Study with the several resources on Docsity
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Study guide for engineering mathematics covering 2nd-order ODEs, undetermined coefficients, variation of parameters, Cauchy-Euler equations, systems of ODEs, and Laplace transforms. engineering mathematics, differential equations, Laplace transform, ODE solution methods, Cauchy-Euler equation, variation of parameters, undetermined coefficients, system of differential equations, initial value problem, engineering exam prep
Typology: Exams
1 / 18
This page cannot be seen from the preview
Don't miss anything!
B1: 𝒕í𝒏𝒉 𝒆−∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 𝒆−∫𝒑(𝒙)𝒅𝒙 B2: 𝒚𝟐 = 𝒚𝟏.∫ 𝒚𝟏𝟐𝒅𝒙
Nghiệm yc = c 1 y 1 + c 2 y 2 Vd: 𝒙𝟐𝒚′′^ − 𝟑𝒙𝒚′^ + 𝟒𝒚 = 𝟎 𝒗ớ𝒊 𝒚𝟏 = 𝒙𝟐 Đầu tiên chia 2 vế cho x^2 để hệ số của y’’ là 1
=> 𝑦′′^ − 𝑥^3 𝑦′^ + 𝑥^42 𝑦 = 0
𝑥 𝑥 𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 3 𝑙𝑛𝑥 = 𝑒(𝑙𝑛𝑥)^3 = 𝑥 3 B2 :
𝑒−∫𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑦2 = 𝑦1. ∫ 2 𝑑𝑥 𝑦 1 𝑦2 = 𝑥^2 ∫ 𝑥𝑥^34 𝑑𝑥 (^) 𝑥= 𝑥^2 𝑙𝑛𝑥 𝑉ậ𝑦 𝑦1 = 𝑥^2 ; 𝑦2 = 𝑥^2 𝑙𝑛𝑥 𝑦𝑐 = 𝑐 1 𝑦1 + 𝑐 2 𝑦2 = 𝑐 1 𝑥^2 + 𝑐 2 𝑥^2 𝑙𝑛𝑥
3 −
Chú ý dạng 2 khác dạng 1: ở dạng 1 i kèm với y’ là 1 hàm theo x còn dạng 2 là hệ số. Đưa về phương trình ặc trưng : 𝑦′′^ = 𝑚^2 ; 𝑦′^ = 𝑚 ; 𝑦 𝑙à 1 𝑛ế𝑢 𝑐ó 𝑦′′′𝑡ℎì 𝑏ằ𝑛𝑔 𝑚^3 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑟𝑖ê𝑛𝑔 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑐ó 𝑑ạ𝑛𝑔 𝒚 = 𝒆𝒎𝒙 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑞𝑢á𝑡 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ: yc = c 1 y 1 + c 2 y 2
Các trường hợp khi tìm ra nghiệm của m Th1: 2 nghiệm phân biệt m1 ≠ 𝒎𝟐 => y 1 = em 1 x^ và y 2 = em 2 x
