Download Document in mathematics and more Exercises Mathematics in PDF only on Docsity!
II-1) Présentation du modèle
équation des ondes :
Soit d un entier supérieur on égal a 2 et Ω ⊂ R d^ un ouvert borné de bord ∂Ω polyédrale (par exemple polygone en dimension 2, polyèdre en dimension 3). Soit T un réel strictement positif. Considérons le problème d’onde non homogène suivant : Trouver u : Ω×]0, T [→ R tel que :
∂^2 u ∂t^2 (x, t) + ∆u(x, t) =^ f^ (x, t),^ ∀x^ ∈^ Ω, t^ ∈]0, T^ [ u = 0 sur ∂Ω×]0, T [ u(x, 0) = u 0 (x), x ∈ Ω, arec Ω ⊂ R d, d ∈ { 1 , 2 } ∂u ∂t (x,^ 0) =^ u^1 (x), x^ ∈^ Ω
où u 0 ∈ L^2 (Ω), u 1 ∈ H 01 (Ω) et f ∈ L^2
]0, T [, L^2 (Ω)
II-2 Espaces Fonctionnels.
Dans ce chapitre,nous rappelons quelques notions d’analyse fonctionnelle pour le cadre de notre étude.
2-2-1 Espace de Hilbert :
Nous commençons par donner quelques définitions.
Définition 0.1 (Suite de Cauchy). Une suite de Cauchy dans un espace vectoriel H muni d’une norme ∥.∥H est une suite (Vn)n≤ 0 d’éléments de H satisfaisant la propriété suivante :
∀ε > 0 , ∃N ⩾ 0 tel que ∀n ⩾ N, ∀p ⩾ 0 , ∥Vn+p − Vn∥H ≤ ε
Définition 0.2 (Espace vectoriel complet, Espace de Banach). Un espace vectoriel normé H est dit complet si toute suite de Cauchy dans H converge dans H. Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet.
Nous pouvons maintenant donner la définition d’un espace de Hilbert.
Définition 0.3 (Espace de Hilbert). Soit H un espace vectoriel normé. On dit que H est un espace de Hilbert si H es un espace de Banach dont la norme provient d’un produit scalaire défini sur H × H.
2-2-2. Espace de Sobolev :
Quelques notations et formules utiles :
Définition 0.4 Soient α = (α 1 , α 2 ,... , αd) ∈ N d, Ω un ouvert de R d^ et v une fonction définie sur Ω. On a :
|α| =
X^ d
i=
αi
α! = α 1 !α 2!... αd! =
Y^ d
i=
αi!
Soit β = (β 1 , β 2 ,... , βd) ∈ N d On écrit α ≤ β si αi ≤ βi ∀i ∈ { 1 , 2 ,... , d}
si x = (x 1 , x 2 ,... , xd) ∈ R d^ et α = (α 1 , α 2 ,... , αd) ∈ N d^ alors on a :
Dαv =
∂|α|v ∂xα 1 1 ∂xα 2 2... ∂xαdd
Définition 0.5 (espace de Sobolev) Soient m ∈ N , Ω un ouvert borné de R d, d ∈ N ∗, et 1 ≤ p ∈< ∞ un nombre réel. On définit :
W m,p(Ω) = {v ∈ Lp(Ω) : Dαv ∈ Lp(Ω) ∀ α = {α 1 , α 2 , · · · , αd) ∈ N d, |α| ≤ m L’espace W m,p(Ω) est muni de la norme :
∥v∥W m,p(Ω) :=
X
|α|⩽m
∥Dαv∥p^ Lp(Ω)
p
et ∥v∥W m,∞^ (Ω) := max |α|⩽m
∥Dαv∥L∞(Ω), ∀v ∈ W m(Ω)
Pour 1 ≤ p ≤ ∞, W m,p(Ω) est un espace de Banach. En particulier pour p = 2, l’espace W m,p(Ω) est défini classiquement comme Hm(Ω) c’est-à-dire : Hm(Ω) =
v ∈ L^2 (Ω) : Dαv ∈ L^2 (Ω), ∀ α = (α 1 , α 2 , · · · , αd) ∈ N d, |α| ≤ m
Pour m = 0, on pose H^0 (Ω) = L^2 (Ω). L’espace Hm(Ω) est un espace de Hilbert lorsqu’il est muni de produit scalaire suivant :
(u, v)m,Ω =
X
|α|≤m
Z
Ω
DαuDαv, ∀(u, v) ∈ (Hm(Ω))^2
La norme issue de ce produit scalaire est définie comme suit :
∥v∥m,Ω :=
X
|α|⩽m
D^2 v 2 0 ,Ω
∀v ∈ Hm(Ω)
On définit la semi-norme :
∥v∥m,Ω :=
X
| 1 |=m
D^2 v 2 0 ,Ω
(^12)
∀v ∈ Hm(Ω).
