Download Engineering Math: Differential Equations & Laplace Transforms Guide and more Exams Nursing in PDF only on Docsity!
CÁC DẠNG BÀI TẬP CỦA LẦN KT THỨ 2
B1: 𝒕í𝒏𝒉 𝒆− ∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙
B2: 𝒚𝟐 = 𝒚𝟏. ∫
𝒆− ∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 𝒚𝟏𝟐^ 𝒅𝒙
Nghiệm yc = c 1 y 1 + c 2 y 2
Vd: 𝒙𝟐𝒚′′^ − 𝟑𝒙𝒚′^ + 𝟒𝒚 = 𝟎 𝒗ớ𝒊 𝒚𝟏 = 𝒙𝟐
Đầu tiên chia 2 vế cho x^2 để hệ số của y’’ là 1
=> 𝑦′′^ − 3 𝑥 𝑦
𝑥^2 𝑦 = 0
B1 : P(x) = − 3 𝑥 =>^ - ∫^ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙^ =^ − ∫^ −^
3 𝑥 𝑑𝑥^ = 𝟑𝒍𝒏𝒙
𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥^ = 𝑒3𝑙𝑛𝑥^ = 𝑒(𝑙𝑛𝑥)
3 = 𝑥^3
B2 : 𝑦2 = 𝑦1. ∫
𝑒− ∫^ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑦 12 𝑑𝑥
𝑦2 = 𝑥^2 ∫ 𝑥^3 𝑥^4 𝑑𝑥 = 𝑥
𝑉ậ𝑦 𝑦1 = 𝑥^2 ; 𝑦2 = 𝑥^2 𝑙𝑛𝑥
𝑦𝑐 = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2 = 𝑐1𝑥^2 + 𝑐2𝑥^2 𝑙𝑛𝑥
Chú ý dạng 2 khác dạng 1: ở dạng 1 đi kèm với y’ là 1 hàm theo x còn dạng 2 là hệ số.
Đưa về phương trình đặc trưng : 𝑦′′^ = 𝑚^2 ; 𝑦′^ = 𝑚 ; 𝑦 𝑙à 1
𝑛ế𝑢 𝑐ó 𝑦′′′𝑡ℎì 𝑏ằ𝑛𝑔 𝑚^3
𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑟𝑖ê𝑛𝑔 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑐ó 𝑑ạ𝑛𝑔 𝒚 = 𝒆𝒎𝒙
𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑞𝑢á𝑡 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ: yc = c 1 y 1 + c 2 y 2
Các trường hợp khi tìm ra nghiệm của m
Th1: 2 nghiệm phân biệt m1 ≠ 𝒎𝟐
=> y 1 = em 1 x^ và y 2 = em 2 x
=> yc = c 1 y 1 + c 2 y 2
Vd: nếu giải ra 2 giá trị của m là m=2 và m=
=> y1 = 𝑒2𝑥^ y2= 𝑒4𝑥
=> yc = c 1 e2x^ +c 2 e4x
Th2: giải ra m là nghiệm kép ( nghiệm bội 2 ) m 1 = m 2
y 1 = em 1 x^ y 2 = xy 1