=> yc = c 1 y 1 + c 2 y 2 Vd: nếu giải ra 2 giá trị của m là m=2 và m= => y1 = 𝑒^2 𝑥^ y2= 𝑒^4 𝑥 => yc = c 1 e2x^ +c 2 e4x
Th2: giải ra m là nghiệm kép ( nghiệm bội 2 ) m 1 = m 2 y 1 = em 1 x^ y 2 = xy 1 Nếu có 3 giá trị m bằng nhau m 1 = m 2 = m 3
y 1 = 𝑒− 2 𝑥 và y 2 = 𝑒 3 𝑥 1 => Yc = c 1 𝑒− 2 𝑥^ + c 2 𝑒^3 𝑥
𝒃) 𝒚′′^ − 𝟏𝟎𝒚′^ + 𝟐𝟓𝒚 = 𝟎
PTĐT 𝑚^2 − 10𝑚 + 25 = 0 m = 5 (nghiệm kép) Th y 1 = 𝑒^5 𝑥^ y 2 = 𝑥𝑒^5 𝑥 yc = c 1 e5x^ + c 2 xe5x^ 𝒄) 𝒚′′^ + 𝒚 = 𝟎 𝑃𝑇Đ𝑇: 𝑚^2 + 1 = 0 𝑚 = ±𝑖 (phần ví dụ Th3) y 1 = cos(x) và y 2 = sin(x) yc = c 1 cos(x) + c 2 sin(x)
Giải bằng phương pháp hệ số bất định B1 : giải 𝑦′′^ + 𝑏𝑦′^ + 𝑐𝑦 = 0 để 𝑡ì𝑚 𝑟𝑎 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑦c B2 : tìm nghiệm yp tương ứng với dạng của f(x)
Rồi đạo hàm ra để thay lại vào pt ban đầu 𝑦′′^ + 𝑏𝑦′^ + 𝑐𝑦 = 𝒇(𝒙) Đạo hàm 2 lần gồm y’ và y’’ xong thay lại để tìm ra các hệ số A B của yp Y = yc + yp
Vd: 𝒚′′^ + 𝟒𝒚′^ − 𝟐𝒚 = 𝟐𝒙𝟐^ − 𝟑𝒙 + 𝟔 (1) B1: 𝑦′′^ + 4𝑦′^ − 2𝑦 = 0 𝑃𝑇Đ𝑇: 𝑚^2 + 4𝑚 − 2 = 0 𝑚 = −2 + v 𝑚 = −2 − Yc = c )𝑥^ + c )𝑥 B2: yp = 𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 là nghiệm của pt (1) y’p = 2ax + b y’’p = 2a 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑦′𝑣à 𝑦′′𝑣à𝑜 (1) 𝑡𝑎 𝑐ó: 2 𝑎 + 4(2𝑎𝑥 + 𝑏) − 2(𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) = 2𝑥^2 − 3𝑥 + 6 2 𝑎 + 8𝑎𝑥 + 4𝑏 − 2𝑎𝑥^2 − 2𝑏𝑥 − 2𝑐 = 2𝑥^2 − 3𝑥 + 6
𝑡í𝑛ℎ 𝑊
𝑊 = |𝑦′𝑦 11 𝑦′𝑦 22 | = 𝑦 1 𝑦′ 2 + 𝑦′ 1 𝑦 2 𝑊 = |2𝑒𝑒 22 𝑥𝑥 𝑒 𝑥𝑒 2 𝑥 | = 𝑒 4 𝑥 2 𝑥 + 2𝑥𝑒 2 𝑥 𝑢 1 ′ = −𝑦^2 𝑊𝑓(𝑥) = −𝑥𝑒^2 𝑥𝑒(𝑥+1 (^4) 𝑥 )𝑒^2 𝑥^ = −𝑥(𝑥 + 1)
𝑢2′ = 𝑦 1 𝑊𝑓(𝑥) = 𝑒 2 𝑥(𝑥+1𝑒 4 𝑥 )𝑒 2 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑢 1 = ∫ −𝑥(𝑥 + 1)𝑑𝑥 = − 2 − 3 𝑥 2 𝑢 2 = ∫(𝑥 + 1)𝑑𝑥 = 2 + 𝑥
