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Royaume du Maroc
Ministère de l’Éducation Nationale, de l’Enseignement Supérieur de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique
Présidence du Concours National Commun Institut National de Statistique et d’Économie Appliquée INSEA
Concours National Commun d’admission
aux Grandes Écoles d’Ingénieurs ou assimilées
Session 2009
Épreuve de Physique I
Filière PSI
Durée 4 heures
Cette épreuve comporte 11 pages au format A4, en plus de cette page de garde L’usage de la calculatrice est autorisé
Concours National Commun - Session 2OO9- Filière PSI
L'énoncê de cette épreuve comporte 11 pages.
o (^) On ueillera à une présentation (^) et une rédaction claires et soignées des copies. 11conuient en partianlier de rappeler auec précision (^) les références des questions abordées.
. (^) Si, au cours de l'épreuue, Lrn candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit (^) sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatiues qu'il est amené à prendre.
L'épreuve (^) se compose de deux problèmes indépendants.
Problème I - OPTIQUE
D o n n é e s :
. (^) Constantedes gazparfaits: R = 8,314 J.K-l.mo1-1. o (^) Masse molaire de l'air : Ma = 29 g.mol1.
o (^) Fonction sinus cardinal : sinc(r)= î{. o (^) Les grandeurs (^) complexes sont notées aves des lettres soulignées et expriméesavec j tel que j2 = -I.
Ce problème propose l'étude de quelques propriétés d'un télescopemonté en cassegrain. I1 se compose de trois parties largement indépendantes.
lere partie Etude et propriêtés des télescopes
1.1. (^) Questions de cours
- l.Expliquer ce qu'est l'approximation de l'optique géométrique.
- 1.2.Qu'appelle-t-onsystèmeoptique centré?
,' 1.1.3.Rappeler brièvement les conditions de l'approximation de Gauss.
Quelles sont^ les^ propriétés^ d'un^ système^ optique^ centré^ utilisé dans ces conditions?
Dans la (^) suite du problème, (^) Ies sgstèmes optiques (^) étudiés seront considérés (^) centrés et utilisés dans les conditions (^) de Gquss.
L.2. Etude d'un (^) miroir sphérique
On considère un miroir sphérique de rayon R, de centre C, de sommet S, et de diamètre d'ouverture D (figure 1).
EpreuvedePhysiqueI U l l (^) Tournezla pageS.V.P.
Afin de mener une étude quantitative et dans peut (^) modéliser un télescope réel de type sphériques. Ainsi, dans les conditions de Gauss au téiescopecomposé de deux miroirs sphérique
Concours National Commun - Session 2009 - Filière PSI
Quelle est la plus petite valeur crminde l'angle o séparant les deux étoiies I et B que I'on peut espérer résoudre avec cette caméra?
1.3. (^) Etude du télescope Cassegrain
Pour I'observation d'objets célestes, on n'utiiise pas un simpie miroir sphérique mais une combinaison de plusieurs d'entre eux avec des formes différentes.
Le Very Large Télecsope (VLT) au chili (^) est composé de quatre (^) télescopes montés en Cassegrain. Ces télescopes pourront (^) fonctionner indépendamment ou en association, totalisant alors (lorsque leurs faisceaux sont combinés) un télescopede puissance importante.
simplification, on par (^) deux miroirs réel est équivalent
Figure 2 : Télescope (^) du VLT en configuration Cassegrain
o (^) Le miroir primaire (Mr) est concave, de sommet Sr, de foyer Fr, de distance focale I, d. rayon Rr:28,76 m et de diamètre extérieur Dr = 8,20 m. Il est percé d'un trou de diamètre D :^ 1 m en son centre. o (^) Le miroir secondaire (Mz)est convexe, de sommet Sz, de foyer Fz, de distance focale f, de rayon R, :^ 4,56 m et de diamètre extérieur Dz = I,72 m. La distance entre les sommets des miroirs vaut d = .çJ, = I2.4 m.
A l'aide du télescope ci-dessus, on observe les deux étoiles A et B de la question L.2.2.
1.3.1.Soit A,I'image de A par (Ml et A, cellede A, par (Mz).Où se trouve
f image l,? Que représente A, pour le télescope? Déterminet (^) Srl, en fonction
de R,, R, et d. Faire le calcul numérique.
Epreuvede PhysiqueI 3l11 Toumezla pageS,V.P.
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1.3.2.Faire une construction soignée et détaillée des images -8, .B par les miroirs successifs (Mr) et (Mz).On précisera aussi 1es
1.3.3.On note y =+^ le grandissement transversal du miroir A,B.
eT B. de l'étoile images A, et Ar.
secondaire.
Déterminer ArB, et ArB, en fonction de R, y et u.
