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CAPITULO 3 Solucdes maximai: Até aqui, estudamos o problema da existéncia ¢ unicidade de solugdes de wn pouto de visla puramente local: por exemplo, no Teoreina 2.4 provamos que, dada qualquer condigio inicial (to, 29) € U existe alguma solugéo 7: (to —€,to +6) + Rt definida numa pequena vizinkancga do tempo to ¢ satisfazendo a condigéo inicial (to) = xo. Agora qucremos entender: Tal solucée pode ser estendida a um inter- valo maior? Serd que pode ser estendida a toda a reta R? Se néo, porqué? Vamos ver que é sempre possivel encontrar solug ja, tais que nao existem solugécs definidas em intervalos estritamente maiores. Especialmente, se a fungio F é localmente lipschitziana cm x entio, para cada (to,20) € U, a equacao diferencial (3.1) z' = F(t, 2) tem uma (unica) solugdo mdsima y : I + R4 com condi¢&o inicial y(to) = zo; qualquer outra solugdo de (3.1) com essa condigdo inicial é uma, restrigio de Exemplos que apre aremos a0 final da Sec&o 3.1 mostram que o dominio de uma solugéio maximal pode nao ser toda areta R, mesmo que o dominio U scja todo o espaco R'+4, Este fendmeno sera explicado na Secéo 3.2: a obstrugdo a que uma solugdo 7 possa ser mais eslendida é que 7(t) convirja para o borde, ou seja, saia de todo compacto de U quando t tende para o extremo do dominio. Esse fato sera. usado varias vezes ao longo do texto. Em particular, na Segado 3.3 deduziremos que solugdes de equacdes diferenciais (globalmente) lipschilzianas estdo sim definidas para todo t € R. A partir do Teorema de Dependéncia Continua ¢ do Teorema de Dependéncia el de solugécs locais que provamos tio Capitulo 2, é possivel mostrar que maximais de equagées diferenciais tambén dependem continuamente udigdes iniciais ¢ de parametros. Os cnunciados pre- 's Tcoremas de Dependéncia globais estao dados no Teorema 3.13 ¢ no 3.1. Existéncia e unicidade Seja F :U > R¢ uma funcao coutinma definida num aberto UC R44, Para cada (to,2o) €U, defina S(to, 20) = {y: 1 4 R?: 7 é solugao de (3.1) com condigao inicial (to) = xo}. Dados quaisquer elementos 71 € y2 de S(to, Zo), dizemos que v1 < 2 se esomente se I, C Ip e y(t) = 72(t) para todo t € Ih. Esta no Ao tem as scguintes propriedades: 87 68 3. SOLUCGES MAXIMALS (a) se 71 < 72 © 72 < 7g entdo 11 < 7 (transitividade); (b) y <7 para todo y € S(to, zo) (reflexividade); (c) som <2 6% <7 entdo 11 = 7 (anti-simetria). Em particular, < @ uma relagdo de ordem parcial cm S(to, 20). Dizemos parciat porque dados 71 © ¥2 ci S(to, Zo) pode acontecer que uem 71 < 72 wel y2 < N- Um conjunto X C S(to,29) @ dito totalmente ordenado se, dados quaisquer 71, 2 € X temos 71 < 72 OU y2 < V1; OU ambas, Dizcmos que y € S(to,2o) @ solugdo maximal de (3.1) se 7 @ wm elemento maximal de S(to,z9), isto ¢, sc nao existe ¥ € S(to,zo) tal que y < Yo y #7}. Enlao, o proximo resultado afirma que toda solugdo pode ser estendida a uma solucdo maximal: PROPOSICAO 3.1. Para todo y € S(to, x0) existe algum elemento maximal yo € S(to, to) tal que 7
