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UNIDAD III.- Derivadas de
funciones
El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se
produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los
estudios de Física, Química y Biología.
La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando tratamos de
funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de variación de la función en un
instante determinado o para un valor determinado de la variable, si ésta no es el tiempo. Por
tanto, la derivada de una función para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de
dicha función y para el valor concreto de la variable.
Un aspecto importante en el estudio de la derivada de una función es que la pendiente o
inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio
instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la inclinación de la recta tangente en un punto, mayor es la
rapidez de cambio del valor de la función en las proximidades del punto.
La derivada nos informará de con qué celeridad va cambiando el valor de la función en el punto
considerado.
El concepto de la segunda derivada de una función – “derivada de la derivada” - también se aplica
para saber si la rapidez de cambio se mantiene, aumenta o disminuye. Así el concepto de
convexidad y concavidad -aspectos geométricos o de forma- de una función están relacionados
con el valor de la derivada segunda.
Finalmente, la derivada con nos ayuda con la relación de los problemas de optimización de
funciones. Estos problemas decimos que son de máximo o de mínimo (máximo rendimiento,
mínimo coste, máximo beneficio, mínima aceleración, mínima distancia, etc.).
Teorema de la derivada
Si nuestra necesidad obedece a conocer ¿cuál sería la razón de cambio mínima de una función?,
entonces buscaríamos obtener su pendiente ( m ) , ya que esta es la que mide la razón de cambio, y
debemos recordar que para ello necesitamos tener 2 valores de x con lo cual obtendremos 2
valores de y los cuales deben estar dentro de la curva de la función. (Véase Figura 1)
(Ec.1)
m=
∆ y
∆ x
y
2
− y
1
x
2
−x
1
A esta pendiente ( m ) le llamaremos la recta tangente de la curva, dado que estaremos buscando el
cambio mínimo.
Nota: Una recta secante es una recta que corta a una curva en 2 puntos. Conforme estos puntos
se acercan y su distancia se reduce a cero, la recta adquiere el nombre de recta tangente.
Fig.1. Ilustración de una función y su recta tangente.
De acuerdo a la figura 1, la medición de la razón de cambio se calcularía con los datos a partir de
los puntos “P” y “Q” , por tal nuestra Ec.1 se transformará en:
y
2
− y
1
x
2
−x
1
=m=
f ( a+h)−f (a)
h
(Ec.2)
f ( a+h) = y
2
;el valor de y cuando x aumentó
f ( a)= y
1
; el valor de la funcioncon el valor inicial de x
a=x
1
; valor inicial de x
a+h=x
2
;valor final de x
h=∆ x=x
2
−x
1
; incremento de valor en x
http://www.iesarangurenavila.com/files/ruben/public/4_derivadas_1_BCT/
tasa_de_variacin_media.html
Pero como nuestra intención es encontrar su razón de cambio mínimo, entonces la diferencia
entre los valores de x debe ser tan pequeña que tenderá a ser cero, así lo expresamos como un
límite de la ecuación Ec.2 que se convierte en
f
'
( a )=m=
lim
h → 0
f ( a+h )−f (a)
h
(Ec.3)
h
f(a)
a
f(a+h)
a+h
y
2
= 2 x
2
La derivada de f
x
=x
2
en el punto donde x=1 es 2 y su recta es f ' ( x )= 2 x
Ejemplo 2.
Ahora f
x
=x
2
− 3 x + 1
para un valor de x=− 2 , calcular la derivada.
lim
h→ 0
f ( a+h) −f ( a)
h
Determinamos los valores de las funciones para el punto x=-
m=f
'
=lim
h → 0
f (− 2 + h)−f (− 2 )
h
f
− 2 + h
=x
2
− 3 x + 1 =(− 2 +h)
2
− 3 (− 2 +h)+ 1
f
− 2 + h
2
2
− 3 (− 2 +h)+ 1
f (− 2 + h)= 4 − 4 h+( h)
2
f
− 2 + h
= 11 − 7 h +h
2
f
=x
2
− 3 x+ 1 = 2
2
Sustituyendo los valores de cada función
m=f
'
(− 2 )=lim
h → 0
11 − 7 h+( h)
2
h
m=f
'
(− 2 )=lim
h → 0
h (− 7 +h)
h
f
'
=lim
h → 0
− 7 + h=¿ m=− 7 ¿
Proponemos el valor de la ecuación sustituyendo el valor de la m y de x 1
m
x
2
−x
1
= y
2
− y
1
(
x
2
)
= y
2
− 7 x
2
− 14 + 11 = y
2
y
2
=− 7 x
2
La derivada de f
x
=x
2
− 3 x + 1
en el punto donde x=-2 , SERIA -7 y la ecuación SU RECTA SERIA
f
'
( x)=− 7 x− 3
Ejemplo 3.