1.3.4.On définit la focale équivaiente du télescope par f =
fonction de y et R,.
Ar
Exprimer f en
1.3.5.Applicationnumérique : on donne a = 2 secondesd'arc. Calculer la position du foyer image global F' du télescope (on donnera 541, le grandissement (^) T, la focale équivalente (^) .f du télescope et la taille Ar4 de l'image finale. Conclure sur l'avantage du télescope à deux miroirs par rapport à celui à un seul miroir.
1.3.6.On place dans le plan de front de f image finale ArB, la caméra CCD définie dans la question 1.2.3. Quel est la plus petite valeur oLi'.' de 1'anglea séparant les deux étoiles I^ et B que (^) l'on peut espérer résoudre avec cette caméra? Comparer âVec cr,min obtenu en 1.2.3. Conclure.
2emepartie Diffraction par une fente
Dans cette partie, on prend en compte les effets de la diffraction sur les performances du télescope. AIîn (^) de simplifier les calcuis, le télescope utilisé pour les observations astronomiques peut être modélisé par un objet diffractant et la lentille convergente équivalente au télescope dont la distance focale ./ est calculée dans la question 1.3.4. L'objet diffractant est une fente transparente rectanguiaire de centre O, de largeur (^) a = Dr (diamètre du miroir primaire) suivant OX, de grande dimension suivant I'axe perpendiculaire OY ({igure (^) 3).
On observe, à l'aide du télescope,Llne étoile B située dans la direction représentée par l'angle orienté a (o est supposé petit en valeur absolue). Cette étoile (supposée ponctuelle) émet une onde monochromatique (^) de longueur d'onde dans le vide Â.
EpreuvedePhysiqueI 4t11 Tournezla pageS.V.P.
Concours Nationai Commun - Session 2OOg- Filière pSI
k (^) étant une constante et _A'(M)
le compiexe conjugué de l,amplitude (^) 4(M).
vI): I(x)= Iolrinr(Uço (^) * ll>l'. oo.rrr.rl'expressionde /o. L /"^ J^ J
2.7. (^) Représenter (^) la figure de diffraction observée (^) sur l'écran (plan F'xA). Préciser ses caractéristiques.
2.8. Tracer l'allure de la courbe représentative de l'intensite I(x). Préciser ses caractéristiques. En quel point cette intensité est-elle maximale? Conclure.
3e-" partie Phénomènes limitant le pouvoir (^) de résolution
on modélise toujours le télescopeutilisé pour les observations astronomiques (^) par la (^) lentille convergente équivalente au télescope dont la distance focale f est calculée dans la question 1.3.4. Cette lentille forme une pupille diffractante circulaire, (^) de centre O, de diamètre â = Dr (diamètre du miroir primaire). La figure de diffraction dans le plan focal de la lentille peut être schématisée
par (^) une tache centrale (^) brillante de rayon Ro=1,224! (^) entourée d'anneaux nD, alternativement sombres et brillants.
3.1. (^) Justifier qualitativement l'aspect de la fîgure de diffraction.
3.2. (^) On observe à nouveau les deux étoiles A et B de la question L.2.2 par le télescope.On rappelle que celles-ci sont vues avec un écart angulaire o petit.
3.2.1.A quelle condition sur G, Dt, 4 et n,les deux taches de diffraction seront-elles séparées sur l'écran? on adoptera le critère de Rayleigh.
3.2.2.8n (^) déduire la résolution angulaire du télescopedéfinie par la valeur minimale cxtn de g.
Rappel Critère de Rauleigh : deux taches de diffraction peuvent être séparées si le (^) maximum principal de l'une est confondu avec ie premier minimum (^) nul de l'autre.
3.3. Citer quelques phénomènes limitatifs du pouvoir de résolution d'un téles'copeterrestre.
3.4. (^) Citer des méthodes permettant de s'affranchir des phénomènes limitatifs
Epreuvede PhysiqueI 6 / t l (^) Toumezla pageS.V.P.
concours National commun^ - Session 2009
du pouvoir de résolution d'un télescope.
g.S. pour quelles raisons construit-on tout de même de grands télescopes?
4cmepartie Effet de la turbulence^ atmosphérique sur la structure^ d'un^ front^ d'onde
L,atmosphère terrestre est constituée de couches d'air de différentes températures qui^ se^ mélangent^ les^ unes^ aux^ autres^ causant^ de^ grands mouvements (àppelés^ u turbulences ") dans^ les^ masses^ d'air'^ Pour^ les astronomes, ces turbulences sont néfastes car elles perturbent la trajectoire des rayons lumineux. Ce faisant,^ elles sont^ responsables du^ scintillement^ des étôiles dans le ciel et de la distorsion des images collectéespar les télescopes.