Nếu có 3 giá trị m bằng nhau m 1 = m 2 = m 3
y 1 = em 1 x^ y 2 = xy 1 y 3 = xy 2 = x^2 y 1
Tương tự cho nghiệm bội 4, bội 5 …. (không có đâu yên tâm)
Vd: giải ra m 1 = m 2 = 5
=> y 1 = 𝑒5𝑥^ y 2 = 𝑥𝑒5𝑥
Nếu m 1 = m 2 = m 3 = 5
=> y 1 = 𝑒5𝑥^ y 2 = 𝑥𝑒5𝑥^ y 3 = 𝑥^2 𝑒5𝑥
Th3: Nghiệm phức m1 = 𝜶 + 𝒊𝜷
m2 = 𝜶 − 𝒊𝜷
y 1 = 𝑒𝛼𝑥^ cos(𝛽𝑥)^ và y 2 = 𝑒𝛼𝑥^ sin(𝛽𝑥)
Giải bằng phương pháp hệ số bất định
B1 : giải 𝑦′′^ + 𝑏𝑦′^ + 𝑐𝑦 = 0 để 𝑡ì𝑚 𝑟𝑎 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑦c
B2 : tìm nghiệm yp tương ứng với dạng của f(x)
Rồi đạo hàm ra để thay lại vào pt ban đầu 𝑦′′^ + 𝑏𝑦′^ + 𝑐𝑦 = 𝒇(𝒙)
Đạo hàm 2 lần gồm y’ và y’’ xong thay lại để tìm ra các hệ số A B của yp
Y = yc + yp
Vd: 𝒚′′^ + 𝟒𝒚′^ − 𝟐𝒚 = 𝟐𝒙𝟐^ − 𝟑𝒙 + 𝟔 (1)
B1: 𝑦′′^ + 4𝑦′^ − 2𝑦 = 0
𝑃𝑇Đ𝑇: 𝑚^2 + 4𝑚 − 2 = 0
𝑚 = −2 + √6 v 𝑚 = −2 − √
Yc = c 1 𝑒(−2−√6)𝑥^ + c 2 𝑒(−2+√6)𝑥
B2: yp = 𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 là nghiệm của pt (1)
y’p = 2ax + b
y’’p = 2a
𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑦′𝑣à 𝑦′′𝑣à𝑜 (1) 𝑡𝑎 𝑐ó:
2𝑎 + 4(2𝑎𝑥 + 𝑏) − 2(𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) = 2𝑥^2 − 3𝑥 + 6
2𝑎 + 8𝑎𝑥 + 4𝑏 − 2𝑎𝑥^2 − 2𝑏𝑥 − 2𝑐 = 2𝑥^2 − 3𝑥 + 6
−2𝑎𝑥^2 + (8𝑎 − 2𝑏)𝑥 + 2𝑎 + 4𝑏 − 2𝑐 = 2𝑥^2 − 3𝑥 + 6
5 2 𝑐 = −
Yp = −𝑥^2 − 5 2
Y = yc + yp = c 1 𝑒(−2−√6)𝑥^ + c 2 𝑒(−2+√6)𝑥^ − 𝑥^2 −
5 2 𝑥 − 9
Giải bằng phương pháp biến thiên hằng số đối với dạng 3
𝑦′′^ + 𝑏𝑦′^ + 𝑐𝑦 = 𝒇(𝒙) 𝒗ớ𝒊 𝒃, 𝒄 𝒍à 𝒉ệ 𝒔ố 𝒗à 𝒉ệ 𝒔ố 𝒄ủ𝒂 𝒚′′𝒍à 𝟏
B1 : giải 𝑦′′^ + 𝑏𝑦′^ + 𝑐𝑦 = 0 để 𝑡ì𝑚 𝑟𝑎 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑦c
B2 : yp = u 1 y 1 + u 2 y 2
𝑢 1 ′ = 𝑊 1 𝑊 =^
−𝑦2𝑓(𝑥) 𝑊 𝑢^1 = ∫ 𝑢^1 ′𝑑𝑥
𝑢 2 ′ = 𝑊 2 𝑊 =^
𝑦1𝑓(𝑥) 𝑊 𝑢^2 = ∫ 𝑢^2 ′𝑑𝑥
𝑊 = |
