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Mathématiques
Livret de travail
de la 3
eme
à la 2
nde
29 mai 2021
Préface
Ce livret s’adresse aux élèves qui s’apprêtent à entrer en classe de Seconde au lycée Henri-IV ou au lycée Louis-le-Grand.
Ce livret a pour but de leur proposer une sélection d’exercices couvrant une large partie des ensei- gnements de Troisième et qui ont été choisis pour leur permettre de faire le point sur les connais-sances et les techniques nécessaires à une arrivée en Seconde dans de bonnes conditions. Sa lec-ture n’a bien évidemment
aucun caractère obligatoire
Le choix a été fait de donner les solutions de quasiment tous ces exercices, et de n’en corriger (au sens où le raisonnement à mener est indiqué et détaillé) que quelques uns.
Les exercices présentent un pictogramme donnant une indication du niveau de dif
fi
culté. Les
exercices
✩✩★✩
et
✩✩ ★★
mobilisent des connaissances et savoir faire usuels en
fi
n de troisième, les exer-
cices
★✩★★
ou
★★ ★★
sont plus dif
fi
ciles. Ces mentions sont d’une part subjectives, d’autre part relatives :
le niveau d’ensemble des exercices proposés est assez élevé par rapport au programme de troi-sième. Ne pas trouver, même en y passant du temps, un exercice ne préjuge en rien de votre futureréussite en seconde.
Ce livret est également, par nature, amené à évoluer en fonction de vos retours à la rentrée. Il constitue d’ores et déjà une base intéressante de travail pour tous.
C’est dans ce but que nous vous le proposons.
Anne P
ARADAS
A
RROYO
(lycée Louis-le-Grand) et Laurent L
EMAIRE
(lycée Henri-IV).
Chapitre 1Exercices1.
Calcul fractionnaire
Ex 1
✩✩★✩
Effectuer les calculs suivants : A
×
B
μ
×
C
μ
÷
D
×
E
×
F
Ex 2
✩✩★✩
Calculer les expressions suivantes en donnant les résultats sous forme de fraction irréductible : A
μ
×
μ
B
μ
÷
μ
C
×
μ
D
μ
×
μ
E
μ
÷
μ
Ex 3
✩✩★✩
Lorsque
a
b
et
c
, calculer :
A
a
b
c
B
a
b
c
C
b
(^2)
a
D
1 a
1 b
1 c
E
a
c
a
b
Ex 4
✩✩★✩
Calculer la valeur de F
x
y
x
lorsque
x
y
x
y
x
y
x
y
Ex 5
✩✩★✩
Calculer les expressions suivantes en donnant les résultats sous forme de fraction irréductible : A
×
B
C
×
μ
×
Ex 6
✩✩★✩
Quel est le nombre qu’il faut ajouter au numé- rateur et au dénominateur de la fraction
pour
que la nouvelle fraction soit égale à 4?
Ex 7
✩✩★★
Retrouver le nombre caché à la place de
et
de
1.
Puissances
Ex 8
✩✩★✩
Formules
Série 1 :
Écrire sous la forme 3
n
A
5
×
2
−
7
B
2
×
3
4
C
2
×
3
4
D
2
×
2
3
5
E
2
3
3
×
F
−
2
×
−
8
4
×
−
17
G
μμ
5
×
2
3
2
H
2
×
2
Série 2 :
Écrire sous la forme
a
n
A
4
×
−
5
B
5
×
−
3
C
3 4
3
D
−
6
×
−
25
E
4
×
−
7
×
2
F
6
×
5
−
9
Série 3 :
Écrire les nombres suivants sous la
forme 2
n
×
m
A
4
2
×
5
B
×
2
3
−
3
C
3
×
−
4
2
3
2
×
−
5
D
2
3
−
4
×
6
E
μ
4
×
μ
2 2
3
F
3
×
4
7
Ex 9
✩✩★★
Nombre de chi
ff
res
Déterminer le nombre de chiffres de 4
16
×
25
Ex 10
✩✩★★
Somme des chi
ff
res
Déterminer la somme des chiffres du nombre
2 046
Ex 11
✩✩★✩
En ajoutant 4
15
et 8
10
, on obtient une puis-
sance de 2. Laquelle?
Ex 12
✩✩★★
Déterminer
n
dans chacun des cas.
