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100 Problemas de Matemáticas
Que todos los estudiantes deben entender y resolver en su
bachillerato.
“Las Matemáticas son como un edificio. Para que el edificio se sostenga firmemente es necesario que tenga buenas bases.
Los conceptos elementales que se recogen en los textos de la Red Matemática Antioquia son las bases que debe haber construido, con ayuda de sus maestros, un alumno que aspire a tener un buen desempeño en matemáticas. Se observará que en ellos se ha tratado de describir en detalle los pasos a seguir en cada tema, ejercicio o problema propuesto.
Pensamos, basados en nuestra propia experiencia, que ésta es una buena manera de aprender Matemáticas. Volviendo a la analogía inicial, así como un muro del edificio se construye poco a poco colocando cada uno de los ladrillos que lo componen, la solución de un ejercicio o problema matemático es una sucesión ordenada de pasos lógicos y coherentes.
Si en la construcción del muro faltan ladrillos o hay ladrillos mal colocados es muy posible que el muro se derrumbe.
Si en la solución de un problema matemático los pasos están mal concatenados o faltan pasos, probablemente la solución sea incorrecta.
Así como un deportista debe dedicar muchas horas diarias a su entrenamiento, para poder soñar con triunfar, si queremos mejorar nuestra comprensión de las Matemáticas es necesario repasar lo mismo muchas veces, aunque parezca monótono y repetitivo, de esta forma podremos enfrentar con mayor lucidez la construcción del edificio de las Matemáticas” (Sociedad Colombiana de Matemáticas).
Hemos seleccionado 100 ejercicios de matemáticas de las áreas de Aritmética, Geometría, Algebra, Teoría de Conjuntos, Matemáticas Financieras, Geometría Analítica, Trigonometría, Pre Cálculo, Estadística Descriptiva.
Estos ejercicios se han construido a partir de los problemas publicados por las Olimpiadas del Conocimiento, por los Retos Matemáticos de la Red, en los exámenes de admisión de diferentes Universidades, en las Pruebas Saber y Pisa y en las diferentes bases de datos de las Olimpiadas de Matemáticas que circulan en internet, como las mexicanas, españolas, venezolanas, bolivianas etc. Para trabajar los ejercicios consideramos necesario repasar o estudiar los conceptos teóricos que son esenciales para conocer, comprender y desarrollar las matemáticas y para lograr una buena formación y desempeño en matemáticas durante el bachillerato. A continuación haremos una enumeración de estos conceptos teóricos en las diferentes áreas de la matemática:
ARITMÉTICA
- Los números naturales, operaciones, propiedades y sistemas de numeración.
- Los números enteros, operaciones, propiedades, valor absoluto de un número.
- Números primos, descomposición en factores primos. Teorema fundamental de la aritmética.
- Criterios de divisibilidad, el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
- Los números racionales, operaciones, propiedades, relaciones de orden.
- Los números reales, propiedades, intervalos, aproximación de números reales.
- Proporciones, porcentajes, magnitudes, regla de tres simple y compuesta.
- Progresiones aritméticas, geométricas, sumatorias.
GEOMETRÍA
- Puntos, rectas y segmentos de recta.
- Congruencia y operaciones con segmentos de recta.
- Ángulos y clasificación de ángulos.
- Perpendicularidad y paralelismo.
- Ángulos formados por rectas cortadas por una secante.
- Triángulos, clasificación de triángulos, congruencia de triángulos.
- Rectas en el triángulo y Proporcionalidad de segmentos de recta.
- Semejanza de triángulos.
- Cuadriláteros, cuadriláteros especiales, polígonos, áreas, perímetro.
- Teorema de Pitágoras
- La circunferencia y sus propiedades.
ÁLGEBRA
- Concepto de variable: números y letras.
- Polinomios: suma, resta, mutilación y división de polinomios.
- Factorización o descomposición en factores, productos y cocientes notables.
- División sintética, teorema del residuo y teorema del factor.
- Teorema fundamental del Algebra, ecuaciones de primer grado o lineales.