On définit ainsi les espaces : H 0 m (Ω) := D(Ω)H
m(Ω) c’est-à-dire H 0 m (Ω) est la fermeture de D(Ω) dans Hm(Ω) pour la norme ∥ · ∥m,Ω H−m(Ω) dual topologique de H 0 m (Ω)
Solution analytique pour l’équation des ondes :
L’équation des ondes est une équation différentielle aux dérivées partielles qui modélise la propagation des ondes, comme les ondes sonores, les pondes lumineuses, ou les ondes méca- niques. Une forme typique de cette équation et la suivante :
∂^2 u(x, t) ∂t^2
= c^2
∂^2 u(x, t) ∂x^2
où
u( x, t) représente la fonction d’onde, C est la vitesse de propagation de l’onde et x et t sont respectivement spatiales et temporelles.
Résolution analytique
L’équation des ondes peut être résolue en utilisant plusieurs méthodes mais l’une des solu- tions classiques repose sur la séparation des variables.
Voici les étapes principales :
1- Hypothèse de séparation des variables.
On suppose que la solution peut être séparée sous la forme :
U (x, t) = X(x)T (t) où X(x) est
une fonction uniquement en x et T (t) est une fonction uniquement en t. Cette hypothèse permet de transformer l’équation des ondes en deux équations différentielles ordinaires indépendantes.
2- Substitution dans l’équation des ondes
Eu substituant U (x, t) = X(x)T (x) dans l’équation des ondes, on obtient :
X(x)
d^2 T (t) dt^2
= c^2 T (t)
d^2 X(x) dx^2
Divisant des deux côtés par c^2 X(x)T (x) on obtient :
1 c^2 T (t)
d^2 T (t) dt^2
X(x)
d^2 X(x) dx^2
Les deux membres de l’équation sont indépendants, dons chaque coté égale à une constante, par exemple −λ.
3- Résolution de l’équation en X.
L’équation pour X(x) devient :
d^2 X(x) dx^2
La solution générale de cette équation dépend de la valeur de λ.
- Si λ > 0 , la solution est de la forme
X(x) = A cos(
λx) + B sin(
λx).
- Si λ = 0, la solution de (E) est de la forme :
X(x) = Ax + B.
- Si λ < 0 , on introduit une constante imaginaire, et la solution exponentielle.
4- Résolution de l’équation en t
L’équation pour T (t) devient :
d^2 T (t) dt^2
La solution de cette équation est de la forme :
T (t) = C cos(
λct) + D sin(
λct))
5- Conditions aux limites et aux initiales
Pour déterminer les constantes A, B et C, D,on utilise les conditions aux limites et aux initiales du problème physique spécifique.
Solution Générale
La solution générale de l’équation des ondes est donc une combinaisons des sinus et cosinus en x et t ce qui peut être exprimé sous la forme d’une série de Fourier pour des conditions aux limites périodiques.
U (x, t) =
X
n
[An cos (ωnt) +Bn sin (wnt)] [Cn cos (knx) + Dn sin (knx)]
ωn = ckn et kn est un nombre d’onde associé aux conditions aux limites. Cette approche peut appliquée à différents types de conditions aux limites pour obtenir une solution spécifique à chaque situation.
Méthode de Runge-Kutta d’ordre 2
La méthode de Runge-Kutta d’ordre 2 est une méthode d’intégration numérique utilisée pour résoudre des équations différentielles ordinaires. Elle constitue une approximation plus précise que la méthode d’Euler, tout en restant relativement simple à mettre en œuvre.