4
×
2
×
6
×
2
n
2
3
×
6
×
3
×
3
n
3
4
5
4
5
4
5
4
5
3
5
3
5
3
5
6
5
6
5
6
5
6
5
6
5
6
5
2
5
2
5
n
2001
2002
2003
n
×
2001
n
n
×
12
Ex 13
✩✩★★
Calculs algébriques
Soient
a
0 et
b
- Calculer puis donner le
résultat sous la forme
a
n
×
b
m
où
n
et
m
dési-
gnent des entiers relatifs. ⋆
Série 1
A
a
(^2)
b
−
3
a
−
2
b
B
a
6
b
−
4
a
(^10)
b
−
8
C
a
2
b
3
ba
−
2
D
ab
2
−
1
a
(^2)
b
(^3)
2
Série 2
A
a
(^2)
ab
−
3
b
−
2
−
3
B
ab
(^2)
−
1
a
−
2
b
−
7
C
a
(^3)
b
3
a
(^2)
b
(^5)
5
D
ab
3
−
4
a
−
2
b
2
a
−
6
b
4
Anne P
ARADAS
A
RROYO
Laurent L
EMAIRE
Ex 27
✩✩★✩
Facteurs communs
Factoriser en utilisant un facteur commun :
A
x
x
x
B
x
x
x
x
C
x
2
x
x
x
D
x
3
x
2
x
E
x
(^2)
x
x
(^3)
F
x
2
x
x
x
G
x
2
x
x
H
x
x
x
I
x
x
x
Ex 28
✩✩★✩
Identités remarquables
Factoriser
en
utilisant
une
identité
remar-
quable.
Série 1 :
A
x
(^2)
x
B
x
(^2)
C
x
x
2
D
x
2
E
x
2
x
F
x
2
G
x
2
H
x
2
x
Série 2 :
A
x
(^2)
x
2
B
x
(^2)
x
C
x
(^2)
x
D
x
2
E
x
2
x
2
F
x
2
Série 3 :
A
x
(^2)
x
x
B
x
x
x
(^2)
C
x
(^2)
x
D
x
2
x
x
x
Ex 29
✩✩★★
Regroupements de termes
Factoriser aussi complètement que possible : ⋆
Série 1 :
A
ax
a y
bx
by
B
ab
ac
bd
dc
C
ad
ac
bd
bc
D
x y
x
y
E
ac
ad
bc
bd
F
ax
a y
bx
by
Série 2 :
A
x
(^3)
x
(^2)
x
B
x
3
x
(^2)
x
C
x
3
x
(^2)
x
D
x
(^3)
x
(^2)
x
E
x
(^3)
x
2
x
F
x
(^5)
x
4
x
Ex 30
★✩★★
Un entier naturel non nul est écrit sur chacune des faces d’un cube, et sur chaque sommet onécrit le produit des nombres inscrits sur les troisfaces adjacentes à ce sommet.
La
somme
des
nombres
placés
aux
sommets du cube est105.Quelle
est
la
somme
des
nombres
placés
sur les faces du cube?
Ex 31
★✩★★
En facteurs premiers
Décomposer en produit de facteurs premiers :
A
B
Anne P
ARADAS
A RROYO
Laurent L
EMAIRE
1.
Équations, inéquation
Ex 32
✩✩★✩
Résoudre les équations : 1)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Ex 33
✩✩★★
Résoudre les équations : 1)
x
x
x
x
x
x
4
x
x
x
x 6
x
x
x 2
x
x
x
Ex 34
✩✩★✩
Problèmes géométriques
L’aire d’un trapèze est de 85,5 cm
2
. Sa hau-
teur est de 4,5 cm. Une de ses bases mesure15 cm. Calculer la longueur de l’autre base.
Le périmètre d’un rectangle mesure 240 m.Sa longueur mesure 26 m de plus que sa lar-geur. Calculer ses dimensions.
Combien mesure le côté d’un triangle équi-latéral dont une hauteur mesure 6 cm?
Un rectangle a 15 m de largeur. Si on dimi-nuait sa longueur de 14 m et si on augmen-tait sa largeur de 6 m, l’aire ne varierait pas.Calculer la longueur de ce rectangle.
Dans un losange, la grande diagonale me-sure 7 cm de plus que la petite. Si on dimi-nuait la longueur de la grande diagonale de9 cm et si on augmentait la longueur de lapetite diagonale de 5 cm, l’aire diminueraitde 82 cm
2
. Calculer la longueur de chaque
diagonale.