R¢ definida por Bo(t) = B(t) para qualquer 8 € S(to, 20) tal que t € Ig. Observe que o valor de Bo(t) nado depende da escolha de 8 € S(to, 20). De fato, como X é totalmente ordenado, dado qualquer a € S(to, 29) com Ig 5 t temos pelo menos uma das seguintes duas possibilidades: e ag ZB, ouseja Iq C Ig ec a(t) = B(t) para todo t € In3 e B 0, para todo t € I=R se Zo = 0, I= (to +1/ao,+00) se to <0, x W= TR molt — to) (mantenha em mente que, por definig&o, o dominio de uma solugdo é um intervalo e contém to). Veja a Figura 3.2. Observe que ||7(t)|| + co quando t > to + 1/20, para todo zo # 0. Portanto, estes dominios J ndo podem realmente ser alargados. WO = at Figura 3.2. Solucdes maximais para a equagao (3.4), Ascguinte relagio, onde v é uma fungao de classe C?, échamada EXEMPLO ¢ equacgde de Clairar (3.5) c=c't+y(z'). Observe que se trata de uma cquagao diferencial implicita, pois x’ nao esté dado explicilamente om fungdo de t ¢ z. Derivando os dois lados da igualdade obtemnos wt + v'(2')] =0, ou seja, (3.6) cw" =Oout+y (2) =0. 3.2. COMPORTAMEN'O NOS EXTREMOS 71 A primeira alternativa da 2’(t) = c ¢ portanto, substituindo na equagdo original, a(t) = ct+ (ec). Cada uma destas retas @ uma solugde regular de (3.5), © a familia formada por todas clas é chamada salugéo geral. No eutanto, existem outras solugdes, que nado fazem parte da solugdo geral: a segunda alternativa cm (3.6) pode ser escrita (localmente) como a’ (t) = (W’)~1(—t) c, substituindo na equacgaio original, obtemos (G at) =) t+ 0 (WH) (-2). Nao é dificil conferir que as curvas desta forma, para diferentes determina da inversa de y’, sdéo realmente solugdes de (3.5). Elas séo chamadas solugdes singulares, Embora nao fagam parte da solugao geral, existe uma relacdo geométrica intima entre clas: as solugécs singulares sio envoltérias da solucao goral, ou seja, clas sio taugentes a alguma solucdo regular em cada ponto. Mais precisamente, para cada to no dominio de (3.7) podemos considerar co = (b')~1(—to), ¢ entao é claro que (3.7) é tangente 4 reta cot + U(co) no ponto t = to. Confira a Figura 3.3. Esta observacao também implica que a equagao de Clairaut nao tem unicidade de solugdes, BR FIGURA 3.3. Solugdes da equagao de Clairaut com W(y) = solugécs singulares sao envoltérias da familia de solugdes regulares. Daqui em diante, até o final do capfiulo, scrmpre suporcmos que F é localmente lipsehilziana em 2. Em particular. a equacao (3.1) tem a propriedade de unicidade de solugées. A solucdo dada pela Proposigdo 3.2 sera chamada solugée maximal com condi¢&o inicial yo(to) = zo. 3.2, Comportamento nos extremos Como vimos nos Exemplos 3.3 ¢ 3.4, solugécs maximais de equagdes diferenciais podem nao estar definidas para todo t € R. O resultado que vamos provar a, seguir, sobre o comportamento de solugécs maximais préximo ao bordo de seus dominios de definig&o, fornece uma explicacdo muito satisfatoria deste fendmeno. Precisamos da seguinte definicgéo. 