𝑦𝑝 = (− 𝑥 22 − 𝑥 33 2 𝑥 + (𝑥 22 + 𝑥) 𝑥𝑒 2 𝑥 ) 𝑒 𝑥 2 𝑥 3 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 = 𝑐 1 𝑒 2 𝑥 + 𝑐 2 𝑥𝑒 2 𝑥 + (− 2 − 3 ) 𝑒 2 𝑥 + (𝑥 22 + 𝑥) 𝑥𝑒 2 𝑥
đố𝑖 𝑣ớ𝑖 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑥^2 đ𝑖 𝑣ớ𝑖 𝑦′′𝑡ℎì 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑟𝑖ê𝑛𝑔 𝑐ủ𝑎 𝑝𝑡 𝑙à 𝒚 = 𝒙𝒎 𝑃𝑇Đ𝑇: 𝑎𝑚^2 + (𝑏 − 𝑎)𝑚 + 𝑐 = 0 𝑡ươ𝑛𝑔 𝑡ự 𝑘ℎ𝑖 𝑔𝑖ả𝑖 𝑟𝑎 𝑠ẽ 𝑐ó 3 𝑇ℎ 𝑐ủ𝑎 𝑚 𝑻𝒉𝟏: 𝟐 𝒏𝒈𝒉𝒊ệ𝒎 𝒑𝒉â𝒏 𝒃𝒊ệ𝒕 𝒎𝟏 ≠ 𝒎𝟐 𝑦 1 = 𝑥𝑚^1 𝑣à 𝑦 2 = 𝑥𝑚^2
𝑻𝒉𝟐: 𝒏𝒈𝒉𝒊ệ𝒎 𝒌é𝒑 (𝒏𝒈𝒉𝒊ệ𝒎 𝒃ộ𝒊 𝟐)𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 𝑦 1 = 𝑥𝑚^1 𝑣à 𝑦 2 = 𝑦 1 ln (𝑥) 𝑡ươ𝑛𝑔 𝑡ự 𝑣ớ𝑖 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑏ộ𝑖 𝑏𝑎 𝑚 1 = 𝑚 2 = 𝑚 3 𝑡ℎì 𝑦 3 = ln(𝑥) 𝑦 2 𝑻𝒉𝟑: 𝑵𝒈𝒉𝒊ệ𝒎 𝒑𝒉ứ𝒄 𝒎𝟏 = 𝜶 + 𝒊𝜷 𝒎𝟐 = 𝜶 − 𝒊𝜷 𝑦 1 = 𝑥𝛼𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑙𝑛𝑥) 𝑣à 𝑦 2 = 𝑥𝛼sin (𝛽𝑙𝑛𝑥)
Vd: 𝒂) 𝒙𝟐𝒚′′^ − 𝟐𝒙𝒚′^ − 𝟒𝒚 = 𝟎 (𝒂 = 𝟏; 𝒃 = −𝟐; 𝒄 = −𝟒) 𝑃𝑇Đ𝑇: 𝑚^2 − 3𝑚 − 4 = 0 𝑚 = −1 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑚 = 4 (2 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑘ℎá𝑐 𝑛ℎ𝑎𝑢)𝑇ℎ 1 𝑦 1 = 𝑥−1^ 𝑣à 𝑦 2 = 𝑥^4 𝑦𝑐 = 𝑐 1 𝑥−1 + 𝑐 2 𝑥 4 𝒃) 𝟒𝒙𝟐𝒚′′^ + 𝟖𝒙𝒚′^ + 𝒚 = 𝟎 𝑃𝑇Đ𝑇: 4𝑚^2 + 4𝑚 + 1 = 0 𝑚 = − (𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑘é𝑝)𝑇ℎ 2 1 1 − − 𝑦 1 = 𝑥 2 𝑣à 𝑦 2 = ln(𝑥) 𝑥 2 − 1 −^1 𝑦𝑐 = 𝑐 1 𝑥 2 + 𝑐 2 ln(𝑥) 𝑥 2 𝒄) 𝒗𝒅 𝒏ế𝒖 𝒈𝒊ả𝒊 𝒓𝒂 𝒏𝒈𝒉𝒊ệ𝒎 𝒑𝒉ứ𝒄 𝒎 = ±𝒊 𝒕ứ𝒄 𝒍à 𝜶 = 𝟎 𝒗à 𝜷 = 𝟏 𝑦 1 = 𝑥𝛼𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑙𝑛𝑥) 𝑦 1 = 𝑥^0 𝑐𝑜𝑠(1𝑙𝑛𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛(𝑥)) 𝑦 2 = 𝑥𝛼𝑠𝑖𝑛(𝛽𝑙𝑛𝑥) 𝑦 2 = 𝑥^0 𝑠𝑖𝑛(1𝑙𝑛𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑙𝑛(𝑥)) 𝑦𝑐 = 𝑐 1 cos(ln(𝑥)) + 𝑐 2 sin(ln(𝑥))