Ex 35
✩✩★✩
Problèmes d’âge
L’âge d’un père est le quadruple de celui deson
fi
ls. Quel est l’âge du père, sachant que,
dans 20 ans, il ne sera plus que le double decelui de son
fi
ls?
Bob a le double de l’âge de Joe. Il y a 10 ans,Bob avait quatre fois l’âge de Joe. Quels sontles âges de Bob et de Joe?
Il y a 55 ans, l’âge d’un père dépassait de 25ans l’âge de son
fi
ls. Dans 14 ans, l’âge du
fi
ls sera égal aux trois quarts de l’âge de son père. Quels sont les âges du père et du
fi
ls?
Ex 36
✩✩★✩
Brevet 2003
Soit l’expression
A
x
2
x
x
Développer l’expression A.
Factoriser 9
x
(^2)
49 ; puis l’expression A.
Résoudre l’équation A
Ex 37
✩✩★✩
Brevet 1998
On considère l’expression
E
x
2
x
2
Développer et réduire E.
Factoriser E.
Résoudre l’équation E
Ex 38
✩✩★★
Bambou brisé
Un bambou de 1 mètre de hauteur, lorsqu’il est brisé, a son extrémité qui touche le sol à unedistance de 30 cm de sa base. À quelle hauteur a-t-il été brisé?
Ex 39
✩✩★★
Le lièvre et la tortue
Un lièvre et une tortue font la course : ils s’élancent pour 5 km en ligne droite. Le lièvrecourt 5 fois plus vite que la tortue.
Au départ, le lièvre est parti par erreur perpen- diculairement à la bonne route. Quand il s’enest aperçu, il a instantanément changé de direc-tion pour aller tout droit vers l’arrivée.
Le lièvre et la tortue ont franchi l’arrivée exac- tement en même temps.
À quelle distance de l’arrivée se trouve le point où le lièvre a changé de direction?
Anne P
ARADAS
A
RROYO
Laurent L
EMAIRE
Ex 40
✩✩★★
Les chariots
Sur un parking de super-marché, se trouvent deuxlignes
de
chariots
bien
rangés.
La première ligne, de 10 chariots, mesure 2, mètres de long.
La seconde, de 20 chariots, mesure 4,9 mètres de long.
Quelle est la longueur d’un chariot? Ex 41
✩✩★✩
Équation
x
(^2)
a
Résoudre les équations suivantes : ⋆
Série 1 :
x
2
x
2
x
(^2)
x
2
x
(^2)
x
2
Série 2 :
x
2
x
2
x
x
Ex 42
✩✩★✩
Brevet 1996
Résoudre l’inéquation : 7
x
x
Représenter les solutions sur une droite gra-duée.
Résoudre l’inéquation
x
x
Représenter les solutions sur une droite gra-duée.
Représenter sur une droite graduée les solu-tions du système :
S
1
x
x
x
x
Ex 43
✩✩★★
Fabrication sous contrainte
Une entreprise de menuiserie fabrique 150 chaises par jour. Elle produit deux types dechaises, les unes vendues à 35
pièce, les autres
pièce.
L’entreprise
souhaite
que
le
montant
des
ventes soit strictement supérieur à 7 000
par
jour et elle veut fabriquer plus de chaises à 35
que de chaises à 60
Combien doit-elle fabriquer de chaises à 35
par jour?
1.
Géométrie
Ex 44
✩✩★✩
ABC est un triangle isocèle de sommet princi- pal A tel que AB
8 cm et BC
9,6 cm. On ap-
pelle respectivement H et K les pieds des hau-teurs issues de A et C. 1)
Calculer AH puis l’aire du triangle ABC.
Calculer CK puis BK.
Ex 45
✩✩★✩
Brevet 1998
ABC est un triangle tel que AB
4,2 cm ; AC
5,6 cm et BC
7 cm.
Démontrer que ABC est un triangle rec-tangle.
Calculer son aire.
On sait que si R est le rayon du cercle cir-conscrit à un triangle dont les côtés ont pour
longueurs
a
b
c
données en cm, l’aire de ce
triangle est égale à
abc
4R
a)
En
utilisant
cette
formule,
calculer
le
rayon du cercle circonscrit à ABC.
b)
Pouvait-on prévoir ce résultat? Justi
fi
er la
réponse.