𝑦′ 1 𝑦′ 2 |^ 𝑊^1 = |^
Vd: 𝒚′′^ − 𝟒𝒚′^ + 𝟒𝒚 = (𝒙 + 𝟏)𝒆𝟐𝒙
B1 : 𝑦′′^ − 4𝑦′^ + 4𝑦 = 0
𝑃𝑇Đ𝑇: 𝑚^2 − 4𝑚 + 4 = 0
𝑚 = 2 (𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑘é𝑝)
𝑦𝑐 = 𝑐 1 𝑒2𝑥^ + 𝑐 2 𝑥𝑒2𝑥
B2 : 𝑦𝑝 = 𝑢 1 𝑒2𝑥^ + 𝑢 2 𝑥𝑒2𝑥^ 𝑡í𝑛ℎ 𝑊
𝑦′ 1 𝑦′ 2 | = 𝑦^1 𝑦′^2 + 𝑦′^1 𝑦^2 𝑊 = |
𝑒2𝑥^ 𝑥𝑒2𝑥
2𝑒2𝑥^ 𝑒2𝑥^ + 2𝑥𝑒2𝑥
𝑚 = −1 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑚 = 4 (2 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑘ℎá𝑐 𝑛ℎ𝑎𝑢)𝑇ℎ
𝑦 1 = 𝑥−1^ 𝑣à 𝑦 2 = 𝑥^4
𝑦𝑐 = 𝑐 1 𝑥−1^ + 𝑐 2 𝑥^4
𝒃) 𝟒𝒙𝟐𝒚′′^ + 𝟖𝒙𝒚′^ + 𝒚 = 𝟎
𝑃𝑇Đ𝑇: 4𝑚^2 + 4𝑚 + 1 = 0
𝑚 = − 1 2 (𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑘é𝑝)𝑇ℎ
𝑦 1 = 𝑥−
1 (^2) 𝑣à 𝑦 2 = ln(𝑥) 𝑥−
1 2
1 (^2) + 𝑐 2 ln(𝑥) 𝑥−
1 2
𝒄) 𝒗𝒅 𝒏ế𝒖 𝒈𝒊ả𝒊 𝒓𝒂 𝒏𝒈𝒉𝒊ệ𝒎 𝒑𝒉ứ𝒄 𝒎 = ±𝒊 𝒕ứ𝒄 𝒍à 𝜶 = 𝟎 𝒗à 𝜷 = 𝟏
𝑦 1 = 𝑥𝛼𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑙𝑛𝑥) 𝑦 1 = 𝑥^0 𝑐𝑜𝑠(1𝑙𝑛𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛(𝑥))
𝑦 2 = 𝑥𝛼𝑠𝑖𝑛(𝛽𝑙𝑛𝑥) 𝑦 2 = 𝑥^0 𝑠𝑖𝑛(1𝑙𝑛𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑙𝑛(𝑥))
𝑦𝑐 = 𝑐 1 cos(ln(𝑥)) + 𝑐 2 sin(ln(𝑥))
B1: 𝑲𝒉ử 𝒙 để 𝒕ì𝒎 𝒚 𝒉𝒐ặ𝒄 𝒌𝒉ử 𝒚 để 𝒕ì𝒎 𝒙
B2: 𝒕𝒉𝒂𝒚 𝒏𝒈ượ𝒄 𝒍ạ𝒊 để 𝒕ì𝒎 𝒈𝒊á 𝒕𝒓ị 𝒄ò𝒏 𝒍ạ𝒊.
𝐶ℎú ý: 𝑥′𝑐ó 𝑡ℎể 𝑣𝑖ế𝑡 𝑑ướ𝑖 𝑑ạ𝑛𝑔 𝐷𝑥
𝑥′′^ = 𝐷^2 𝑥 2 ′^ = 𝐷2 = 0 𝑡ươ𝑛𝑔 𝑡ự 𝑐ℎ𝑜 𝑦′^ = 𝐷𝑦 𝑣à 𝑦′′^ = 𝐷^2 𝑦
Vd: {
𝒙′^ − 𝟒𝒙 + 𝒚′′^ = 𝒕𝟐
𝒙′^ + 𝒙 + 𝒚′^ = 𝟎
𝑐ℎ𝑢𝑦ể𝑛 𝑣ề 𝑑ạ𝑛𝑔 𝑣𝑖ế𝑡 đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝐷
𝐷𝑥 − 4𝑥 + 𝐷^2 𝑦 = 𝑡^2
𝐺𝑜𝑚 𝑥 𝑣à 𝑦 𝑙ạ𝑖 𝑣ớ𝑖 𝑛ℎ𝑎𝑢
(𝐷 − 4)𝑥 + 𝐷^2 𝑦 = 𝑡^2
𝐾ℎử 𝑦 để 𝑡ì𝑚 𝑥 ( 𝑚ộ𝑡 𝑚ẹ𝑜 𝑛ℎỏ đó 𝑙à đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑐á𝑖 𝑛à𝑜 𝑐ó 𝑏ậ𝑐 2,3 𝑡ℎì ư𝑢
𝑡𝑖ê𝑛 𝑘ℎử để 𝑣ề 𝑠𝑎𝑢 𝑙à𝑚 𝑛ℎẹ ℎơ𝑛. 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑏à𝑖 𝑛à𝑦 𝑦 𝑐ó 𝐷^2 𝑛ê𝑛 ư𝑢 𝑡𝑖ê𝑛 𝑘ℎử 𝑦).