𝑡ớ𝑖 đâ𝑦 đư𝑎 𝐷𝑥 𝑣ề 𝑙ạ𝑖 𝑑ạ𝑛𝑔 𝑥′ −𝑥′′^ − 4𝑥 = 𝑡^2 (𝑑ạ𝑛𝑔 3) (2) 𝐵1: − 𝑥′′^ − 4𝑥 = 0 𝑃𝑇Đ𝑇: − 𝑚^2 − 4 = 0 𝑚 = ±2𝑖 (𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑘é𝑝) 𝑥𝑐 = 𝑐 1 cos(2𝑡) + 𝑐 2 sin(2𝑡)
B2: 𝑥𝑝 = 𝑎𝑡^2 + 𝑏𝑡 + 𝑐
𝑥′𝑝 = 2𝑎𝑡 + 𝑏 𝑥′′𝑝 = 2𝑎 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑣à𝑜 (2) 𝑡𝑎 𝑐ó ∶ 2 𝑎 − 4(𝑎𝑡^2 + 𝑏𝑡 + 𝑐) = 𝑡^2 2 𝑎 − 4𝑎𝑡^2 − 4𝑏𝑡 − 4𝑐 = 𝑡^2 −4𝑎𝑡^2 − 4𝑏𝑡 + 2𝑎 − 4𝑐 = 𝑡^2 −4𝑎 = 1 { −4𝑏 = 0 2 𝑎 − 4𝑐 = 0
𝑥 = 𝑥𝑐 + 𝑥𝑝 = 𝑐 1 cos(2𝑡) + 𝑐 2 sin(2𝑡) − 𝑡^2 − 81 𝑡í𝑛ℎ 𝑡ℎê𝑚 𝑥′𝑛ữ𝑎 𝑟ồ𝑖 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑣à𝑜 𝑝𝑡 (1) ở 𝑑ướ𝑖 để 𝑡ì𝑚 𝑦 (𝑣ì ở 𝑑ướ𝑖 𝑐ℎỉ 𝑐ó 𝑦′) 𝑥′^ = −2𝑐 1 sin(2𝑡) + 2𝑐 2 cos(2𝑡) − 𝑡 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑣à𝑜 (1)𝑡𝑎 đượ𝑐 :
−2𝑐 1 sin(2𝑡) + 2𝑐 2 cos(2𝑡) − 𝑡 + 𝑐 1 cos(2𝑡) + 𝑐 2 sin(2𝑡) − 𝑡^2 − + 𝑦′^ = 0 4 8
𝑐ℎ𝑢𝑦ể𝑛 𝑦′𝑞𝑢𝑎 1 𝑏ê𝑛 𝑣à 𝑝ℎầ𝑛 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖 𝑠𝑎𝑛𝑔 1 𝑏ê𝑛 𝑟ồ𝑖 𝑡𝑖ế𝑛 ℎà𝑛ℎ 𝑡í𝑐ℎ 𝑝ℎâ𝑛 để 𝑡ì𝑚 𝑦 𝑦′^ = 2𝑐 1 sin(2𝑡) − 2𝑐 2 cos(2𝑡) + 𝑡 − 𝑐 1 cos(2𝑡) − 𝑐 2 sin(2𝑡) + 𝑡^2 + 18 𝑦′ = (2𝑐 1 − 𝑐 2 ) sin(2𝑡) − 3𝑐 2 cos(2𝑡) + 𝑡^2 + 81 + 𝑡 𝑦 = + 𝑡) 𝑑𝑡 = − 2 𝑐^12 −𝑐^2 cos(2𝑡) − 32 𝑐 2 sin(2𝑡) + 𝑡^3 + 81 𝑡 + 14 𝑡^2
𝑫ạ𝒏𝒈 𝒏à𝒚 𝒌𝒉ô𝒏𝒈 𝒌𝒉ó 𝒏𝒉ư𝒏𝒈 𝒌𝒉á 𝒅à𝒊, 𝒌𝒉𝒖𝒚ế𝒏 𝒌𝒉í𝒄𝒉 𝒍à𝒎 𝒌𝒉𝒊 𝒅ư 𝒕𝒉ờ𝒊 𝒈𝒊𝒂𝒏
𝑩𝑰Ế𝑵 ĐỔ𝑰 𝑳𝑨𝑷𝑳𝑨𝑪𝑬 𝑴ộ𝒕 𝒔ố 𝒄ô𝒏𝒈 𝒕𝒉ứ𝒄 𝒍𝒂𝒑𝒍𝒂𝒄𝒆 𝒄ơ 𝒃ả𝒏 𝒑𝒉ả𝒊 𝒕𝒉𝒖ộ𝒄.
𝐿{𝑦′} + 3𝐿{𝑦} = 13𝐿{sin(2𝑡)} 𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0) + 3𝑌(𝑠) = 13 𝑠 22 +
𝑌(𝑠)(𝑠 + 3) = 𝑠 226 +4 + 6
𝑌(𝑠) = (𝑠 2 +4)(𝑠+3)26 + 𝑠+ 𝑇í𝑛ℎ 𝑙𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑛𝑔ượ𝑐 𝑐ủ𝑎 𝑌(𝑠) để 𝑡ì𝑚 đượ𝑐 𝑝𝑡 𝑦(𝑡) 𝑛ℎì𝑛 𝑙ạ𝑖 𝑝ℎầ𝑛 𝑐ô𝑛𝑔 𝑡ℎứ𝑐 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑞𝑢á𝑡 𝑐ủ𝑎 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 để ℎ𝑖ể𝑢 𝑡ạ𝑖 𝑠𝑎𝑜.
