Download Function Analysis: Derivatives, Integrals, and Series and more Exercises Mathematics in PDF only on Docsity!
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP
BÀI THI TOÁN CAO CẤP
1. Hàm số một biến số thực
1.1. Hàm số, giới hạn và tính liên tục
Hàm số: các khái niệm cơ bản
Giới hạn của hàm số: Định nghĩa, tính chất, vô cùng bé, vô cùng lớn
Tính liên tục của hàm một biến, phân loại điểm gián đoạn.
1.2. Phép tính vi phân của hàm một biến
Đạo hàm và vi phân cấp một, ứng dụng vi phân tính gần đúng.
Đạo hàm và vi phân cấp cao, quy tắc L’hospital, khai triển Taylor, khai
triển Maclaurin.
1.3. Phép tính tích phân của hàm một biến
Tích phân bất định.
Tích phân xác định, ứng dụng tính thể tích, diện tích.
Tích phân suy rộng: Định nghĩa, các quy tắc xét sự hội tụ.
2. Hàm số nhiều biến số thực
2.1. Hàm số nhiều biến, giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến.
- Khái niệm hàm nhiều biến, định nghĩa giới hạn, tính liên tục và các tính
chất.
2.2. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần của hàm nhiều biến. Ứng dụng vi
phân toàn phần vào tính gần đúng.
2.3. Đạo hàm của hàm hợp và hàm ẩn.
2.4. Đạo hàm và vi phân cấp cao.
2.5. Cực trị (không điều kiện) của hàm nhiều biến.
2.6. Tích phân hàm nhiều biến
Tích phân hai lớp, các công thức đổi biến.
Tích phân ba lớp, các công thức đổi biến.
Tích phân đường loại một, tích phân đường loại hai, công thức Green,
định lý bốn mệnh đề tương đương.
- Tích phân mặt loại một, tích phân mặt loại hai, công thức Ostrogradski.
3. Lý thuyết chuỗi
3.1. Chuỗi số
Định nghĩa, tính chất.
Chuỗi số dương và các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương.
Chuỗi có dấu tùy ý, chuỗi đan dấu, tiêu chuẩn Leibniz.
3.2. Chuỗi hàm
Khái niệm, miền hội tụ.
Chuỗi lũy thừa.
4. Phương trình vi phân
4.1. Phương trình vi phân cấp một
- Phương trình khuyết, phương trình phân li biến số, phương trình thuần
nhất, phương trình vi phân toàn phần.
- Phương trình tuyến tính cấp một, phương trình Bernoulli, phương trình
Lagrange, phương trình Clairaut.
4.2. Phương trình vi phân cấp hai
5. Đại số tuyến tính
5.1. Ma trận và các phép toán trên ma trận
5.2. Định thức và cách tính định thức
5.3. Hệ phương trình tuyến tính
6. Tài liệu tham khảo:
- Toán cao cấp (tập 1, tập 2, tập 3), Nguyễn Đình Trí chủ biên, NXB Giáo
dục, năm 2006.
- Bài tập Toán cao cấp (tập 1, tập 2, tập 3), Nguyễn Đình Trí chủ biên,
NXB Giáo dục, năm 2006.
khi 𝑥 ≠ 0
khi 𝑥 = 0
Bài 4. Xác định các giá trị 𝑎, 𝑏, 𝑐 để hàm số khả vi trênR:
2
khi |𝑥| < 1
khi |𝑥| ≥ 1
Hướng dẫn giải
- Với ∀𝑥 ≠ ± 1 , hàm số 𝑓(𝑥) luôn khả vi, ta chỉ cần tìm điều kiện của a và b để
hàm số khả vi tại 𝑥 = ± 1
- Hàm số khả vi tại 𝑥 = ± 1 ⇒ 𝑓(𝑥) liên tục tại 𝑥 = ± 1
𝑥→+ 1
′
𝑥→ 1
𝑥→ 1
1
𝑥
𝑥→ 1
′
𝑥→ 1
𝑥→ 1
1
𝑥
𝑥→ 1
Vậy với 𝑏 = −
1
2
3
2
thì hàm số 𝑓(𝑥) khả vi tại 𝑥 = 1
−
′
𝑥→− 1
−
𝑥→− 1
−
1
𝑥
𝑥→− 1
−
′
𝑥→− 1
𝑥→− 1
2
𝑥→− 1
2
Vậy với 𝑏 = −
1
2
3
2
thì hàm số 𝑓(𝑥) khả vi tại 𝑥 = − 1.