𝑛ℎâ𝑛 ở 𝑑ướ𝑖 𝑐ả 2 𝑣ế 𝑐ℎ𝑜 𝐷 để 𝑥𝑢ấ𝑡 ℎ𝑖ệ𝑛 𝐷^2 𝑦 𝑟ồ𝑖 𝑙ấ𝑦 𝑡𝑟ê𝑛 𝑡𝑟ừ 𝑑ướ𝑖.
(𝐷 − 4)𝑥 + 𝐷^2 𝑦 = 𝑡^2
𝐷(𝐷 + 1)𝑥 + 𝐷^2 𝑦 = 0
(𝐷 − 4)𝑥 − 𝐷𝑥(𝐷 + 1) = 𝑡^2
𝐷𝑥 − 4𝑥 − 𝐷^2 𝑥 − 𝐷𝑥 = 𝑡^2
−𝐷^2 𝑥 − 4𝑥 = 𝑡^2
𝑡ớ𝑖 đâ𝑦 đư𝑎 𝐷𝑥 𝑣ề 𝑙ạ𝑖 𝑑ạ𝑛𝑔 𝑥′
−𝑥′′^ − 4𝑥 = 𝑡^2 (𝑑ạ𝑛𝑔 3) (2)
𝐵1: − 𝑥′′^ − 4𝑥 = 0
𝑃𝑇Đ𝑇: − 𝑚^2 − 4 = 0
𝑚 = ±2𝑖 (𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑘é𝑝)
𝑥𝑐 = 𝑐 1 cos(2𝑡) + 𝑐 2 sin(2𝑡)
B2: 𝑥𝑝 = 𝑎𝑡^2 + 𝑏𝑡 + 𝑐
𝑥′𝑝 = 2𝑎𝑡 + 𝑏
𝑥′′𝑝 = 2𝑎
𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑣à𝑜 (2) 𝑡𝑎 𝑐ó ∶ 2𝑎 − 4(𝑎𝑡^2 + 𝑏𝑡 + 𝑐) = 𝑡^2
2𝑎 − 4𝑎𝑡^2 − 4𝑏𝑡 − 4𝑐 = 𝑡^2
−4𝑎𝑡^2 − 4𝑏𝑡 + 2𝑎 − 4𝑐 = 𝑡^2
1 4 𝑏 = 0 𝑐 = − 1 8
Á𝑝 𝑑ụ𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 để 𝑔𝑖ả𝑖 𝑡𝑜á𝑛 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị đầ𝑢
𝒚′^ + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟑 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒕) 𝒚(𝟎) = 𝟔
𝐿{𝑦′} + 3𝐿{𝑦} = 13𝐿{sin(2𝑡)}
2 𝑠^2 +
𝑌(𝑠)(𝑠 + 3) = 26 𝑠^2 +4 + 6
𝑌(𝑠) = 26 (𝑠^2 +4)(𝑠+3) +^
6 𝑠+
𝑇í𝑛ℎ 𝑙𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑛𝑔ượ𝑐 𝑐ủ𝑎 𝑌(𝑠) để 𝑡ì𝑚 đượ𝑐 𝑝𝑡 𝑦(𝑡)
𝑛ℎì𝑛 𝑙ạ𝑖 𝑝ℎầ𝑛 𝑐ô𝑛𝑔 𝑡ℎứ𝑐 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑞𝑢á𝑡 𝑐ủ𝑎 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 để ℎ𝑖ể𝑢 𝑡ạ𝑖 𝑠𝑎𝑜.