𝑝ℎâ𝑛 𝑡í𝑐ℎ 𝑐ụ𝑚 𝑐ℎ𝑜 𝑛ó 𝑡á𝑐ℎ 𝑟𝑎 𝑡ℎà𝑛ℎ 2 𝑝ℎầ𝑛 để 𝑐ó 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑏ả𝑛𝑔 𝑐ô𝑛𝑔 𝑡ℎứ𝑐 𝑡𝑟ướ𝑐 𝑘ℎ𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑡í𝑐ℎ 𝑝ℎả𝑖 đả𝑚 𝑏ả𝑜 𝑚ẫ𝑢 𝑐ℎỉ 𝑡𝑜à𝑛 𝑙à 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑡ℎể 𝑐ℎứ𝑎 𝑝𝑡 26 𝑎𝑠+𝑏 𝑐 (𝑠^2 +4)(𝑠+3) = 𝑠^2 +4 + 𝑠+ (𝑎𝑠 + 𝑏)(𝑠 + 3) + 𝑐(𝑠^2 + 4) = 26 𝑎𝑠^2 + 3𝑎𝑠 + 𝑏𝑠 + 3𝑏 + 𝑐𝑠^2 + 4𝑐 = 26 (𝑎 + 𝑐)𝑠^2 + (3𝑎 + 𝑏)𝑠 + 3𝑏 + 4𝑐 = 26 𝑎 + 𝑐 = 0 𝑎 = − { 3𝑎 + 𝑏 = 0 { 𝑏 = 6 3 𝑏 + 4𝑐 = 26 𝑐 = 2 −2𝑠+6 2 = 𝑠 2 +4 + 𝑠+
𝑉ậ𝑦 𝑌(𝑠) = −2𝑠 2 𝑠+4+6 + 𝑠+3 2 + 𝑠+ 𝑇í𝑛ℎ 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑛𝑔ượ𝑐 𝑐ủ𝑎 𝑌(𝑠) để 𝑡ì𝑚 𝑦(𝑡) 𝐿−1{𝑌(𝑠)} = 𝐿−1 {−2𝑠 2 𝑠+4+6 + 𝑠+3 2 + 𝑠+36 } = 𝐿−1 { −2𝑠 2 𝑠+4+6} + 𝐿−1 { 𝑠+3 2 } + 𝐿−1 {𝑠+3 6 }
= 𝐿−1 { −2 2 +4𝑠 + 𝑠 2 6+4} + 𝐿−1 { 𝑠+3 2 } + 𝐿−1 {𝑠+3 6 } 𝑠 = 𝐿−1 { 𝑠−2 2 +4𝑠 } + 𝐿−1 { 𝑠 2 6+4} + 𝐿−1 {𝑠+3 2 } + 𝐿−1 { 𝑠+36 }
= −2𝐿−1 {𝑠 2 𝑠+4 } + 3𝐿−1 { 𝑠 2 2+4 } + 2𝐿−1 {𝑠+3 1 } + 𝐿−16 { 𝑠+31 } = −2 cos(2𝑡) + 3 sin(2𝑡) + 2𝑒−3𝑡^ + 6𝑒−3𝑡 𝑦(𝑡) = 8𝑒−3𝑡^ − 2 cos(2𝑡) + 3 sin(2𝑡)
𝑡𝑟ê𝑛 + (𝑑ướ𝑖 − 𝑡𝑟ê𝑛)𝑈(𝑡 − 𝑎) 𝑣ớ𝑖 𝑎 ở 𝑔𝑖ữ𝑎 𝑡𝑟ê𝑛 𝑣à 𝑑ướ𝑖 𝑔 1 (𝑡) 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑎 Vd: 𝑓(𝑡) = { 𝑔 2 (𝑡) 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 𝑔 3 (𝑡) 𝑡 ≥ 𝑏 𝑓(𝑡) = 𝑔 1 (𝑡) + (𝑔 2 (𝑡) − 𝑔 1 (𝑡))𝑈(𝑡 − 𝑎) + (𝑔 3 (𝑡) − 𝑔 2 (𝑡))𝑈(𝑡 − 𝑏)
𝑡 𝐿 𝑠 0 𝑓𝑢𝑑𝑢
𝑉𝑑: 𝐿
𝑪á𝒄 𝒄ô𝒏𝒈 𝒕𝒉ứ𝒄 𝒃𝒊ế𝒏 đổ𝒊 𝑳𝒂𝒑𝒍𝒂𝒄𝒆 𝟏) 𝑳{𝒆𝒂𝒕𝒇(𝒕)} = 𝑭(𝒔 − 𝒂) 𝐶ℎỉ 𝑡í𝑛ℎ 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑐ủ𝑎 𝑓(𝑡) 𝑙à 𝑟𝑎 𝐹(𝑠)𝑟ồ𝑖 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑠 = 𝑠 − 𝑎 𝒗𝒅: 𝑳{𝒆−𝟐𝒕^ 𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒕)} 𝒂 = −𝟐 𝐿{cos(3𝑡)} = 𝑠 2 𝑠+9 𝐿{𝑒−2𝑡 cos(3𝑡)} = (𝑠+2𝑠+2) 2 +
Đư𝑎 𝑏𝑖ể𝑢 𝑡ℎứ𝑐 𝑣ề 𝑐ó 𝑑ạ𝑛𝑔 𝑠 − 𝑎 𝑟ồ𝑖 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 𝑐ụ𝑚 𝑏ằ𝑛𝑔 𝑠 𝑥𝑜𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑘ế𝑡 quả 𝑟ồ𝑖 𝑛ℎâ𝑛 𝑣ớ𝑖 𝑒𝑎𝑡.