Voici les étapes de la méthodes de Runge-Kutta d’ordre 2.
sur l’intervalle [− 1 , 1]. Le changement de variable utilisé est le suivant :
x =
b − a 2
t +
a + b 2
où
t est une nouvelle variable que varie sur [−1; 1]. L’intégrale devient :
I =
Z (^) b
a
f (x)dx =
b − a 2
X^ n
i=
ωif (xi) où
les xi sont les racines du polynôme de Legendre de degré n, et ωi. sont les poids associés à ces points. Ces points et poids sont calculés pour différent ordres de précision (valeur de n).
3- Exemple avec la méthode de Gauss-Legendre
Si l’on souhaite approximativement à évaluer l’intégrale de la fonction f (x) sur l’intervalle [a; b], on peut utiliser les points de Gauss-Legendre pour une valeur donnée de n (par exemple, n = 2, n = 3, etc.). Pour n = 2 (deux point de Gauss), les points et poids sont :
, x 2 =
Pour n = 3 (trois point de Gauss), les points et poids sont :
r 3 5
, x 2 = 0, x 3 =
r 3 5
, w 2 =
Références
- " Numérical Methods for Engineers " de steven C.Chapra et Raymond Piorate
- " Introduction to Numérical Analysis " de Josef stoer et Roland Bulirsch.
Résultat d’existence et d’unicité de solution pour l’équation des ondes :
L’équation des ondes, généralement formulée comme une équation aux dérivées partielles (EDP) de la forme :
∂^2 u ∂t^2
− c^2
∂^2 u ∂x^2
= 0 où
u(x, t) est la fonction inconnue (par exemple, la déformation ou la position d’une corde vibrante à un instant t donné et en un point x ), et c est la vitesse de propagation de l’onde, est un sujet classique d’analyse mathématique notamment pour démontrer l’existence et l’unicité des solutions.
Existence et l’unicité
L’étude de l’existence et de l’unicité des solutions de cette équation est généralement ef- fectuée dans le cadre des conditions initiales et aux limites appropriées, avec les hypothèses classiques sur les données initiale, telles que : — Les conditions initiales sur u(x, 0) et ∂u∂t (x, 0) souvent appelées données de Cauchy
u(x, 0) = f (x),
∂u ∂t
(x, 0) = g(x),
où f (x) et g(x) sont des fonctions données et suffisamment régulières. — Les Conditions aux limites qui peuvent être de Dirichlet (par exemple u(0, t) = 0 et u(L, t) = 0, ou L est la longueur du domaine spatial ou de Neumann (par exemple ∂u∂x (0, t) = 0 et x^4 ∂x (L, t) = 0
Méthodes de preuve.
Pour démontrer l’existence et l’unicité de la solution, plusieurs méthodes sont couramment utilisées, dont entre autres :
1- Méthode de séparation de variables.
Cela suppose que la solution peut être décomposée en produits de fonctions de x et de t, ce qui mène à la résolution de deux équations séparée. Bien que cette méthode donne souvent une solution explicite dans certains cas elle est limitée par la régularité des donnes initiales.
2- Méthode des espaces de Sobolev
Pour les Conditions initiales mais régulières, on peut utiliser les espaces de Sobolev pour donner une formulation plus générale de l’équation des ondes. Cela permet de démontrer rigou- reusement l’existence et l’unicité des solutions dans les espaces fonctionnels adaptés.
Références
- E. Zeidhler "Nonlinear Function. Analysis and Its Applications", Springer, 1990.
- L. C. Evans, "Partial Différential Equations" Graduate studies in Mathematics, AMS,
Conclusion
En conclusion, ce chapitre a permis d’explorer en profondeur les fondements et les outils nécessaires à la compréhension et à la résolution des équations des ondes. Après avoir introduit les concepts clés et présenté le modèle mathématique sous-jacent, nous avons étudie l’espace fonctionnel dans lequel l’équation des ondes évolue, ainsi que la solution analytique qui en découle. La méthode de de Runge-Kutta a ensuite été introduite comme un outil puissant pour la résolution numérique de cette équation différentielle d’ordre 2. En parallèle, nous avons abordé l’intégration numérique, notamment par la méthode de quadrature de Gauss, afin d’assurer une approximation plus précise des solutions.
