Stanislas
D.M. 22
Devoir à la Maison
Produit de Cauchy & Théorème de Mertens
à rendre le 11 avril 2016
MPSI 1
2h
Soient
(an)
et
(bn)
deux suites à valeurs réelles. Pour tout entier naturel
n
, on pose
cn=
n
X
k=0
akbn−k.
La série
Pcn
est le produit de Cauchy des séries
Pan
et
Pbn
. Pour tout entier naturel
n
, nous
noterons
An=
n
P
k=0
ak, Bn=
n
P
k=0
bk
et
Cn=
n
P
k=0
ck
.
1. Un contre-exemple.
Pour tout entier naturel
n
, on pose
an=bn=(−1)n
√n+1
.
a)
Étudier le comportement de
Pan
et de
Pbn
.
b)
Que dire du produit de Cauchy des séries
Pan
et
Pbn
?
2. Le cas positif.
On suppose dans cette question que les suites
(an)
et
(bn)
sont à termes positifs
et que leurs séries convergent respectivement vers les réels
A
et
B
.
a)
Montrer que pour tout entier naturel
n
,
Cn6An·Bn.
b)
En déduire que
Pcn
est convergente vers un réel
C
.
c)
Montrer que pour tout
n∈N
,
An·Bn6C2n
. En déduire que
C=A·B
.
3. Le cas absolument convergent.
On suppose dans cette question que les séries
Pan
et
Pbn
convergent absolument. On note
A
et
B
les limites respectives de
Pan
et
Pbn
.
a)
Soit
n∈N
. Montrer que si
n
P
k=0 |ak|6M
et
n
P
k=0 |bk|6N
, alors
n
P
k=0 |ck|6MN
.
b)
En déduire que
Pcn
converge absolument. On notera
C
la limite de
Pcn
.
c)
Montrer que pour tout entier naturel
n
,
n
X
k=0
ak·
n
X
k=0
bk−
n
X
k=0
ck6|
n
X
k=0 |ak| ·
n
X
k=0 |bk| −
n
X
k=0
k
X
j=0 |aj·bn−j|.
En déduire que
C=A·B
.
4. Application à la série exponentielle.
Soient
a, b ∈R
.
a)
Montrer que la série
Pan
n!
converge. Sa limite sera notée
e(a)
.
b)
Montrer que
e(a)·e(b) = e(a+b)
.
5. Théorème de Mertens.
On suppose que
Pan
converge absolument et que
Pbn
converge. On
notera
A
et
B
les limites de
Pan
et
Pbn
.
a)
Montrer que si les suites
(C2n−AnBn)
et
(C2n+1 −An+1Bn)
convergent vers
0
, alors
(Cn)
converge vers un réel
C
tel que
C=AB
.
b)
Conclure.
La question
1.
montre qu'on ne peut pas supprimer l'hypothèse d'absolue convergence sur les deux séries.
Stanislas A. Camanes