𝒗𝒅: 𝑳−𝟏^ { (𝒔+𝟐𝒔+𝟐)𝟐+𝟗} = 𝒕𝒉𝒂𝒚 𝒄ụ𝒎 𝒔 + 𝟐 𝒕𝒉à𝒏𝒉 𝒔 𝒗ớ𝒊 𝒂 = −𝟐
𝐿−1 { 𝑠 2 𝑠+9} = cos(3𝑡)
𝐿−1 { (𝑠+2𝑠+2) 2 +9} = 𝑒−2𝑡 cos(3𝑡)
𝟑)𝑳{𝒕(𝒏)𝒇(𝒕)} = 𝑭(𝒏)(𝒔)(−𝟏)𝒏^ 𝒄𝒉ỉ 𝒄ầ𝒏 𝒕í𝒏𝒉 𝑳{𝒇(𝒕)} = 𝑭(𝒔)𝒓ồ𝒊 𝒕𝒉𝒂𝒚 𝒄.𝒕𝒉ứ𝒄
𝐹𝑛(𝑠)𝑙à 𝑠𝑎𝑢 𝑘ℎ𝑖 𝑡í𝑛ℎ 𝑟𝑎 𝐹(𝑠)𝑡ℎì đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑛 lần 𝒗𝒅: 𝑳{𝒕𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒕)} 𝒗ớ𝒊 𝒇(𝒕) = 𝐬𝐢𝐧 (𝟐𝒕) 𝐿{sin(2𝑡)} = 𝑠 22 +4 = 𝐹(𝑠) 𝑉ì 𝑡 𝑚ũ 1 𝑛ê𝑛 𝑡í𝑛ℎ 𝑟𝑎 𝐹(𝑠)𝑟ồ𝑖 đạ𝑜 ℎà𝑚 1 𝑙ầ𝑛 𝑥𝑜𝑛𝑔 𝑔ắ𝑛 𝑣à𝑜 𝑐ô𝑛𝑔 𝑡ℎứ𝑐 𝐹′(𝑠) = − (𝑠 2 4+4𝑠 ) 2 𝐿{𝑡𝑠𝑖𝑛(2𝑡)} = (−1) 1 (− (𝑠 2 4+4𝑠 ) 2 ) = (𝑠 2 4+4𝑠 ) 2 𝑁ế𝑢 𝑡 𝑚ũ 2 𝑡ℎì đạ𝑜 ℎà𝑚 2 𝑙ầ𝑛, 𝑡ươ𝑛𝑔 𝑡ự 𝑐ℎ𝑜 𝑡 𝑚ũ 3 4 5
𝑇í𝑛ℎ 𝐿−1{𝐹(𝑠)} = 𝑓(𝑡) 𝑡ℎô𝑖 𝑥𝑜𝑛𝑔 𝑟ồ𝑖 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑡 = 𝑡 − 𝑎 𝑣à 𝑛ℎâ𝑛 𝑡ℎê𝑚 𝑈(𝑡 − 𝑎) 𝑽𝒅: 𝑳−𝟏^ { 𝟏^. 𝒆−𝟐𝒔} 𝒂 = 𝟐 𝒔−𝟒 𝐿−1^ { 1 } = 𝑒^4 𝑡^ = 𝑓(𝑡) 𝑠− 𝐿−1 { 1. 𝑒−2𝑠} = 𝑒4(𝑡−2)𝑈(𝑡 − 2) 𝑠−