- Fracciones algebraicas: suma resta, multiplicación y división.
- Potenciación y radicación.
- Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas.
- Sistema de dos ecuaciones lineales y determinantes.
Al conocimiento de los conceptos básicos lo debemos acompañar de una metodología para la resolución de problemas. En 1945 el matemático húngaro George Polya un texto titulado “H ow to Solve It “(Cómo plantear y resolver problemas ). En el prefacio de libro, aún vigente, nos dice
"Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de todo problema, hay cierto descubrimiento. El problema que se plantea puede ser modesto; pero, si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por medios propios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo. Experiencias de este tipo, a una edad conveniente, pueden determinar una afición para el trabajo intelectual e imprimir una huella imperecedera en la mente y en el carácter".
A modo de ejemplo presentamos la solución de un problema de matemáticas usando la metodología de Polya.
Ejemplo del método para resolver problemas matemáticos según Polya
Daniel con sus ahorros compró, por cuotas, un libro de Julio Verne y lo pagó de la siguiente
manera: la primera semana abonó 38 de sus ahorros, la segunda semana 16 y canceló en la tercera
semana 2.200 pesos. ¿Cuantos pesos tenia ahorrados Daniel?
Solución
Primer Paso: Leer y comprender el problema.
Para poder resolver un problema primero hay que entenderlo. Se debe leer despacio y con mucho cuidado. Si en una primera lectura no se tiene claridad, volver a leerlo y analizarlo con los compañeros de estudio. Seguir explorando, hasta entender las relaciones dadas en la información proporcionada. Para ello podemos formularnos preguntas del siguiente tipo
¿Qué nos dice el ejercicio? ¿Qué nos solicita encontrar? ¿Cuáles son los datos y las condiciones del problema? ¿Podemos hacer una figura, un esquema o un diagrama? ¿Podemos estimar la respuesta?
En nuestro caso lo que nos dice el problema es que Daniel va gastar sus ahorros comprando un libro y lo paga por cuotas en tres semanas. Nos pregunta por el valor de los ahorros que tenía.
Y nos da la siguiente información sobre los datos y condiciones del problema.
En la primera semana utiliza 38 de sus ahorros para pagar el libro, en la segunda 16 y en la tercera
semana cancela 2.200 pesos.
Con la siguiente gráfica representamos la información dada en el enunciado del problema
Segundo paso: Elaborar un plan o definir una estrategia.
En esta fase tratamos de hallar relaciones entre los datos y el tipo de respuesta que nos piden hallar. Se debe elaborar un plan o estrategia para resolver hallar la respuesta solicitada.
Debemos definir como denominamos los datos y las incógnitas, definir cuáles son las operaciones que las relacionan e indicar las etapas para realizarlas.
Algunas preguntas que se pueden responder en esta fase son:
¿Conoce otro problema análogo que le ayude? , ¿Puede escribir de otro modo el enunciado?
¿Qué notación se va escoger para denominar los datos y las incógnitas? ¿Usó todos los datos, condiciones?, ¿Tratamos de organizar los datos en tablas o gráficos? , ¿Existen diferentes alternativas de solución problema?, ¿Pensada una estrategia se puede realizar?
Denominamos con la letra x la cantidad de ahorros, en pesos, que gasta Daniel en la compra del libro.
Pagos de la primera semana 3𝑥 8 pesos, Pagos de la primera semana 1𝑥 6 pesos, Pagos de la tercera
semana 2.2000 pesos.
El total de ahorros 𝑥 es igual a la suma de los gastos durante las tres semanas y esta información la podemos escribir como una ecuación algebraica; expresión al
Tercer paso: Ejecutar el plan.
De acuerdo a la estrategia definida en primera instancia la realizamos haciendo las operaciones en el orden establecido, verificando paso a paso si los resultados están correctos. Si en la verificación podemos encontramos errores lógicos en el planteamientos o errores numéricos en los cálculos. En el primer caso debemos redefinir o buscar otras alternativas de solución y en el segundo basta hacer las correcciones debidas. Si no se tiene éxito en la primera búsqueda de la solución es necesario volver a empezar con paciencia con la seguridad que estas intentos son experiencias positivas para enfrentar nuevos retos.