Bài 5. Xác định các giá trị 𝑎, 𝑏, 𝑐 để hàm số khả vi trênR:
4 𝑥 khi𝑥 ≤ 0
2
3 − 2 𝑥 khi𝑥 ≥ 1
Bài 6. Tìm khai triển Maclaurin của hàm số
2
Hướng dẫn giải
- Do khai triển Maclaurin là khai triển Taylor trong lân cận điểm x = 0 nên ta
chỉ xét 𝑥 trong lân cận của 0 sao cho 𝑥 + 1 > 0 , 𝑥 + 2 > 0.
2
- Áp dụng khai triển cơ bản
2
3
4
𝑛− 1
𝑛
𝑛
𝑥
2
2
𝑥
2
3
𝑛− 1
𝑥
2
𝑛
𝑛
𝑘− 1
𝑘
𝑘
𝑛
𝑘= 1
𝑛
2
𝑘− 1
𝑘
𝑘
𝑛
𝑛
𝑘= 1
Bài 7. Tìm khai triển Maclaurin của hàm số
Bài 8. Tìm khai triển Maclaurin của hàm số
1.2. Tích phân và ứng dụng
1.2.1. Tích phân xác định
Bài 1. Tính
𝐼 = ∫ √ 1 − cos 2 𝑥 𝑑𝑥
2 𝜋
0
Hướng dẫn giải
+ Gọi A là giao điểm của 𝑦 = −𝑥
2
- 3 𝑥 − 2 và 𝑦 = 𝑥 − 1 ; B là giao điểm của
𝑦 = 𝑥 − 1 và 𝑦 = 2 − 𝑥; C là giao điểm của 𝑦 = −𝑥
2
3 𝑥 − 2 và 𝑦 = 2 − 𝑥.
Tìm được tọa độ:𝐴
3
2
1
2
. Đường thẳng 𝑥 = 3 / 2 cắt cung 𝐴𝐶
tại điểm 𝐷 (
3
2
- Diện tích hình phẳng cần tìm là diện tích tam giác cong ABC, ta có
𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐵𝐷
𝐵𝐶𝐷
- Tính diện tích tam giác cong ABD.
𝐴𝐵𝐷
[
2
)]
3
2
1
2
3
2
1
3
2
1
3
2
𝐵𝐶𝐷
𝐴𝐵𝐶
79
12
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥
2
− 4 𝑥 + 5 và
hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại hai tiếp điểm có hoành độ lần lượt là 1 và 4.
Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số 𝑦 =
2
Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số 𝑦 = 4 −
và
parabal 𝑦 =
1
2
2
1.2.3. Tích phân suy rộng
Bài 1. Xét sự hội tụ và tính tích phân suy rộng sau
2
+∞
−∞
Hướng dẫn giải
- Viết tích phân dưới dạng:
2
− ∞
2
− 1
− ∞
2
1
− 1
2
1
1
2
3
là tích phân xác định nên hội tụ
𝑑𝑥
𝑥
2
− 1
− ∞
1
𝑥
2
. Chọn 𝑔
1
𝑥
2
. Hai hàm số 𝑓
, 𝑔(𝑥) không âm trong
(−∞, 1 ]. Có lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
1
𝑥
2
− 1
−∞
− 1
−∞
hội tụ (𝛼 = 2 > 1 ) nên tích phân
− 1
−∞
hội tụ hay 𝐼
1
hội tụ.
3
tương tự như 𝐼
1
, cũng nhận được kết quả 𝐼
3
hội tụ.
1
2
3
hội tụ.
2
− ∞
2
2
− ∞
−∞
+∞
Bài 2. Xét sự hội tụ và tính tích phân suy rộng:
1
1
2
𝑑𝑥
√
1 −𝑥
1
1
2
hội tụ (𝛼 =
1
2
< 1 ). Do đó, ∫
1
1
2
hội tụ
hay 𝐼
2
hội tụ.