32.3. EQUACOES GLOBALMEN'TE LIPSCHI'TZIANAS 7 Afirmamos que (t, y(t)) ¢ K para todo t € (b—e, 6). De fato, suponha que existe t € (b—«,b) tal que (é,7(4)) € K. Escreva & = 7(é). Entdo, pelo Teorema 2.12, existe uma solucdo 7 : (f — ¢,£ + ©) + R? da equacado (3.1) com condigéo inicial A(t) = Z = 7(6). Além disso, as duas solucdes 7 ¢ 7 devem coincidir na intersegao de scus dominios de definigao, Lsso implica que podemos definir : fet 4 dads — J rt) para t € (a,b), T': (a,6) U(E—€,t+€) > R®, dada por I(t) = { a(t) parate (ef +6). Entaéo, y b. Isto contradiz a hipdtese de que 7 é solugio maximal, Esta contradigio prova a afirmag&o a, respeito de t > b. o COROLARIO 3.7. Suponka que U = RM4 @ seja 7: (a,b) + R* uma solugio maximal de (3.1). Enté (1) se b < +00 entéo ||7(t)|| 3 00 quando t > b; (2) sea > —co entao |l7(t)|| 3 00 quando t > a. DEMONSTRAGAO. Se b < +00 entio [to, b] ¢ um inlervalo compacto e é claro que (t, 7(E)) € [to, b] x R@ para todo t € [to, b). Entao, (t, 7(t)) + 6U significa que ||7(é)|| > oo. Isto prova a parte (1) do enunci- ado. A prova da parte (2) é inteiramente andloga. ia O exemplo a segnir descreve uma aplicagdo simples do Teorema 3.6. Veremos outras aplicacdcs na Seciio 3.3. EXEMPLO 3.8, Seja G : R¢ > R4 uma aplic suponha que existe R > 0 tal que ‘0 localmente lipschitziana c z+ G(z) <0 para todo z € R* com |lz|| > R. Entao toda solugao maximal de «’ = G(z) esta definida num intervalo da forma (a, +00). De fato, seja y : (a,b) > R? uma solucgéo maximal qualquer. Entao (hI?) = (1) 100)’ = 29) 0 = 27) GU). Por hipdtese, esta expressio é nao positiva sempre que ||7(¢)|| > R. Km outras palavras: se a norma de y(t) € maior ou igual ywe R entao ela ndo pode crescer. Tsto implica que \y@|| < max{||7(s)||, R} para quaisquer t > s no intervalo (a,b). Em particular, fixando qualquer ¢ € (a,b), vemos que 7(¢) pertence A bola fechada de ceniro na origem e raio max{||7(c)||,R}, para todo t > ce. Como a bola é compacta, segue do Teorema, 3.6 que b = +00. 3.3, Eqnagées globalmente lipschitzianas Seja U C R'4, dizemos que a fungio F cm (3.1) é (globalmente) lipschitziana cu x se existe C > 0 tal que \||F(t, 21) — F(t, 22)|| < Clla1 — rel] para quaisquer (t,271), (¢, 22) €U. Nesta secdo suporemos que U = R'+4, Como aplicagao do Teorema 3.1, vamos mostrar que cnLlao todas as solu maximais da cquacao diferencial cslao definidas em toda a reta R. Entao, dizemos que a cquaciio é completa. Mais precisameute: 74 3. SOLUCGES MAXIMALS THorema 3.9. Se F:RM4 = R¢ € continua e lipschitziana em x, com cons- tante de Lipschitz C, entdéo as solucées maxtmats de (3.1) estdo definidas em todo a reta R. Além disso, ltt quer d IIYto,20(€) — tow (t)|| < ello — yol| para quaisquer t,to €R € ro, yo € RY, onde to,c0 © Ytoyo S40 us solucdes maximats com condigdes iniciats Y4o,20(to) = Zo € Yto.yo(to) = yo, respectivamente. 3.3.1. Lema de Gronwall. Q principal ingredicnie novo na demonstragao & o seguinte resultado, que sera mtil tainbéin cm outras situagdes: Prorosigdo 3.10 (Lema de Gromwall), Sejam a : [a,b] > R uma funcdo continua néo decrescente e B : [a,b] > R uma funcde continua néo negativn. Se u: [a,b] +R é uma funcdo continua satisfazendo t (3.8) u(t) < a(t) +[ B(s)u(s) ds para tode t € [a,b] a entéo . u(t) < a(t)efs 9) 4 nara todo t € [a,b]. Valem resultados andlogos para funcdes definidas em intervales da forma (a,b) ov [a, +00). DEMONSTRAGAO, Os argumcntos a seguir aplicant-se, sem distingdo, para fun- ges definidas em qualquer dos wrés tipos de intervalo: [a,b] ou [a,b) ou [a, +00). Considere a fungao v(t) = en Se la) ds [ * a(s)u(s) ds. ‘a Pelo Teorema Fundamental do Célculo, esta fungdo é derivavel e a sua derivada esl4 dada