Si quisiéramos obtener una derivada sin tener un punto en particular, entonces a seria x, y se
resolvería en función de x. Veamos el caso donde f ( a)=x
2
− 4 x
Aplicando el límite nos daría que
m=lim
h → 0
3 u
2
2
= 3 u
2
La derivada de f
x
=u
3
es
3 u
2
Ejemplo 5.
Ahora evaluemos en el mínimo cambio a f ( x )=u, siendo u una variable.
m=
lim
h → 0
f ( x+h)−f ( x)
h
Como no hay valor para u, entonces:
f ( x )=u
Y entonces f ( x +h ) quedaría también como tal
f ( x +h )=u+h
Si sustituimos los valores encontrados en la ecuación de m , obtenemos:
m=
lim
h → 0
u+ h−u
h
m=
lim
h → 0
h
h
La derivada de f ( x )=u es 1
ENTONCES A PARTIR DE ESTO ES QUE DETERMINAMOS LOS PRIMEROS TEROEMAS DEL ALGEBRA
Y QUE NOS DARIAN PASO A LOS SIGUIENTE:
1. f ' ( a)= 0
Porque si a es una constante entonces no varia y no varia entonces su razón de cambio es 0
2. f
'
x
=x +u=f
'
x
'
u
Porque se puede resolver primero cada derivada y después sumar los resultados.
3. f
'
( x )= 1
El ejemplo 5 demostró que es y es igual x, entonces los cambios en ambas son iguales y la razon de
cabio (derivada) es 1.
4.
d
dx
=f ' ( x
n
)=nx
n− 1
DE AQUÍ EN ADELANTE SOLO NOS QUEDA UTILIZAR LOS TEOREMAS QUE YA SE HAN RESUELTO Y
ENTENDER LA FORMA DE RESOLVER LAS DERIVADAS (FORMULARIOS)
Primero decimos que cada termino se evalúa por separado, así queda representado como
d
dx
x
2
d x
2
dx
dx
dx
d 2
dx
Después resolvemos cada derivada
d x
2
dx
= 2 x
d x
n
dx
=n x
n− 1
dx
dx
dx
dx
d 2
dx
; porque
da
dx
Finalmente sumamos los resultados
d
dx
( x
2
+ x− 2 )= 2 x + 1 − 0 = 2 x + 1
d
dx
( 3 x
3
+ 1 ) ( x− 4 )=¿
d ( u. v )
dx
=u
dv
dx
+v
du
dx
d
dx
( 3 x
3
+ 1 ) ( x− 4 )=( 3 x
3
+ 1 ) + ( x− 4 ) 9 x
2
= 3 x
3
2
3
d
dx
( 3 x
3
+ 1 ) ( x− 4 )= 12 x
3
− 36 x
2
d
dx
( 6 x
4
− 2 x
2
) ( 3 x
5
+ 6 x ) =¿
d ( u. v )
dx
=u
dv
dx
du
dx
Aplicamos el teorema para quedar
d
dx
6 x
4
− 2 x
2
3 x
5
6 x
4
− 2 x
2
d ( 3 x
5
+ 6 x )
dx
3 x
5
d ( 6 x
4
− 2 x
2
dx
Ahora resolvemos cada paso en particular y recordamos primero que cada termino de una suma o
resta se puede derivar por separado
d
dx
( u+ v−w )=
du
dx
dv
dx
dw
dx
d ( 3 x
5
+ 6 x )
dx
d 3 x
5
dx
d 6 x
dx
= 15 x
4
Aquí aplicamos el teorema que dice
d
dx
a. u=a.