Les turbulences de l'atmosphère créent des variations de la masse volumique de I'air et^ par^ conséquent^ entraînent^ des^ fluctuations^ de^ son^ indice^ de réfraction.
On admet que f indice de réfraction de I'air est tié à sa masse volumique p par la relation empirique (dite de Gladstone) :
n = 7 + C p , C é t a n t u n e c o n s t a n t e '
4,L. (^) Quelle est la dimension de la constante C '
4.2, En supposant que I'air se comporte comme un gaz parfait, exprimer n en fonction de la température T et de la pression P'
4.3. Calculer numériquement la constante C, sachant qu'à T = 293 K et P = 1 0 s P a , n = 1 , 0 0 0 2 9.
4.4. On note T(z) et P(z)respectivement la température et la pression de l,atmosphère à l;équilibre a làttltud.e z. Les fluctuations^ de la température et de la pression par^ ràpport^ à l'équilibre se manifestent par^ des écarts ôT et ôP. Exirimer la fluctuation ôn de l'indice n qui en résultent en fonction de ôT et ôP.
On étudie maintenant l'effet des variations de f indice de l'atmosphère sur la structure du front d'onde émise par une étoile'
4.5. Définir ce qu'est une surface d'onde'
4.6. Enoncer le théorème de Malus.
EpreuvedePhysiqueI^ TITI^ Tournezla pageS.V.P.
concours National^ commun - session2ao
Le générateur est une inductance pure^ dite charge.
source de tension de lissage et^ R
idéale de f.e.m une résistance
E constante. L est une pure qui^ représente la
Figure
- Quel est 1erô1ed'un onduleur? Citer quelques applications de l'onduleur'
- Tracer pour t elO,Zff, la courbe v(r) en indiquant les points remarquables'
B. Ecrire l'équation différentielle vérifiée par ie courant l(t) qui circule dans la charge.
- On note i,(r) la solution d.el'équation différentielle établie dans ia question T T précédentepour 0<t <;^ .t^ ir(t) celle^ pour -<t^ <T ' L -
4.L. Détermineries expressionsde i,(t) et ir(t) en fonction de R , L et E' On note Cr et Cz les deux constantes d'intégration que I'on ne cherchera pas à
déterminer dans cette question. On pose ' = i K '
On se place en régime permanent et on cherche à déterminer les expressions
d.eCr et Cz. On Pose a = exPÇ*).
4.2. Etablir deux relations entre Cr et Cz' En déduire Cr et Cz'
4.g, Achever la détermination des courants i'(r) et ir(r)^ ' Tracer, pour t elO'Zff^ , ia courbe i(/) en indiquant les points remarquables'
- On donne le développement en série d'e^ Fourier de la tension v(/) :
Epreuvede PhysiqueI^ 9 l r 1^ Toumezla pageS.V.P.
concours National commun^ - session 2009 - Filière PSI
-- 4f /7r u(t)= " r. , - LLSsin((2' +l)an), où p^ est un entier et (D=1-t- ( 2 p + 1 ) a " ^ ' ^ r \ \ - .- ' - - -r , '^ T
5.1. Justifîer, sans calcul, ce développement.
5.2. Décrire en quelques lignes une méthode expérimentale de détermination de la valeur des coefficients de cette décomposition.
4tr 5.3. Exprimer, pour une composante v,n*,(t)= e;Wsin((2p
+l)a.t) de ia
tension v(f), le courant^ i2n*t(t)dans 1a charge en fonction de R, L,ro, E et de 1'entierp.
S.4. Montrer que ie développement en série de Fourier du courant i(t) est
donné par : i(t)^ = Ë1rr, sin((2p+r)at.t+Ôzpr)'oetermirter lrn, et ûzpr. P=o r S.S. Déterminer le rapport p =?rt^ le calculer si r,r:^ Ilr.^ Le courant i(t) est-il
sinusoidal?
- pour avoir un courant i(t) quasi-sinusoïdal, on modifie la commande des interrupteurs pour^ modifier^ la^ tension^ v(t)^ et^ obtenir^ une^ tension^ v'(/) représentée sur la figure 2 :
6.1. On admet que la décomposition^ en série^ de Fourier de la tension v'(r) est donnée par :
y , ( t ) =!! r " o s g l '^. ( '.
d ' ) I. 3 c 0 0 ' '( -
9 , ) -! " o r ç s ' r ?T r i n ( s a ç t - | ,. ' ].
7 T
. , ) s i n [ a r ( , - t ) ) + - c o s ( - ) s t n [ r a ; ( /^ 2 ) 5 2 . r r ( J @ \ ' 2 ' ) ' '
Comment faut-il choisir d pour que I'harmonique de rang 3 soit nul? Dans
Figure
Epreuvede PhysiqueI l 0 / 1I^ Tourrez^ la pageS.V.P.
