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APUNTE LIBRETO Video 21 CALCULO I MAT 1117 Cálculo diferencial aplicaciones de la derivadaaplicaciones de la derivadaaplicaciones de la derivadaaplicaciones de la derivada
IV. Estudio y bosquejo de una gráfica
1. Valores Extremos de una Función.
Def. 01 : Sea 0 definida en un intervalo M œ +ß ,c d© Dom 0 ß - − M,
- 0 - es un mínimo de 0 en M œ +ß ,c d si0 - Ÿ 0 B ß aB − MÞ
- 0 - es un máximo de 0 en M œ +ß ,c d s i0 - 0 B ß aB − M Þ
OBS: 1. Al máximo y mínimo de una función 0 se les llama los VALORES EXTREMOS de la función en el intervalo.
- Una función puede no tener valores extremos en un intervalo. Por ejemplo si el intervalo es abierto en uno o ambos extremos.
- Un valor extremo es MAXIMO ABSOLUTO o MÍNIMO ABSOLUTO de una función si es el máximo o mínimo en el dominio de la función. También son llamados extremos globales.
Propiedades:
- Teorema del valor extremo: Si 0 es una función continua en un intervalo cerradoc+ß , d entonces 0 tiene un máximo y un mínimo absoluto en c+ß , d.
- Si se cumplen las siguientes condiciones : a) 0 - es un valor extremo de 0 sobre un intervaloMÞ b) - está en el interior deM c Ñ 0 w^ - existe. Entonces 0 w - œ !Þ
Def. 02: Un número en el dominio de una función, se llama NÚMERO CRÍTICO si y sólo si o
0 w^ - œ! 0 w - no existe.
Ejemplo 1.: Determinar los números críticos de la función 0 ÐBÑ œ B $^ 'B # *B )
Solución: 1° Obtener la derivada: 0 w^ B œ $B # "#B *
2° Para obtener los Puntos críticos se tiene en cuenta la DEF. 2 0 w^ B œ! o 0 wB no existe.
Si 0 w^ B œ! Ö $B #^ "#B * œ! ‚Þ"$ B # %B $ œ! Se resuelve la cuadrática utilizando la fórmula general
B œ %„^ "'"##
È B œ % „ ## Ö B œ $ ß B œ " son los números críticos de 0
çççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç ♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦çççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
Ejemplo 2: Determinar los números críticos de la función 0 B œB"B
Solución: 1° Obtener la derivada: 0 w^ B œ B"^ ^ B" ·^ #B B ·"œ#B #BBB"
œ B #BB" œB B#B"
# ^ #
2° Para obtener los Números críticos se tiene en cuenta la DEF. 2 0 w^ B œ! o 0 wB no existe.
Si 0 w B œ! Ö B B # œ! Ö B œ! ß B œ # Si 0 w^ B b‚ Ö B " #œ! Ö B " œ! ÖB œ "
Luego los Números críticos son 0ß #ß " çççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç ♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦çççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
Teorema : TEOREMA DE ROLLE. Si una función 0 es continua en el intervalo cerrado c+ß , d y diferenciable en el abierto+ß , y si 0 + œ 0 , œ !, entonces existe un número - − +ß , tal que 0 w - œ !Þ
Teorema : TEOREMA DEL VALOR MEDIO. Si 0 es continua sobre el intervalo cerrado c+ß , d y diferenciable en el abierto +ß , , entonces existe un número - − +ß , tal que 0 , 0 + ,+^ œ 0 w - Þ
Ejemplo : Determine donde la función 0 ÐBÑ œ B $^ 'B # $ß es creciente y donde es decreciente. Solución
1° Derivar 0 ÐBÑ œ $Bw^ # "#B
2° Obtener los Números críticos 0 ÐBÑ œ !w $B # "#B œ! B œ! o B œ %
3° Ubicamos los Númeroscríticos en la recta numérica como son 2, se determinan 3 intervalos
4° Se estudia el signo de la derivada en cada intervalo que determinan los números críticos El signo positivo o negativo se obtiene eligiendo cualquier número en el intervalo y se evalúa en la deriva.
Se elige & " " en cada intervalo -4 (^0)
+ + + + + + + + (^) - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + f '(x)<0 f '(x)<0 f '(x) >
crece decrece^ crece
(− ο ο , − 4)(− ο ο , − 4)^ (− ο ο , − 4)(− ο ο , − 4) (− 4, 0)(− 4, 0)(− 4, 0)(− 4, 0) (0, ο ο )(0, ο ο )(0, ο ο )(0, ο ο )
En el intervalo Ð ∞ß %Ñß 0 ÐBÑ !w 0 es creciente En el intervalo Ð %ß !Ñß 0 ÐBÑw! 0 es decreciente En el intervalo Ð!ß ∞Ñß 0 ÐBÑ !w 0 es creciente
Teorema : Criterio de la Primera Derivada.
