𝑘 est un réel strictement positif, les fonctions définies par 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒
𝑘𝑘𝑥𝑥
ou 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒
−𝑘𝑘𝑥𝑥
sont appelées
des fonctions exponentielles.
Propriété : Leurs dérivées sont : 𝑓𝑓′
𝑘𝑘 × 𝑒𝑒
𝑘𝑘𝑥𝑥
ou 𝑔𝑔′
−𝑘𝑘 × 𝑒𝑒
−𝑘𝑘𝑥𝑥
Preuve :
On pose 𝑓𝑓
) = exp(
𝑋𝑋) avec 𝑋𝑋 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏. La fonction 𝑓𝑓 est dérivable sur .
Donc d’après chapitre précédent pour une fonction composée , 𝑓𝑓
′
(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 × 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒
′
(𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏) or 𝒆𝒆𝒙𝒙𝒆𝒆
′
donc 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 × exp(𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏)
Exercice : Utiliser la dérivée de la fonction exponentielle
Pour chacune des fonctions définies sur , déterminer l’expression de sa fonction dérivée.
3𝑥𝑥
−
𝑥𝑥
2
𝑥𝑥
Exercice : Représenter graphiquement les fonctions 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒
𝑘𝑘𝑥𝑥
et 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒
−𝑘𝑘𝑥𝑥
Représenter graphiquement les fonctions 𝑓𝑓
3𝑥𝑥
et 𝑔𝑔
−
𝑥𝑥
2
Exercice : Utiliser la dérivée de la fonction exponentielle
Pour chacune des fonctions définies sur , déterminer l’expression de sa fonction dérivée sur.
𝑥𝑥
𝑥𝑥
IV Lien avec les suites géométriques
Propriété : Pour tout réel a, la suite ( )
na
e définie sur est une suite géométrique.
Exercice: Identifier une suite géométrique
Soit la suite définie par : 𝑢𝑢
𝑛𝑛
3𝑛𝑛
. Vérifier que cette suite est géométrique.
n 1
n
u
u
Exercice 2 : Dans une culture de bactéries, le nombre de bactéries est donné par 𝑁𝑁(𝑡𝑡) = 𝑁𝑁(0) × 𝑒𝑒
0 ,017329𝑡𝑡
où 𝑡𝑡 est le
temps en minutes. Vérifier que cette population double environ toutes les 40 minutes.
Remarque : si 𝑡𝑡 est en heures , que devient la fonction N?
Exercice 3 : Datation au carbone 14
Lorsqu’un organisme meurt, la quantité de carbone14 qu’il contient décroît
Le nombre d’atomes de carbone 14 présents dans un échantillon de matière organique, 𝑡𝑡 années après sa mort est
donné par : 𝑁𝑁(𝑡𝑡) = 𝑁𝑁(0)𝑒𝑒
−0,0001216𝑡𝑡
Vérifier que la demi-vie (temps au bout duquel la moitié de carbone 14 a été décomposée) est d’environ 5 700 ans.
Calculer le pourcentage de diminution du nombre d’atomes de carbone 14 sur une période de 1 siècle.
VI Exercices d’algorithme
Voici un extrait du "Théorème du perroquet" de Denis Guedj :
« Suppose qu'il y a un an tu aies amassé un beau pécule qui nous permettra de payer notre voyage pour Manaus. Soit P, ce pécule.
Tu l'as placé en attendant. Coup de bol, ton banquier t'a proposé un taux d'intérêt mirobolant : 100 %! Ne rigole pas, ça s'est vu.
Pas avec les pauvres, mais avec les riches. Rêve! Calcule! Au bout d'un an, tu aurais eu P + P = 2P. Tu aurais doublé ton pécule.
Si au lieu de toucher les intérêts à la fin de l'année, tu les avais touchés tous les six mois et que tu les aies replacés, au bout d'un an
ça t'aurait fait P(1 + 1/2)
2
. Calcule! Tu aurais plus que doublé ton pécule tu aurais 2,25P. Si au lieu de toucher les intérêts tous les
six mois, tu les avais touchés tous les trimestres et que tu les aies replacés, au bout de l'année, ça t'aurait fait P(1 + 1/4)
4
. Calcule!
Tu aurais gagné encore plus : 2,441P. Si tu les avais touchés tous les mois et que tu les aies replacés, ça t'aurait fait P(1 + 1/12)
12
.
Calcule! 2,613P. Encore plus! Puis, tous les jours : P(1 + 1/365 )
365
. Encore plus toutes les secondes, encore plus. Et puis, tous les
riens du tout, « en continu ». Tu n'en peux plus, tu t'envoles, tu planes, tu te dis que c'est Byzance, que ton pécule pécuple, qu'il va
quadrupler, décupler, centupler, millionupler, milliardupler, [ ... ] Tes intérêts composés, ils ont beau se décomposer, eh bien, à
l'arrivée, tu n'a même pas le triple de ton pécule, ni même 2,9 fois plus, ni même 2,8 fois plus, ni même 2,75 fois plus, ni même 2,
fois plus... Tu as seulement 2, 71 828 1828! ... Mon pauvre John, après toute cette richesse, te voilà seulement e fois moins pauvre
qu'au départ! »
A. Détermination d’une valeur approchée de « e » à la manière de Bernoulli
On considère la suite définie pour tout entier naturel n ≥ 1 par
n
n
u
n
1. Écrire en Python le script de la fonction u d’argument n qui renvoie une valeur approchée du terme de rang n de
la suite (
n
u ).
- On considère la fonction precision dont le script est donnée ci-contre.
Tester la fonction avec p = 2 puis interpréter.
À partir de quelle valeur de n obtient-on une valeur approchée de « e » à
2
−
près? À
5
−
près?
B. Construction de l’exponentielle par la méthode d’Euler.
L’approximation par la méthode d’Euler consiste à approcher la courbe d’une fonction g par ses tangentes. Pour
de très petites valeurs de h , au point d’abscisse a + h, la courbe de la fonction g est très proche de sa tangente
au point d’abscisse a : la courbe et sa tangente semblent presque se confondre.
D’après Euler, on a alors : g a ( + h ) ≈ g '( ) a × h + g a ( ).
(Rappel : Équation de la tangente au point d’abscisse a : y = g '( )( a x − a ) + g a ( ) )
On cherche à représenter graphiquement une fonction f qui vérifie les conditions suivantes f (0) = 1 et, pour
tout nombre réel x , f '( ) x = f ( ) x.
1. Justifier que, dans ce cas de la fonction f que l’on souhaite représenter, l’approximation d’Euler consiste à
écrire f a ( + h ) ≈ f a ( )(1 + h ).
2. a) Déterminer f (0,1)avec h =0,
b)Déterminer f ( 0,1)− avec h = −0,
3. Dans la feuille de calcul ci-contre, quelles formules a-t-on saisies dans les cellules B3 et E3 pour appliquer
l’approximation d’Euler à la fonction f?
4. À l’aide d’un logiciel, reproduire la feuille de calcul ci-contre après
avoir déterminé la valeur prise pour h.