por t v(t) = —B(je" 8) «[ B(s)u(s) ds + e~ Sa 09) 48 8¢¢)u(t). Usando a hipdtese (3.8), segue que t t t t YO < BOE HAO | p(s)uls)ds +e LG a(t) + | (s)u(s) A] = a(t)B(t)en Ja (9) 48, Integrando os dois lados desta desigualdade, ¢ usando que a é nao decrescente e 8 é nao negativa, t v0) = v(a) < f a(e)airjen 0% dr a t < att) [ Blrje~ 120) 4 dr = a(t)[1—e° 1284s), @ Note que v(a) = 0. Entao, esta desigualdade significa que t eo fracas f B(s)u(s) ds < a(t)/1 -e Se (ed), a ou seja, t | B(s)u(s) ds < a(t) [els Ble) de _ 1. 76 3. SOLUCGES MAXIMALS para todo t no dominio, Tome 8 = B~to,29) OU seja, a solugdo maximal de a! = G(t, x) com condiga&o inicial Bt0,20(—to) = Zo. Pelos argumentos anteriores aplicados 4 fungao G, esta solugdo esta detinida num intervalo da forma (—b, +00) com b > to. Entao 7 esta definida ci (—oo, 6). Como (to) = B(—to) = ro, segue que o dontinio da solugdo maximal 745,20, de 2’ = F(t, x) é um intervalo da forma (—oo, 6) com b > to. Além disso, Ut0,20(€)—Yto,40 (€)II = IIBt0,e0(—t)-B-to,40(—#)II < [lto—golle“""~, para todo t < to. Isto completa a demonstracéo do teorema, 3.4. ‘Teorema de Dependéncia Continua (global) Agora vamos enunciar ¢ provar a versio do Teorema de Dependéncia Continua (Teorema 2.21) para solugécs maximais. Tal como na Segdo 2.3, consideramos familias parametrizadas de cquacoées diferenciais 3 , (3.10) «' =G,(t,2), onde pw varia uum subconjunto de algun espaco euclidiano R?. 3.4.1. Dependéncia continua do parametro. Comegamos por obter a ver- sio para solucées maximais do teorema de variacio continua com o parametro (Teorema 2.19): Tuorema 3.11 (Dependéncia continua do parametro, global}. Sejam V um aberto de RA? eG: V > R¢, (t,2,n) 4 Gy (t,x) ume aplicagdo continua e localmente lipschitziana em x. Pare cada (to,t0) € R'*4, defina D(to, 20) = {(t,n) € R'*” : (to,x0,n) EV ete ly}, signa o intervalo de definigde da solugde maximal y, da equagéo (3.10) 0 inicial Yu(to) = x0. Entiio: (1) 0 conjunto D(to, xo) & um aberto de RM? ; (2) a aplicagéo D(to, xo) ++ R* dada por (t, 2) 4 y(t) é continua. onde I, de: com condi DEMONSTRAGAO. Considere qualquer (£,/2) € D(to, xo). Como t € Ip e Ip @ um inlervalo aberto, podemos c 0 tal que (3.11) [c,d] C I, para todo p € Bs(f). Isto quer dizer que [c,d] x Bs(fi) estA conlido em D(to, xo) @, consequentemnente, (é, A) esl4 no interior de D(to, 20). Portanto, (3.11) 6 tudo o que precisamos para provar a parte (1) do teorema. Por definigao, {(t, y(t), 2) : t € [e, d]} est4 conlido no aberto V. Logo, fixando 7 > 0 suficientemente pequeno, o ecompacto L={(t,0,n) ERY? st € [ed] c lle — yp(t)|| 0 tal que (3.12) ||G,(t,21) — Gu(t, r2)|| < Cl|x1 — rel] para todo (¢,21, 4), (t,22,) € L, 3.4. TEOREMA DE DEPENDENCIA CONTINUA (GLOBAL) x ce, como G é continua, dado qualquer € > 0 existe 6 <7 tal que (3:13) |Gy(t,2) — Galt,z)|| <¢ para (t,2,1), (t,2,) € L com lu — fll <6. Tome € € (0,7] suficientemente pequeno para que (3.14) e(d—c)eC'9) m. Em particular, (t,y,(¢)) sai do compacto D quando tam. Comparando este fato com (3.16), ¢ lenbrando que m < d, vemos que e tem que scr estritamente menor que m. Mas entao, pela continuidade de y, — yj cm [to, m), a desigualdade (3.16) implica que existe f € (e,m) tal que