1
2
hội tụ.
1
0
1
4
1
2
2
2
1
0
𝑎𝑟𝑐 sin
0
1
1
0
Bài 6. Xét sự hội tụ và tính tích phân
2
1
− 1
Bài 7. Xét sự hội tụ và tính tích phân
4
2
1
0
2. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ THỰC
2.1. Đạo hàm, vi phân hàm nhiều biến
Bài 1. Tính
𝜕𝑢
𝜕𝑙
⃗
và 𝑔𝑟𝑎𝑑
𝑢 tại 𝑀
0
= ( 1 , 2 , 1 ) biết hàm 𝑢 = 𝑥
2
2
2
3
3
và 𝑙
0
1
1
Hướng dẫn giải
2
0
1
0
0
0
0
0
Bài 2. Cho hàm số ẩn 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) xác định bởi 𝑥
3
3
3
3 = 0. Tìm 𝑧
𝑥
′
𝑦
′
Hướng dẫn giải
3
3
3
𝑥
′
2
𝑦
′
2
𝑧
′
2
𝑥
′
𝑥
′
𝑧
′
2
2
2
2
𝑦
′
𝑦
′
𝑧
′
2
2
Bài 3. Cho hàm số 𝑧 = 𝑒
𝑥+𝑦
𝑠𝑖𝑛( 𝑥 − 𝑦) tính 𝑑𝑧( 0 , 0 ) và
𝑥𝑥
′′
𝑥
′
2
𝑦𝑦
′′
𝑦
′
2
Bài 4. Cho hàm số 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥. 𝑦. 𝑙𝑛( 𝑥 + 𝑦). Tính
2
2
2
2
2
Bài 5. Cho hàm số 𝑧 =
𝑥
2
2 𝑦
𝑥
2
1
𝑥
1
𝑦
. Chứng minh rằng 𝑥
2
𝑥
′
2
𝑦
′
𝑥
3
𝑦
Bài 6. Xét tính liên tục tại điểm (0;0) của hàm số theo a:
𝑥
2
′′
2
𝑥𝑦
′′
𝑦
2
′′
2
2
3
2
− 𝐵𝐶 = − 384 < 0 , 𝐴 = 20 > 0. Vậy M
2
và M
3
là các điểm
cực tiểu.
: với M(k,k) thì 𝑧(𝑀) − 𝑧(𝑀
1
4
≥ 0 , ∀𝑘 trong khi với M(k,0) thì
1
2
2
− 2 ) < 0 , ∀𝑘 ∈ (−√ 2 , √ 2 ). Vậy M 1
không là điểm cực
trị.
- Kết luận: hàm số có hai điểm cực tiểu 𝑀
2
3
Bài 2. Tìm cực trị của hàm 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑒
𝑥
2
𝑥
2
Bài 3. Tìm cực trị của hàm 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑥
2
2
2
Bài 4. Tìm cực trị của hàm 𝑧(𝑥, 𝑦) = 4 𝑥𝑦 +
1
𝑥
1
𝑦
Bài 5. Tìm cực trị của hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = 8 𝑥 − 𝑥√𝑦 − 1 + 𝑥
3
1
2
2
2.3. Tích phân bội
Bài 1. Tính tích phân 𝐼 = ∬
2
2
2
𝐷
với D là miền giới hạn bởi
đường tròn 𝑥
2
2
= 2 nằm trong góc phần tư thứ nhất.
Hướng dẫn giải
- Vẽ hình xác định miền lấy tích phân 𝐷 =
2
2
- Miền D thành 𝐷 ′ : 0 ≤ 𝑟 ≤ √ 2 , 0 ≤ 𝜑 ≤
𝜋
2
√
2
0
5
2
𝜋/ 2
0
5
√
2
0
2
𝜋/ 2
0
6
0
√ 2
0
𝜋
2
Bài 2. Tính tích phân ∭
2
𝑉
với V là miền giới hạn bởi mặt paraboloid
elliptic 𝑧 = 𝑥
2
2
và mặt phẳng 𝑧 = 4.