Ex 46
✩✩★✩
Brevet 2006
Soit un cercle de centre O et de diamètre [ST] tel que ST
7 cm. Soit U un point de ce cercle
tel que SU
3 cm.
Faire une
fi
gure.
Démontrer que STU est rectangle en U.
Calculer, au dixième près, la valeur de
STU.
En déduire, au dixième près, la valeur de^ SOU.
Anne P
ARADAS
A RROYO
Laurent L
EMAIRE
Ex 47
✩✩★✩
Avec des losanges
Un rectangle est inscrit dans un cercle.Un rectangle est inscrit dansun cercle. On sait que
OA
5 et AB
où O est le centre du cercle.Calculer l’aire du rectangle.
� O
�
B
�
A
ABCD est un losange.[AC] est un diamètre du cercle.Calculer l’aire de la
fi
gure gri-
sée, sachant que
AB
9 et BD
� A
C^ �
�
B
�
D
Ex 48
✩✩★✩
Avec des carrés
Deux carrés de côtés 14 et 18 sont tracés côte à côte. Quelle est l’aire du triangle coloré sur la
fi
gure?
Ex 49
✩✩★★
Calcul de périmètre
le triangle ABD est rectangle en A.Calculer le périmètre du triangleACD dans les cas suivants : 1)
AB
ADB
et
CAD
AD
ADB
et
CAD
B
D
C
A
Ex 50
✩✩★★
Appui sur un mur
Une boîte cubique de 50 cm d’arête s’appuie contre un mur vertical comme indiqué sur ledessin. Dans chacun des cas, à quelle hauteur(au mm près) se trouve le point C?
�
�
�
�
A
B
C
D
40
cm
�
�
�
�
A
B
C
D
65
°
Ex 51
✩✩★★
Jeu
La
fi
gure représente l’écran d’un jeu vidéo
d’arcade dans lequel des canards se déplacentde A vers B à la vitesse de 7 cm/s. Des balles ti-rées depuis le point O traversent à 25 cm/s.
Si un joueur tire dès qu’un canard apparaît au point A , quel devrait être l’angle de tir pour at-teindre la cible du premier coup?
� �
�
�
A
B
O
ϕ
Ex 52
✩✩★★
Lunules d’Hippocrate
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AC
b
et AB
c
. On a construit un demi-
cercle sur chacun de ses côtés pris comme dia-mètre. On a coloré les croissants compris entrele grand demi-cercle et les deux autres.
� C
� B
� A
c
a b
Démontrer que l’aire colorée est égale à l’aire du triangle.
Ex 53
✩✩★★
Corde tangente
Calculer l’aire de la
fi
gure
grisée, sachant que la lon-gueur de la corde [AB], tan-gente au petit cercle, est de24 cm.
×
� A
�
B
Ex 54
★★★★
Soient deux points A et B tels que : AB
Sur le segment [AB], on place le point C tel que :AC
6 (et par conséquent : CB
D’un même côté de la droite (AB), on place lespoints D et E tels que :
DC
DB
3, EA
8 et EC
Calculer la distance DE.
Ex 55
★✩★★
La carte au trésor
Une carte indique qu’un trésor est situé dans
Anne P
ARADAS
A
RROYO
Laurent L
EMAIRE
Calculer le volume d’eau contenue dans laciterne lorsqu’elle est remplie à mi-hauteur.
4)a)
Reproduire et compléter le tableau de va-leurs suivant :
x
V
x
x
x
b)
En déduire un encadrement à 0,1 prèsde la hauteur d’eau lorsque la citerne estremplie à la moitié de sa capacité.
Ex 64
✩✩★✩
Brevet 2009
On donne ci-dessous les représentations gra- phiques de trois fonctions. Ces représentationssont nommées C
1
, C
2
et C
3
L’une d’entre elles est la représentation gra- phique d’une fonction linéaire.
Une autre est la représentation graphique de la fonction
f
x
x
C
3
C
2
C
1
×
B
x
y
Lire
graphiquement
les
coordonnées
du
point B.
Par lecture graphique, déterminer les abs-cisses des points d’intersection de la courbe
C
3
avec l’axe des abscisses.
Laquelle de ces représentations est celle dela fonction linéaire? Justi
fi
er.