llnn(@) — wW(t)I| < 7 para todo t € [to, f]. Esta conclusio contradiz a definigao de e. Esta contradigaéo prova que [c,d] nao pode conter o extreme superior de I,. Da mesma forma se mostra que [c,d] nao pode conter © extremo inferior de J,,. Como os dois intervalos contém to, segue que [c,d] C I, tal como afirmado na parte (1) do teorema, 3.5. TEOREMA DE DEPENDENCIA DIFERENCIAVEL (GLOBAL) wy Observe que o dominio de ¥%,2,, € 4 imagem do dominio de 672, pela translagdo por é. Isto quer dizer que o dontinio D uo enunciado é a imagem de D(0,0) pelo homecomorfismno (6m) > (C+6,6,8, u). Consequentemente, D é aberto om R?+¢+?, A relacéio (3.17) também implica que a, aplicaciio D— R4, dada por (t,6,2, 4) 4 re2,n(t) é continua. Isto completa a, demonstraciio. Oo 3.5, Teorema de Dependéncia Diferencidvel (global) Finalmente, apresentamos a versio do Teorema de Dependéncia Diferenciavel (Teorema 2.29) para solugdes maxima 82 TKOREMA 3.14 (Mependéncia diferencidvel, global). Sejam V um aberto de RUG? eG: V4 R*, (t,2,n) + G,(t,x) uma aplicagéo de classe C’. Entéo a aplicag DR, dada por (t,6,2, 1) > Walt) é de classe C* no dominio D = {(t,8,2,n) € R°+4? : (E@,n) €V et € lea}. DEMONSTRAGAO. Como a diferenciabilidade é uma propriedade local, 36 pre- cisamos mostrar que a fungao T(t, t, ZW) = Ye2,n(t) éde classe C* na vizinhanca de qualquer pouto fixado (t1, to, Zo, Ho) em D. No que segue suporemos que t; > to, mas oO caso ty < ty é andlogo. Considere K = {(s,T'(s,to, 20, Ho), Ho) : $ € [to, ti] }- Observe que K é um conjunto compacto, pois ele é a imagem do intervalo [to, ti] pela aplicacgaéo ++ (s,I'(8, to, 20; Ho); Mo) co Teorema 2.21 garante que esta aplicacéo 6 continua. De acordo com o Teo- rema 2.29 ¢ a, Observacdo 2.31, existe p > 0 tal que a aplic: (3.18) [s— p, +p] x B,(8) x By(y) x Bp(uo) > R%, dada por (t,f,2, 4) + T(t, £2, ») esl4 bem definida e é de classe C* para todo (s,y, uo) € K. Tnicialmente, suponha que ty < to +p. Entao, (t1, to, 20, Mo) esl4 no interior de [to — p,to + p] x Bo(to) x Bp(xo) x Bp(uo) c, tomando s = to ¢ y = zo cm (3.18), obteros que T(t, £,Z, u) varia de modo C* numa vivinhanga de (1, to, 20, Ho), tal como queriamos mostrar, Agora suponha que t; > to + p. Fixe te = t1 — p/2. Afirmamos que (3.19) T(t, £2, u) = (t,t, V(te, £2, ), mw) para todo t € [ta —p, t2 +p] e todo (£, Z, w) numa vizinhanca de (to, 20, Ho). De fato, os dois lados da igualdade sao soluedes da cquagao (3.10) e tém o mesmo valor no tempo t = te: por definigao, D(to, to, P (te, t, Z, ji), w) = V(ta, t, 2, n). 30 3. SOLUCGES MAXIMALS Logo, pela parte (2) do Teorema 2.4, as duas solucdes coincide na intersegao dos seus dominios. Resta verificar que os dois dominios contém [t2 —p, t2 +p] se (6,2, 1) esta suficientemente proximo de (to, Zo, Ho). Por construgao, 0 dominio Ito ,co,u0 de detinigao de t+ T(t, to, £0, Ho) contém [to—p, ti +p] ecm particular, [tg—p, t2+p]. Como o intervalo de definigato da solucio varia de forma scmiconLinua (Observagao 3.12), segue que o lado esquerdo de (3.19) esté realmente definido para todo t € [t2 — p, te + p] se (#2, 1) esté perto de (to, £0, Ho). Passemos a, analisar o lado direito. Considere zz = T'(te, to, £0, Ho)» Usando o Teorema de Dependéncia Continua (Teorema 2.21), (t,t2, (te, €, 2, 2), u) € [te — p, te + p] € Bo(t2) x B,(x2) x Bp(uo) para todo t € [tz — p, te + p] ¢ todo (é,2, 4) proximo de (to, 20, 40). Além disso, usando (3,18) com s = tg ¢ y = £2, a fungao (3.20) TP: [to—p, to+p] x Bp(t2) x Bp(v2) x Bp(uo) > R¢ esta bem definida v é de classe C*. Estas duas observacdes asscguram que © lado direito da equagao (3,19) esta definido para qualquer ¢ € [to — p,t2 + p] se (¢,Z, 1) est& perto de (to, zo, uo). Desta forma, a, prova da afirmacao (3.19) esta completa. Note que ti = te + p/2 esta no interior de [t2 — p,te + p]. Entaéo, usando a Rogra da Cadcia, segue da relagéo (3.19) ¢ da observagao (3.20) que T(t, é, Z, w) é de classe C* numa vizinhanca de (t1, to, Zo, Ho) Sempre que ela! seja de classe C* numa vizinhanga de (t2,to,%o, Ho). Se te < to +p entdo esta tillima propriedade segue do argumento no primeiro pardgrafo da demonstracdo, Caso contrario, podemos repetir a construgao no pardgrafo anterior, com t3 = tg — p/2. Desta forma, apdos um mimero finito de repeticdes, reduzimos o enunciado ao caso tratado no primeiro pardgrafo c, com isso, completamos a demoustracio. o ute 3.6. Experimento: continuagao de solugé Vimos na Se¢éio 2.6 como o método de Picard pode ser utilizado para caleu- lar mimericamente solugécs locais de cquagées diferenciais, definidas em intervalos suficientemente pequenos (to — €,to + €). A técnica de extensdo do dominio, que vamos descrever a seguir, permite aumentar o alcance do método, gerando solucées definidas em intervalos mais longos. Ela esta relacionada com o Exercicio 2.7. A idcia é aplicar o método de Picard sucessivas vezes, para obter solucdes (aproximadas) da equagao diferencial em inlervalos cada vez maiores: a cada passo, o valor da solug4o no extremo do seu dominio é usado como condicao inicial para alargar csse dominio, Mais precisamente, para encontrar una solugo aproximada. definida num intervalo I = [to, to + a], e Fixe um utimero pequeno + > 0 para servir como estimativa do crro tolcrado no cilculo. Escolha € > 0 suficientemente pequeno para o mélodo de Picard (Secao 2.6) e considere instantes tp < t) <-++- 1 representa a dimensdo da cquagao diferencial ec que L é um mtimero inleiro que deve scr escolhido adequadamente. Se € 6 pequeno pro- vavelmente nao é neccssdrio eseolher L grandc. Para realizar o procedimento que 3.7. EXERCICIOS 83 acabamos de deserever, recomendamos que guarde os valores dos poutos extremos to,ti,..-,¢m num vetor tegt: isso facilita o cAlculo do vetor trove cui cada etapa. O nosso tltimo comentario dix respeito ao valor de €, o qual determina o quanto podemos aumentar 0 dominio cm cada passo, No método que acabamos de apre- sentar € é constante (método com espagamento fixe), fixada a partir do valor de 6 mediante a, relacdo (2.18). Numericamente, a forma mais simples de cslimar ¢ é avaliando a fungao F cm uma boa malha de poutos num conjunto compacto K(6) CU que contenha a parte da solugdo que estamos querendo calcular, Desta forma estimamos M(6) e ento (2.18) determina e. No entanto, este procedimento pode dar problemas se M(6) é muito sensivel 4 cscolha do compacto, por exemplo, se a fungio F assume valores muito maiores uuu vizinhanga de K(5) do que ne proprio conjunto. Métodos de integragéo com espagamento adaptative, ci que € @ escolhido a cada payso, podem contornar essa. dificuldade, mas n&o entraremos nesse tema aqui (confira a Segito 5.6). 