𝑝ℎâ𝑛 𝑡í𝑐ℎ 𝑐ụ𝑚 26 (𝑠^2 +4)(𝑠+3) 𝑐ℎ𝑜 𝑛ó 𝑡á𝑐ℎ 𝑟𝑎 𝑡ℎà𝑛ℎ 2 𝑝ℎầ𝑛 để 𝑐ó 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑏ả𝑛𝑔 𝑐ô𝑛𝑔 𝑡ℎứ𝑐
𝑡𝑟ướ𝑐 𝑘ℎ𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑡í𝑐ℎ 𝑝ℎả𝑖 đả𝑚 𝑏ả𝑜 𝑚ẫ𝑢 𝑐ℎỉ 𝑡𝑜à𝑛 𝑙à 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑡ℎể 𝑐ℎứ𝑎 𝑝𝑡
26 (𝑠^2 +4)(𝑠+3) =^
𝑎𝑠+𝑏 𝑠^2 +4 +^
𝑐 𝑠+
(𝑎𝑠 + 𝑏)(𝑠 + 3) + 𝑐(𝑠^2 + 4) = 26
𝑎𝑠^2 + 3𝑎𝑠 + 𝑏𝑠 + 3𝑏 + 𝑐𝑠^2 + 4𝑐 = 26
(𝑎 + 𝑐)𝑠^2 + (3𝑎 + 𝑏)𝑠 + 3𝑏 + 4𝑐 = 26
26 (𝑠^2 +4)(𝑠+3) =^
−2𝑠+ 𝑠^2 +4 +^
2 𝑠+
𝑉ậ𝑦 𝑌(𝑠) = −2𝑠+ 𝑠^2 +4 +^
2 𝑠+3 +^
6 𝑠+
𝑇í𝑛ℎ 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑛𝑔ượ𝑐 𝑐ủ𝑎 𝑌(𝑠) để 𝑡ì𝑚 𝑦(𝑡)
𝐿−1{𝑌(𝑠)} = 𝐿−1^ {
−2𝑠+ 𝑠^2 +4 +^
2 𝑠+3 +^
6 𝑠+3}
𝑐ℎỉ 𝑐ầ𝑛 𝑡í𝑛ℎ 𝐿{20(𝑡 − 5)} 𝑡ℎ𝑎𝑦 (𝑡 − 5)𝑏ằ𝑛𝑔 𝑡 𝐿{20𝑡} =
20 𝑠^2 = 𝐹(𝑠)
𝐿{𝟐𝟎(𝒕 − 𝟓)𝑼(𝒕 − 𝟓)} = 𝒆−𝟓𝒔. 𝟐𝟎 𝒔𝟐
!!! Chú ý: 𝑳{𝒂. 𝒃} ≠ 𝑳{𝒂}. 𝑳{𝒃}
𝑳{𝒈(𝒕)𝑼(𝒕 − 𝒂)} = 𝒆−𝒂𝒔𝑳{𝒈(𝒕 + 𝒂)}
𝑽𝒅: 𝑳{𝟐𝟎𝒕𝑼(𝒕 − 𝟓)} 𝒂 = 𝟓
= 𝑒−5𝑠𝐿{20(𝑡 + 5)} = 𝑒−5𝑠(𝐿{20𝑡} + 𝐿{100})
20 𝑠^2 + 𝑒
𝑠
𝑳{𝑼(𝒕 − 𝒂)} = 𝒆−𝒂𝒔 𝒔
Vd: 𝑇í𝑛ℎ 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑐ủ𝑎 𝑓(𝑡) = {
𝑙ấ𝑦 𝑙𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 2 𝑣ế 𝑡𝑎 đượ𝑐:
𝐿{𝑓(𝑡)} = 𝐿{20𝑡} − 𝐿{20𝑡𝑈(𝑡 − 5)} (khung ở trên đã giải)
20 𝑠^2 − 𝑒
𝑠^2 − 𝑒
𝑠
𝑉𝐷: 𝐿{𝑡^2 ∗ 𝑒𝑡} = 𝐿{𝑡^2 }. 𝐿{𝑒𝑡} =
2 𝑠^3.^
1 𝑠−
𝐿−1^ {
𝐹(𝑠) 𝑠 } = ∫ 𝑓𝑢𝑑𝑢
𝑡 0
𝑉𝑑: 𝐿−1^ {
1 𝑠(𝑠^2 +1)} = 𝐿
1 𝑠^2 + 𝑠 } = ∫ sin(𝑢) 𝑑𝑢
𝑡 0 = 1 − cos(𝑡)
𝑪á𝒄 𝒄ô𝒏𝒈 𝒕𝒉ứ𝒄 𝒃𝒊ế𝒏 đổ𝒊 𝑳𝒂𝒑𝒍𝒂𝒄𝒆
𝐶ℎỉ 𝑡í𝑛ℎ 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑐ủ𝑎 𝑓(𝑡) 𝑙à 𝑟𝑎 𝐹(𝑠)𝑟ồ𝑖 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑠 = 𝑠 − 𝑎
𝒗𝒅: 𝑳{𝒆−𝟐𝒕^ 𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒕)} 𝒂 = −𝟐
𝐿{cos(3𝑡)} =
𝑠 𝑠^2 +9 𝐿{𝑒
−2𝑡 (^) cos(3𝑡)} = 𝑠+ (𝑠+2)^2 +
Đư𝑎 𝑏𝑖ể𝑢 𝑡ℎứ𝑐 𝑣ề 𝑐ó 𝑑ạ𝑛𝑔 𝑠 − 𝑎 𝑟ồ𝑖 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 𝑐ụ𝑚 𝑏ằ𝑛𝑔 𝑠 𝑥𝑜𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑘ế𝑡
quả 𝑟ồ𝑖 𝑛ℎâ𝑛 𝑣ớ𝑖 𝑒𝑎𝑡.
𝒗𝒅: 𝑳−𝟏^ {
𝒔+𝟐 (𝒔+𝟐)𝟐+𝟗} = 𝒕𝒉𝒂𝒚 𝒄ụ𝒎 𝒔 + 𝟐 𝒕𝒉à𝒏𝒉 𝒔 𝒗ớ𝒊 𝒂 = −𝟐
𝐿−1^ {
𝑠 𝑠^2 +9} = cos(3𝑡)
𝐿−1^ { 𝑠+ (𝑠+2)^2 +9} = 𝑒
−2𝑡 (^) cos(3𝑡)
𝟑)𝑳{𝒕(𝒏)𝒇(𝒕)} = 𝑭(𝒏)(𝒔)(−𝟏)𝒏^ 𝒄𝒉ỉ 𝒄ầ𝒏 𝒕í𝒏𝒉 𝑳{𝒇(𝒕)} = 𝑭(𝒔)𝒓ồ𝒊 𝒕𝒉𝒂𝒚 𝒄. 𝒕𝒉ứ𝒄
𝐹𝑛(𝑠)𝑙à 𝑠𝑎𝑢 𝑘ℎ𝑖 𝑡í𝑛ℎ 𝑟𝑎 𝐹(𝑠)𝑡ℎì đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑛 lần
𝒗𝒅: 𝑳{𝒕𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒕)}^ 𝒗ớ𝒊 𝒇(𝒕) = 𝐬𝐢𝐧 (𝟐𝒕)
𝐿{sin(2𝑡)} = 2 𝑠^2 +4 = 𝐹(𝑠)