du
dx
d 3 x
5
dx
d x
5
dx
x
4
= 15 x
4
Para resolver aplicamos
d
dx
u
n
=n .u
n − 1
d x
5
dx
= 5 x
4
d 6 x
dx
dx
dx
d
6 x
4
− 2 x
2
dx
= 6 ( 4 ) x
3
− 2 ( 2 ) x
1
= 24 x
3
− 4 x
Así sustituyendo en la ecuación original tenemos
d
dx
( 6 x
4
− 2 x
2
) ( 3 x
5
+ 6 x ) =( 6 x
4
− 2 x
2
) ( 15 x
4
+ 6 )+( 3 x
5
+ 6 x ) ( 24 x
3
− 4 x )
Resolviendo para factorizar
d
dx
( 6 x
4
− 2 x
2
) ( 3 x
5
+ 6 x ) = 90 x
8
4
− 30 x
6
− 12 x
2
8
− 12 x
6
4
− 24 x
2
d
dx
( 6 x
4
− 2 x
2
) ( 3 x
5
+ 6 x ) = 162 x
8
4
− 42 x
6
− 36 x
2
d
dx
( 6 x
4
− 2 x
2
) ( 3 x
5
+ 6 x ) = 6 x
2
( 27 x
6
− 7 x
4
2
d ( u. v )
dx
=u
dv
dx
+v
du
dx
u=( 10 x + 2 )
v= 3 x
4
d 3 x
4
dx
= 12 x
3
d ( 10 x + 2 )
dx
d
dx
( 10 x+ 2 ) 3 x
4
=( 10 x + 2 ) 12 x
3
4
( 10 )= 120 x
4
3
4
d
dx
( 10 x+ 2 ) 3 x
4
= 150 x
4
3
= 6 x
3
( 25 x+ 4 )
d
dx
4 x + 1
3 x
4
= 3 x
4
4 x + 1
3 x
4
− 1 d
4 x+ 1
dx
+( ln
4 x + 1
4 x+ 1
3 x
4
d 3 x
4
dx
d
dx
u
v
=v u
v− 1 du
dx
+(ln u)u
v dv
dx
u=( 4 x + 1 )
v= 3 x
4
d ( 4 x + 1 )
dx
d 3 x
4
dx
= 12 x
3
d
dx
( 4 x + 1 )
3 x
4
= 3 x
4
( 4 x + 1 )
3 x
4
− 1
( 4 )+(ln ( 4 x + 1 ) )( 4 x+ 1 )
3 x
4
12 x
3
d
dx
( 4 x + 1 )
3 x
4
= 12 x
3
[
x ( 4 x+ 1 )
3 x
4
− 1
+( ln ( 4 x + 1 ) )( 4 x+ 1 )
3 x
4
]
d
dx
ln ( 2 x
4
−x
3
− 3 x
2
− 3 x )=
8 x
3
− 3 x
2
− 6 x− 3
2 x
4
−x
3
− 3 x
2
− 3 x
d
dx
ln ( v )=
v
dv
dx
v=
2 x
4
−x
3
− 3 x
2
− 3 x
dv
dx
d
dx
x
4
d
dx
x
3
d
dx
x
2
d
dx
x
d
dx
log
2
( x
4
− 3 x) ¿
( x
4
− 3 x) ln 2
d ( x
4
− 3 x )
dx
d
dx
log
a
v=
v ln a
dv
dx
v=¿
a= 2
d ( x
4
− 3 x )
dx
= 4 x
3
d
dx
log
2
( x
4
− 3 x)¿
4 x
3
( x
4
− 3 x) ¿ ¿
d
dx
a
3 x
2
=a
3 x
2
.(lna)
d ( 3 x
2
dx
=a
3 x
2
.(lna).6 x
d
dx
e
1
x
=e
1
x
d
(
x
)
dx
=e
1
x
d
x
− 1
dx
=e
1
x
[
− 1 (x
− 1 − 1
]
=e
1
x
[
− 1 (x
− 2
]
d
dx
e
1
x
=e
1
x
[
x
2
]
d
dx
sen 5 x= 5 ( cos 5 x )
d
dx
( cos[ 6 x− 2 ]) =− 6 ( sen [ 6 x− 2 ] )
d
dx
tan 3 x= 3 ( sec
2
3 x )
❑
d
dx
cot ( 6 x− 3 ) =− 6 (
csc
2
( 6 x− 3 ) )
Ejercicio 1. La medida de la arista de un cubo es de 15 cm con un error
posible de 0.01 cm. Empleando diferenciales encuentre el error aproximado al
evaluar el volumen, y el área de las caras.
V =x
3
A=x
2
dx=0.01 cm
x= 15 cm
Obtener la diferencial del volumen en términos de diferencial de un lado
dV = 3 x
2
dx
Sustituimos los valores del problema
dV = 3 ( 15 cm)
2
( 0.01 cm)=6.75 cm
3
Ahora vamos con el área…
dA= 2 x. dx
Sustituyendo.
dA= 2
15 cm
0.01 cm
=0.3 cm
2
Ejemplo 2. Un tanque cilíndrico tendrá un revestimiento de 2 cm de espesor
si el radio interior tiene 6 m y la altitud es de 10 m, calcule la cantidad
aproximada de material de revestimiento que se usará.
V =π r
2
h
r = 6 m
dr =0.02 m
h= 10 m
dV = 2 rπh. dr= 2
6 m
10 m
0.02 m
=7.53 m
3