Para resolver esta ecuación agrupamos todos los términos que contienen la incógnita x en el lado derecho de la ecuación y obtenemos:
Aritmética
Resolver: {31 – [17 x (23 – 20) – 150 ÷ 6] + 9 x 2} ÷ 23
Hallar la respuesta de la siguiente suma de fraccionarios −
19
5 +^
19
9 −^
17
3 +^
23
15 −^
2 45
La familia Restrepo consumió el domingo 12 de una pizza y el lunes consumió 27 del resto de la pizza. ¿Cuánta cantidad de pizza les falta por consumir?
Al realizar las operaciones propuestas con las áreas sombreadas de los tres círculos de áreas unitarias que se muestran en la figura, ¿Cuál es el resultado?
Determinar el mínimo Común Múltiplo de 5, 8 y 10 y el máximo común divisor de 18, 45, 63.
Felipe, ¿puedes encontrar dos números enteros positivos p y q que cumplen la siguiente condición: el máximo común divisor de p y q es 10 , 𝑚𝑐𝑑 (𝑝, 𝑞) = 10 y el mínimo común múltiplo de p y q es 240, 𝑚𝑐𝑚 (𝑝, 𝑞) = 240.
Daniel realiza la división 17 , la cual no es exacta y por ello continuó realizando la división hasta que obtuvo 2.000 cifras después de la coma decimal. ¿Cuál es la última cifra que Daniel obtuvo?
Hallar todos los números enteros positivos de dos cifras ab tales que :
¿Cuánto suman los primeros 100 dígitos que aparecen después de la coma al desarrollar
1 13?
¿Cuál número de estos números 999! o 500999 es el mayor? Explicar la respuesta.
Cuáles son l as dos últimas cifras del resultado de la suma ∑^ 𝑛=1645𝑛=1 𝑛!
En donde 𝑛! = 1 × 2 × 3 × …. .× (𝑛 − 1) × 𝑛
En Cisneros, tres trapiches A, B y C producen la panela de la siguiente manera: por cada 7 kilos de panela que produce el trapiche A, el B produce 5 y por cada 3 kilos que produce B, el trapiche C produce 2. En ocho horas, el trapiche A produjo 550 kilos más que el C. ¿Cuántos kilos produjo el trapiche B en esas 8 horas?
En una vivienda rural hay un tanque de almacenamiento de agua potable de 2.400 litros. El tanque tiene dos tuberías que lo llenan en 10 y 12 horas respectivamente. La tubería de desagüe, lo puede vaciar en 20 horas. Si las tres tuberías se abren simultáneamente y luego se cierran, cuando el tanque se llena, ¿Cuántos litros salieron por la tubería de desagüe?
¿Daniel puedes encontrar los números enteros m y n que cumplen con la siguiente ecuación:
1 3 +^
1 15 +^
1 35 +^
1 63 +^ ⋯^ +^
1 𝑚×𝑛 =^
23 47?
En un hexágono DEFGHI, Daniel y sus amigos dibujaron el triángulo ABC trazando
rectas perpendicular a los lados del hexágono en los vértices F, D y H. Luego
trazaron perpendiculares a estas, desde los vértices E, G y I. Si el área del hexágono es de 196 𝑐𝑚𝑠 2 , ¿Cuál es área del triángulo ABC?
Raquel dibujó un triángulo equilátero ABC, de perímetro 3 𝑎 𝑐𝑚𝑠. Daniel superpuso sobre él, otro triángulo equilátero del mismo perímetro y con sus lados paralelos a los del triángulo ABC. ¿Cuál es el perímetro del hexágono sombreado MNPQRS?
Un cuadrado ABCD de centro O y lado 1 , gira un ángulo 𝛼 en torno a O. Hallar el área común a ambos cuadrados.
O
D
A
B
C
D'
A'
C'
B'
M (^) P
Las alturas del triángulo ABC se cortan en el punto H. Se sabe que AB = CH. Determinar el valor del ángulo BCA.