Hướng dẫn giải
Vẽ miền lấy tích phân V
Hình chiếu D của V trên mặt phẳng Oxy là hình tròn tâm O, bán kính bằng 2
Miền 𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷, 𝑥
2
2
′
2
4
2
𝑉
′
4
2
0
2
𝑟
2
×
3
0
2 𝜋
Bài 3. Tính tích phân ∭
𝑉
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 với V là miền giới hạn bởi mặt trụ
2
2
= 4 và các mặt phẳng 𝑧 = 0 , 𝑧 = 2.
Bài 4. Tính tích phân
2 2 2
D
I = x x + y dxdy
với D là miền giới hạn bởi đường
tròn
2 2
x + y = 2 nằm trong góc phần tư thứ nhất.
Bài 5. Tính tích phân
D
I = x − y dxdy
với D là miền giới hạn bởi các đường
3
y = x , x + y = 2 và trục tung.
Bài 6. Tính tích phân của hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑧trên miền giới hạn
bởi mặt phẳng 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 và các mặt phẳng tọa độ, nằm trong góc phần tám
thứ nhất.
Bài 7. Tính thể tích của miền V giới hạn bởi 1 − 2 𝑧 ≤ 𝑥
2
2
2
Hướng dẫn giải
- V là miền giới hạn bởi hai hình cầu: 𝑥
2
2
2
≥ 2 và 𝑥
2
2
2
- Miền V được xác định bởi:
2
2
2
2
- Hình chiếu V xuống mặt phẳng Oxy là miền D: 𝑥
2
2
− 40
3
Bài 2. Tính tích phân 𝐼 = ∮
2
2
2
𝐿
trong đó L là biên
của miền giới hạn bởi các đường 𝑥 = 0 , 𝑦 = 0 , 𝑦 = 2 − 𝑥.
Hướng dẫn giải
2
2
2
𝑦
′
𝑥
′
- Áp dụng công thức Green, ta được: 𝐼 = ∬ (𝑄 𝑥
′
𝑦
′
𝐷
𝐷
2
0
2 −𝑥
0
Bài 2. Tính 𝐼 = ∫
𝑥
𝑥
𝑂𝐴𝐵
trong đó OAB là
đường gấp khúc O(0,0), A(1,1), B(2,0).
Bài 3. Tính tích phân 𝐼 = ∮
2
2
𝐿
, trong đó L là
biên của miền giới hạn bởi 𝑦 = 0 , 𝑦 = 2 𝑥, 𝑥 = 2.
Bài 4. Tính tích phân 𝐼 = ∫
𝑑𝑠
𝑥−𝑦
𝐶
trong đó C là đoạn thẳng 𝑦 =
𝑥
2
− 2 nằm giữa
các điểm A(0,-2) và B(4,0).
Hướng dẫn giải
Vẽ hình
Ta có 𝑑𝑠 = √ 1 + 𝑦 ′ (𝑥)
2
√
5
2
𝐶
𝑥
2
4
0
Bài 5. Tính độ dài cung {
với 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋
Bài 6. Tính tích phân𝐼 = ∫ √𝑥
2
2
𝐶
trong đó C là đường xoắn hình nón
𝑥 = 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 , 𝑦 = 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝑡 , 𝑧 = 𝑡 với 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡
0
2.5. Tích phân mặt
Bài 1. Tính tích phân ∬
𝑆
với (S) là phía ngoài mặt
cầu 𝑥
2
2
2
Hướng dẫn giải
hướng của mặt là phía ngoài.
- Với 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑧, 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦, 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2 𝑥, ta có 𝑃
𝑥
′
= 0 , 𝑄
𝑦
′
= 1 , 𝑅
𝑧
′
= 0
- Áp dụng công thức Ostrogradsky, ta được 𝐼
3
𝑥
′
𝑦
′
𝑧
′
𝑉
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑉
=thể tích khối cầu tâm O, bán kính 2. Vậy𝐼 =
32 𝜋
3
Bài 2. Tính tích phân ∬ 𝑥
2
2
𝑆
với (S) là nửa mặt cầu
2
2
, hướng của (S) là hướng lên trên.