3.7. Exercicios EXERCICTO 3.1. Seja 2 a solucéio maximal da cquacao diferencial 2” = —|2| com z(0) =1¢ 2'(0) =0. Mostre que z é uma funcdo par ¢ tem um tinico zero no intervalo (0, +00). EXPRCICTO 3.2. Mostre que se U = R'4 ea fungio F : R'*¢ > R? 6 continua ¢ limitada cnl4o para todo (to, 20) € R'*4 existe alguma solugio 7: R > Ré da equacao diferencial zc’ = F(t,x) definida cm toda a reta R, com condigao inicial 7(to) = xo. Essa solugao é necessariamente tnica? EXERCICIO 3.3, Cousidere a cquas digdo inicial x(0) é estrilamente po o diferencial 2! = x log (1+ 2”) com con- 1. Prove que a solugdo maximal esté definida em toda a reta c ‘a © creseente. ExErcicio 3.4, SejaF :R > Rum polinémio satisfazendo lim «F (x) = —00 2—yt00 e Cujas raizes sdo todas reais e distintas. Mostre que se 7 é uma solucdo maximal da equagao diferencial 2’ = F(x) entao 7(t) est4 detinida num inlervalo (a, +00) e o limite de 7(t) quando t > +00 existe e é finito. Exercicto 3.5. Seja y(t) asolugéo maximal da equagiio diferencial 2’ = 2? —t? com condi¢ao inicial 7(0) = 0. Mostre que |y(é)| < || para todo t no dominio de definigéio de y e deduza que esse dominio é R. Existe alguma solug&o maximal que nao esteja definida em todo o R? Exercicio 3.6. Seja F : R'*¢ R¢ uma fungio continua e localmente lips- chitziana em x. Seja w,:R'+4- RU {+00} a fungao tal que w, (to, 29) @ o extremo superior do inlervalo maximo de detinigao da solugdo da equagao 2’ = F(t,x) com condigao inicial (to, 20). (1) Prove que w, é semicontinua inferior, ou scja, o conjunto {(t, 2) : w4(t, x) > A} é um aberto para todo A. (2) Dé um exemplo no qual w, ndo é continua e, portanto, o dominio née depende continuamente das condicdes iniciais. EXER! que: 10 3.7, Sejam F : IR > (0,+00) uma funcdo continua cc > 0. Mostre 3.7. EXERCICIOS 8b ENXrRcicto 3.13. Scjam f,g : R > R funcoes continuas com f(x) > g(x) > 0 para todo 2. Mostre que se a= f(x), «(0)=0, tem alguma solucdo detinida sobre todo R, entdo y'=9(y), y(0)=0, também tem solugdo definida sobre todo R. Exercicio 3.14, Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa a seguinte afirma- cdo: se p,q: R + R s&o fungées continuas tais que q(t) > p(t) para wodo t € R e toda solugéo maximal de 2’ + p(t)x = 0 satisfaz lim; +. x(t) = 0, entao toda solucgdo maximal de y! + q(t)y = 0 satisfar limp 400 y(t) = 0. EXERCICIO 3.15. Seja F : R'*4¢ > R¢ uma funcdo continua c localmente lipschitviana na segunda variavel ¢ suponha que existe uma fungao continua g : [0, +00) —» [0,+00) tal que So 9(s) ds < wc ||F(t,z)|| < g(t) ||z|| para todo t>0cereR. (1) Mostre que a solugdo maximal yz, de 2! = F(t, ©) com qualquer condiga&o inicial y2.