Dado un triángulo de vértices A, B y C , y con lados de longitud a = BC , b = AC y c = AB , llamemos D al punto de intersección del lado AB con la bisectriz del ángulo C. Entonces mostrar que CD es igual a
2 𝑎𝑏 × 𝑐𝑜𝑠(
Si un punto situado en el interior de un triángulo equilátero dista de los vértices 3, 4 y 5 unidades. ¿Cuánto mide el lado del triángulo?
Los lados del triángulo ABC miden 𝐴𝐶 = 26 𝑐𝑚, 𝐴𝐵 = 17 𝑐𝑚 y 𝐶𝐵 = 19 𝑐𝑚. Las bisectrices de los ángulos de vértices A y B se cortan en el punto D. Por D se traza una
A
C B
C'
A'
B'
H
α
α
α 90 − α
90 − α
A
C (^) A' B
C' H α
90 − α α
Dado un triángulo cualquiera ABC y un punto P situado en el lado BC, construir una recta
28 que pase por P y divida el área del triángulo ABC en dos regiones de área igual.
Álgebra
Hallar un número positivo tal que su cuadrado menos el doble de dicho número es 48 y
Si 𝑎 ≠ 𝑏 y 𝑎 ≠ −𝑏, ¿Cuál es el resultado que se obtiene al simplificar la expresión algebraica
(𝑎 3 +𝑏 3 ) (𝑎 2 −𝑏 2 )
(𝑎 2 −2𝑎𝑏+𝑏 2 ) (𝑎 2 −𝑎𝑏+𝑏 2 )
Un rectángulo tiene una altura de 3 veces la longitud de la base. Si se incrementan la base en 3 cm. y la altura en 5 cm. entonces el área es de 319 𝑐𝑚 2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
Dividir el polinomio 5 𝑥 3 − 2 𝑥 + 1 entre 𝑥 + 1
Factorizar la expresión algebraica 6 𝑦 2 + 11𝑦 – 21
En mi calculadora una de las teclas del 1 al 9 funciona mal: al apretarla aparece en pantalla un dígito entre 1 y 9 que no es el que corresponde. Cuando traté de escribir el número 987654321 , apareció en la pantalla un número divisible por 11 y que deja resto 3 al dividirlo por 9. ¿Cuál es la tecla descompuesta? ¿Cuál es el número que apareció en la pantalla?
Daniel, Anita y Teo deben entregar impresas las 4.200 tarjetas de navidad que diseñaron en su taller. En la primera semana imprimieron 50 tarjetas diarias y a partir de la segunda semana, aumentaron la impresión en 100 tarjetas por semana. Si empezaron un Lunes y no trabajaron los Domingos, ¿Cuántos días se demoraron entregar todas las tarjetas?
Paola, Teo y Daniel escuchan el número 13 y uno de ellos le suma 1 y dice 14, otro le suma 2 a este número y dice 16 y el último le suma a este número 3 y dice 19, como le toca el turno al primero este suma 1 y dice 20 y así siguen contando. A Teo se le escucha decir 61, a Daniel 40 y a Anita el 602. ¿Cuál de los tres dice 2.006?
Hallar las cuatro últimas cifras de 32.^004
En el colegio de Daniel tienen tres tarros de pintura blanca para pintar el salón de clase. Anita vierte
1 3 del primer tarro en el segundo, En seguida, Felipe vierte^
1 4 del contenido del segundo tarro en el tercero y por ultimo Mateo vierte
1 10 del tercer taro en el primero. Al final
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones
Teoría de Conjuntos
Tenemos los conjuntos de números enteros 𝐴 = {1,3,4,8} , 𝐵 = {3,4,5,6, }, 𝐶 = {−1,0,2,5}^ , ¿Cuál es el resultado de la operación 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶
¿Qué operaciones entre los conjuntos A, B y C representa la región no sombreada de la siguiente gráfica?