Bài 3. Tính tích phân ∬
𝑆
với (S) là phía ngoài mặt
cầu 𝑥
2
2
2
Bài 4. Tính tích phân 𝐼 = ∬
𝑙𝑛 𝑧 dS
𝑆
trong đó S là mặt cầu xác định bởi 𝑥
2
2
2
1
2
Hướng dẫn giải
- Mặt S có phương trình 𝑧 = √ 1 − 𝑥
2
2
với hình chiếu của S xuống mặt
phẳng Oxy là miền D giới hạn bởi đường tròn 𝑥
2
2
3
4
𝑥
′ 2
𝑦
′ 2
1
√ 1 −𝑥
2
−𝑦
2
𝑙𝑛 √ 1 −𝑥
2
−𝑦
2
√ 1 −𝑥
2
−𝑦
2
𝐷
2
2
3
4
√
3
2
𝑙𝑛 √ 1 −𝑟
2
√ 1 −𝑟
2
𝑟𝑑𝑟 ×
√
3 / 2
0
2 𝜋
0
Bài 5. Tính tích phân 𝐼 = ∬
2
2
𝑆
trong đó S là mặt nón 𝑥
2
2
2
Bài 6. Tính diện tích của phần mặt paraboloid 𝑧 = 𝑥𝑦 với hình chiếu xuống mặt
phẳng Oxy là hình tròn xác định bởi 𝑥
2
2
3.2. Chuỗi hàm số
Bài 1. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
𝑛
2
2
𝑛= 1
Hướng dẫn giải
- Đặt 𝑥 − 2 = 𝑋 ta được chuỗi ∑
𝑋
𝑛
𝑛
2
(𝑛
2
𝑛= 1
(1) với 𝑎
𝑛
1
𝑛
2
(𝑛
2
𝑎
𝑛+ 1
𝑎
𝑛
1
𝑙
= 1. Vậy chuỗi (1) hội tụ
trong (-1;1) và phân kì ngoài đoạn [-1;1].
Chuỗi đã cho trở thành ∑
2
2
𝑛= 1
có số hạng tổng quát 𝑢
𝑛
2
2
Ta thấy lim (
𝑢
𝑛
𝑣
𝑛
) = 1 với 𝑣
𝑛
1
𝑛
4
mà chuỗi
𝑛
∞
𝑛= 1
hội tụ nên chuỗi
𝑛
∞
𝑛= 1
hội tụ theo dấu hiệu so sánh.
(− 1 )
𝑛
𝑛
2
(𝑛
2
∞
𝑛= 1
là chuỗi đan dấu hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz.
+ Vậy miền hội tụ của (1) là [-1;1] miền hội của chuỗi đã cho là [1;3]
Bài 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
𝑛
𝑛= 1
Bài 3. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
𝑛
2
𝑛= 1
Bài 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
3 𝑛
𝑛= 1
Bài 5. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừavà tính tổng của chuỗi tại 𝑥 = 0.
𝑛
𝑛= 1
4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
4.1. Phương trình vi phân cấp một
Bài 1. Giải phương trình vi phân cấp 1
2
2
Hướng dẫn giải
- Với 𝑦 ≠ 0 phương trình trở thành
2
2
2
2
2
2
Ta thu được nghiệm dưới dạng tích phân tổng quát.
+𝑦 = 0 thay vào phương trình thấy thỏa mãn. Vậy 𝑦 = 0 là nghiệm kì dị.
Bài 2. Tìm nghiệm của phương trình vi phân: (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0 thỏa mãn
Bài 3. Tìm nghiệm của phương trình: (𝑦 + 𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 thỏa mãn
Bài 4. Giải phương trình ( 1 + 𝑥
2
𝑦
3
2 𝑦
Bài 5. Giải phương trình 𝑒
𝑥
2
𝑥
Bài 6. Tìm nghiệm riêng của phương trình 𝑥
2
𝑦 ′ = 𝑦(𝑥 + 𝑦) thỏa mãn điều kiện
4.2. Phương trình vi phân cấp hai
Bài 1. Giải phương trình vi phân 𝑦 ′′ + 4 𝑦 ′ − 3 𝑥 − 1 = 0
Hướng dẫn giải