Sea 0 continua en el intervalo c+ß , d y sea - un número crítico de 0 en +ß , , entonces: i) Si 0 w^ B ! aB − +ß - y 0 w B! aB − -ß , entonces 0 - es un máximo relativo.de 0. ii) Si 0 w^ B! aB − +ß - y 0 w B ! aB − -ß , entonces 0 - es un mínimo relativo.de 0. iii) Si 0 w^ B ! aB − +ß - ∪ -ß , o 0 w B! aB − +ß - ∪ -ß , entonces 0 - no es un extremo relativo de 0.
Ejemplo: Encuentre los valores máximos y mínimos relativos de la función 0 ÐBÑ œ B %^ %B $^ %B # #
Solución: H970 œ ‘
1° Derivar 0 ÐBÑ œ %Bw^ $^ "#B # )B 2° Obtener los Números críticos: 0 ÐBÑ œ !w^ Ö %B $^ "#B # )B œ! %BÐB "ÑÐB #Ñ œ! B œ! ß B œ "ß B œ # 3° Estudio del signo en la recta numérica
− ο ο− ο ο− ο ο− ο ο 0000 1111 2222 ο οο οο οο ο f ' − − − − − −− − − − − −− − − − − −− − − − − − + + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + + − − − −− − − −− − − −− − − − (^) + + + + + + ++ + + + + + ++ + + + + + ++ + + + + + +
f decrece (^) crece decrece crece Mínimo (^) Máximo (^) Mínimo
se puede construir una tabla como la siguiente
B! B œ!! B " B œ " " B # B œ # B # 0 ! ! ! 0 # $ # Þ Þ Þ ∞ß! !ß " "ß # #ß ∞
w à ß à ß decrece mín rel crece máx rel decrece mín rel crece
Teorema: Criterio de la Segunda Derivada. Sea 0 una función derivable en algún intervalo que contiene a - en su interior, entonces: i) 0 - es un mínimo relativo de 0 si 0 w^ - œ! y 0 ww - !Þ ii) 0 - es un máximo relativo de 0 si 0 w ^ - œ! y 0 ww - !Þ iii) Si 0 ww - œ !el criterio no concluye
Ejemplo: Encuentre los extremos relativos de la función 0 ÐBÑ œ "%B %^ B $^ #B # $ Solución:
1° Obtener 1 ra^ derivada 0 w B œB $^ 3 B # %B 2° Números críticos: 0 ÐBÑ œ !w^ Í B $^ 3 B # %B œ! Í BÐB "ÑÐB %Ñ œ! Í B œ! ß B œ "ß B œ %
3° Obtener 2 da^ derivada 0 w^ wÐBÑ œ $B # 'B %
%° Evaluar los puntos críiticos en la segunda derivada y estudiar el signo
0 wwÐ "Ñ œ & ! hay mínimo relativo enB œ " 0 wwÐ!Ñ œ %! hay máximo relativo enB œ! 0 wwÐ%Ñ œ #! ! hay mínimo relativo enB œ %
Teorema: Criterio de Concavidad.
Sea 0 una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abiertoM a) Si 0 ww B ! aB − M , la gráfica de 0 es cóncava hacia arriba. b Ñ Si 0 ww B! aB − M , la gráfica de 0 es cóncava hacia abajo.
Estrategia: 1° Localizar los valores de B en los que 0 ww^ B œ! o 0 ww B no existe. 2° Determinar con estos valores unos intervalos de prueba. 3° "mirar " el signo de 0 ww B en cada uno de los intervalos.
Def. 04 : Sea una función cuya gráfica tiene una recta tangente en , se dice que el punto
0 -ß 0 - -ß 0 -
es un PUNTO DE INFLEXIÓN.
Ejemplo: Analice la función 0 ÐBÑ œ B %^ %B$en relación a la concavidad y determine los puntos de inflexión si ellos existen.
Solución: 0 ÐBÑ œ %Bw^ $^ "#B ß#^0 w^ wÐBÑ œ "#B # #%B
Posibles puntos de inflexión: son los puntos críticos de la segunda derivada 0 w^ wÐBÑ œ! Í "#B # #%B œ! Í "#BÐB #Ñ œ! Í B œ! ß B œ #
Intervalos
concavidad hacia arriba hacia abajo hacia arriba
Ð∞ß !Ñ Ð!ß #Ñ Ð#ß ∞Ñ 0 ww
El punto Ð!ß !Ñes un punto de inflexión ya que la curva cambia allí de cóncavidad. También el punto Ð#ß "'Ñes un punto de inflexión puesto que la curva también cambia allí de cóncavidad.
EJERCICIO
1. Esbozar el gráfico de la curva , indicando : Dominio ; Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. ; Máximos o mínimos relativos (si existen). ; Los intervalos de concavidad ; Puntos de inflexión (si existen).
a. 0 B œ B%^ %B$ #B #^ " b.0 B œ B &^ "&B$
% $
2. Comprobar usando un software.
OBSERVACIÓN : Lo marcado con rojo es lo que interesa que ud. lo entienda muy bien: 1° saber como se obtienen los números críticos 2°manejar el criterio de la segunda derivada para decidir cual de ellos es máximo o mínimo relativo o nada.