En un colegio del departamento de Antioquia se hizo una encuesta a 100 estudiantes sobre las preferencias con respecto a las asignaturas de Matemáticas y de Biología. Al analizar los datos que entrega la encuesta se encuentra que las personas que le gustan las dos asignaturas son el triple de los que les gustan solo las Matemáticas, el doble de los que les gusta solo la Biología y cuatro veces el número de los que no les gustan estas dos materias. ¿A cuántos estudiantes les agradan las materias de Matemáticas?
En un municipio de Antioquia al 60% de los jóvenes les gusta el equipo Barcelona, al 50% les gusta el Nacional y al 40% de los que les gusta el Nacional también les gusta el Barcelona. ¿Qué porcentaje de los jóvenes no les gusta ninguno de estos dos equipos.
Felipe da a cada uno de los libros de la biblioteca de su colegio una clave de tres letras utilizando el orden alfabético: AAA, AAB, AAC,... AAZ, ABA, ABB, etc. Considerando un alfabeto de 26 letras y que en la biblioteca hay 2203 libros ¿Cuál fue el último código que Felipe utilizó en la colección de libros de la biblioteca?
La mitad de los estudiantes que termina el grado 11 en un colegio, han decidido presentarse al examen de admisión de la carrera de Bioingeniería, 138 se presentaran a
Sistemas y
2 7 quieren presentarse a las dos carreras mencionadas. Si el resto de los estudiantes, que son 31, aún no han escogido a que carrera presentarse, ¿Cuál es el número de estudiantes que termina el grado 11?
Si con los dígitos 1, 2, 3, 4 formamos números de dos dígitos diferentes y luego seleccionamos al azar uno de estos números, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número impar?
En la siguiente tabla se muestran las calificaciones de matemáticas de un grupo de
7 estudiantes. El valor de la media de estas calificaciones es
Estudiante Juan Andrés Felipe Santiago Matías Jacobo Lucas
Calificación 4,5 3,5 4,2 4,3 3,8 3,7 4
Anita reparte al azar tres invitaciones a su cumpleaños entre tres amigos. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las invitaciones llegue a su destino correcto?
Anita coloca tres balotas marcadas con los números 1, 2, 3 en una bolsa. Se saca una balota y se anota el número y ella se devuelve a la bolsa. Este proceso se repite otras dos veces. Si todas las balotas tienen la misma posibilidad de ser extraídas cada vez, y si la suma de los tres números anotados es 6, ¿cuál es la probabilidad de que se haya sacado la balota marcada con el número 2 en las tres ocasiones?
Matemáticas Financieras
Felipe le presta $ 800.000 a Daniel para organizar su taller y le pone como condición que a los cuatro meses le devuelva la suma de $ 960.000. En esta transacción ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual que cobra Felipe?
Un banco otorga al padre de Anita un préstamo de $1.200.000, a 6 meses y a una tasa de interés simple del 24% anual. ¿Qué interés 𝑖 mensual paga el papá de Anita y cuál es el valor futuro 𝐹?
Una cooperativa de ahorro, otorga al propietario de un café internet un préstamo de $5.000.000 durante 8 meses. Si al final de lo pactado, la persona ha pagado $6.600. ¿Cuánto dinero pago en intereses y cuál es la tasa de interés simple mensual?
Daniel deposita $1.000.000 en una corporación financiera, ella le paga por el depósito, un dinero por el cual le reconoce una tasa de interés del 24% anual con capitalización trimestral. a) ¿Cuál será el valor ahorrado al final de un año, con interés compuesto y con interés simple?
Para dentro de un año, la mamá de Teo necesita $1.800.000 para pagar su matrícula. Si la corporación le ofrece 20% anual con capitalización trimestral. ¿Cuánto deberá depositar hoy para conseguir el valor de la matrícula de Teo?
Si un banco presta dinero al 2% mensual ¿En cuánto tiempo duplica su capital?
Una entidad financiera ofrece, que por cualquier cantidad de dinero que un ciudadano deposite en sus oficinas, le entregará el doble del depósito al cabo de 36 meses. ¿Cuál es el interés que está pagando?