(0) = xo esl4 detinida para todo t € [0,+00) e admite limite quando t > ++oo. (2) Supondo que ||F(t, 2) — F(t,y)|| < g(t) lla — y|| para todot >0e2,yeER mostre que a aplicacao ro + limy-,400 Yeo (t) @ uma bijegéo em R. EXERcicto 3.16. Soja a: R —> R é uma fungao continua com fr* la(s)|ds < oo. Use o Exercicio 3.15 para estudar as solugdes das seguintes equagdes diferenciais quando t + +00: QQ) 2 =—-r+a(t)e. (2) 2” a +a(t)r. [Dica: Resolva.o caso a(t) = 0 ¢ depois use 0 método da vari: reduzir o caso geral a uma equacao diferencial nas condigées 40 do p. do Exereicio 3. Exencicio 3.17, Seja F : R? + R uma funcao continua e lipschiiziana em x tal que: e F(¢+T,z) = F(t,z) para algun T > 0; e existem z,y € R tais que F(t,z) F(t,y) <0 paratodot ER. Prove que a equagao diferencial 2’ = F(t, x) tem pelo menos uma solugdo periddica com perfodo T. [Dica: Lembre que toda fungao continua y : J + I num intervalo compacto IC R admite pelo menos um ponte Lixo.] EXERCICIO 3.18. Mostre que a, conclusio do Teorema 3.6 permancce valida quando (a,b) + R¢ é solugéo maximal de uma equagao diferencial 2’ = F(t,z) om que a fungao F : U > R¢ @ neramente continua. EXERCICIO 3.19. Seja F : R144 R¢ uma funcao continua tal que || F(t, z)|| < g((|z\|) para alguma fungao positiva c continua g : (0,00) > R que satisfaz Das" RG 3. SOLUCGES MAXIMALS Prove que todas as solucé condigao inicial x(to) = 0 es maximais da equagio diferencial 2! = F(t,x©) com Ao definidas para todo t > to. EXERGICIO 3.20 (Condig&o de Osgood), Um médulo de continuidade é uma fungao continua p : [0, 00) — [0, 00) ndo decrescente e tal que p(x) = 0 se e somente se c= 0. Dizemos que satisfaz a condigtio de Osgood se oe Sejam F :U Cc RM4 R¢ uma fungao continua (to, zo) € U. Suponha que existe algum mddulo de continuidade p satisfazendo a, condigao de Osgood tal que F(t,2) — F(t,y)l| < o(||x — yll) para (t,2), (t, y) numa vizinhanga de (to, 20). Prove que existe « > 0 tal que a cquacao diferencial c’ = F(t,r) tem uma tnica solugio x : (to — €,to + €) + R4 com 2(to) = zo. [Observagdo: Em particular, se a hipdtese vale ua vizinhancga de todo pouto de U entéo 2’ = F(t, x) tem a propriedade de unicidade de solucdes, tanto locais come maximais.| ENeRCICTO 3.21, Em cada um dos casos a seguir diga, justificando, se a afir- ¢ verdadcira ou falsa. (1) Existem to € Re zo > 0 tais que a solugdo maximal da equagao 2’ = sen(éx) com condigao inicial x(to) = zo é positiva em todo ponto de R. (2) Para cada € > 0, a solugdo maximal z.(t) da cquagao 2” = —ex'— 2° com condicao inicial c(0) = 1 e 2’(0) = 0 esta detinida em todo t € [0, +00). ma [Dica: Use integrag4o numérica para desenvolver a sua intuigao sobre o comporta- mento das solugdes.] EXERGICIO 3.22. Seja y(t) = (x(t), y(t) a solugio maximal da equagao dife- rencial a! =1+ $a? seny y =3-2? com 2(0) = y(0) = 0. Mostre que 7 corta a reta z = 1 antes do tempo t = 2, Exercicio 3.23. Seja (x(t), y(t)) uma solugéo maximal da equagao diferencial /=—-r+y y' = log(10 + |x|) — y eto € R um ponto no seu dominio. Mostre que as [uncdes x(t) e y(t) sdo limitadas na regido t > to. Conclua que a solugao esta definida para todo t € [tp, +00). Exercicto 3.24, Resolva as cquagées diferencias nos Exemplos 3.3 ¢ 3.4. EXERCICIO 3.25, Utilize a aplicagao compulacional do método da extensao do dominio para analisa (1) As cquagées diferenciais nos Exemplos 3.3 ¢ 3.4. Compare com os resul- tados do Exercicio 3.24. (2) A eqnagao diferencial no Excreicio 3.3 ¢ o exemplo exibido no Exereicio 3.6. Em cada caso, investigue até onde consegue estender as solugdes. 
