Lecture 12: Track Finding and Fitting in Particle Physics, Study notes of Advanced Data Analysis

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

第第第第第第第第第第第第第第第第第

第第第 第第第第第第第第第



第第第第第第第第第第第第



第第 (Approximate) 第第第第 (fast)



第第 (Precise) 第第第第 (slow)



2D Circle fitting (2 第第第第第第第 , 第第第第第第第第第第第第第第 )



3D Helix fitting (3 第第第第第第 )



Global least-square method ( 第第第第第第第 )



Kalman filter method

第第第第第第

第第第第第第

Global least-squares method

Global least-squares method



Used for many decades in

HEP/Nuclear experiments.



Proper treatment of elastic,

multiple Coulomb scattering

included in the method during the

70’s.



Close to optimal in precision, but

may be computationally quite

expensive with a large number of

measurements and/or a large

number of scattering device.



第第第第



第第第第



第第第第

第第第第第第第第第第第第第

第第第第第第第第第第第第第

第第

第第



第第 : 第第第第



第第 : 第第第



第第第第第



第第第第 + 第第第



第第第第第第第第第第第第第第

第

i cell D W i

i W D L

(S S ) /

S tan

i

i i

  

  

  

  

圆圆圆圆圆

     

2

i c

2

i i c

2

i

2

d x x y y

d R

N

1

   

 



     

2 R

x x y y R

N

1

2

2

i c

2

i c 2



   

圆 d

i

~R, 圆圆圆圆

圆圆圆

3 parameters for each circle: , ,

c c

x y R

   

, ,

i i i i

   x y

圆圆圆圆 X-Y 圆圆圆圆 :

Circle fitting: Least-Square method

Circle fitting: Least-Square method

2 R

x x y y R

N

2

2

i c

2

i c

2

圆圆圆圆圆圆 Karimaki 圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆

圆圆圆圆圆 Karimaki 圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆

圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆 Karimaki 圆圆

圆圆圆圆圆 BES2 圆 L3, OPAL 圆

Circle fitting: Karimaki method

Circle fitting: Karimaki method

 

 

 

2

i

2

i i

2

i i i i

2

i i i i

z R 1 R

y R sin 1 R

x R cos 1 R

 

 

 

圆圆圆圆圆圆 / 圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆

Circle fitting: Riemann fit

Circle fitting: Riemann fit

(I)

(I)

 

    

2

i

2

1 i 2 i 3 i

S c n x n y n z d

圆圆圆圆圆圆圆圆 n=(n

1

,n

2

,n

3

) 圆圆圆圆圆圆圆圆圆 c

圆 S 圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆

圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆

圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆

圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆

Kalman Filter 圆圆圆圆圆

圆圆圆圆圆 ATLAS ,CMS 圆

Circle fitting: Riemann fit

Circle fitting: Riemann fit

(II)

(II)

   

 

























 

  

  











2

d

1

y

1

1

y

T T

m

1

y

T

m

2

m

1

y

T

0

1

, V diag

d

A

V A V A

d d V d d

V A V (d d )

 





 



 

 

• 圆圆圆圆圆圆圆
• 圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆
• 圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆 Jacobian
• 圆圆圆圆 , 圆圆圆圆圆圆圆圆圆
• 圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆

圆圆圆圆

圆圆圆圆

Helix fitting: Least-Square method

Helix fitting: Least-Square method

第第第第

第第第第



第第第第



第第第第第第第第第第第第

第第第第第第 Multiple

Scattering 第



BES3 第第第第第第

BES2 第第第第第第第

     

2

ms

2

res

2

xy

R

1

BR

  



    

p  c 

cos

0

2

ms

2

xy

res

cos

1. 016

4

720

X

L

Lp

L N

 







 



 

BES2: Bhabha 圆圆

Kalman Filter

Kalman Filter

第第

第第

1960 第 , 第第第第第第 Kalman 第第第第第第 , 第

1987 第 ,Frühwirth 第 Kalman

filter 第第第第第第第第第第第第

Kalman filter 第第第第第第第第第第第第



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第第 , 第第第第第第第第第第 , 第第第第第第第第第第第第



第第第第 , 第第第第. 第第第第第第第第第第第第第第第第第第 , 第

第第第第 , 第第第第第第第第第第第第第

1. Prediction
2. Filtering
3. Smoothing

State Vector

Kalman Filter

Kalman Filter