Laquelle de ces représentations est celle dela fonction
f
? Justi
fi
er.
Quel est l’antécédent de 1 par la fonction
f
Justi
fi
er par un calcul.
A est le point de coordonnées (4,6 ; 1,2). Aappartient-il à C
2
? Justi
fi
er par un calcul.
Ex 65
✩✩★★
f
est une fonction af
fi
ne telle que
f
et
f
Combien vaut
f
Soient
f
une fonction linéaire et
g
une fonc-
tion af
fi
ne telles que
f
g
et
f
g
Combien vaut
g
Ex 66
✩✩★★
Soit
f
x
^7 −→
x
(^17)
On considère le nombre
h
(que l’on ne cher-
chera pas à calculer) tel que
f
h
Calculer
f
h
Ex 67
✩✩★★
Soit
f
une fonction telle que
f
et
f
x
y
f
x
f
y
) pour tous entiers
x
et
y
Combien vaut
f
f
f
f
Anne P
ARADAS
A RROYO
Laurent L
EMAIRE
1.
Raisonnements
Ex 68
✩✩★★
Triangle
Démontrer qu’un triangle (non aplati) dont les côtés sont des nombres entiers et dont le péri-mètre vaut 8, est isocèle.
Ex 69
✩✩★✩
Le ballon de foot
Un
ballon
de
football
est
formé
de
pentagones
réguliers et de 20 hexagonesréguliers
assemblés
entre
eux par une couture. Leurs côtés mesurent 4,5 cm.
Trouver la longueur de la couture. Ex 70
✩✩★★
Trains
Deux trains, A et B, suivent des parcours circu- laires et se croisent à la gare G.Le train A fait un tour en 5 mi-nutes.Le train B fait un tour en 7 mi-nutes.Dans combien de temps lesdeux trains se retrouveront-ilsensemble à la gare
Gare
A B
5
min 7
min
S’ils sont partis en même temps de la gare?
Si le train A est parti de la gare depuis 4 mi-nutes et le train B depuis 2 minutes?
Ex 71
✩✩★★
Probabilités
Trois nombres différents sont choisis au ha- sard parmi 2, 0, 2 et 1.
Quelle est la probabilité d’obtenir 0 comme ré- sultat de la multiplication des trois nombres?
Ex 72
✩✩★★
Probabilités
On lance deux dés (les dés sont des dés équili- brés standard à six faces marquées de 1 à 6).Oncalcule la somme des deux nombres obtenus.
Quelle est la probabilité que cette somme soit un nombre premier?
Ex 73
★✩★★
Le dé qui roule
Sur la
fi
gure ci-dessous, on dispose d’un che-
min constitué de douze carreaux unités. Un déest placé sur ce chemin et il y roule (dans le sensde parcours, la face verticale ici numérotée 1,tombe sur le premier carreau du chemin). Combien de tours complets du chemin le dédoit-il effectuer pour se retrouver exactementdans la position initiale?
Ex 74
★✩★★
Mensonges
Un garçon dit toujours la vérité le jeudi et le vendredi. Il ment toujours le mardi. Et les autresjours, il ment ou dit la vérité au hasard.
Sept jours de suite, on lui demande son pré- nom. Voici, dans l’ordre, ses réponses des sixpremiers jours :
John, Bob, John, Bob, Pit, Bob.
Quelle est sa réponse le septième jour?
Anne P
ARADAS
A
RROYO
Laurent L
EMAIRE
Chapitre 2Réponses2.
Calcul fractionnaire
Ex
A
B
C
D
E
F
Ex
A
B
C
D
E
Ex
A
B
C
D
E
Ex
F
F
F
F
Ex
A
B
C
Ex
x
x
4 donc 5
x
x
) soit
x
et
donc
x
Ex
2.
Puissances
Ex
Série 1 :
Écrire sous la forme 3
n
A
14
B
20
C
14
D
7
E
2
F
29
G
2
H
−
3
Série 2 :
Écrire sous la forme
a
n
A
−
6
B
−
4
C
3
D
−
19
E
−
4
F
25
Série 3 :
Écrire les nombres suivants sous la
forme 2
n
×
m
A
−
6
×
−
5
B
4
×
6
C
−
2
×
−
1
D
10
×
−
6
E
1
×
2
F
11
×
−
9
Ex
Ce nombre a 28 chiffres car : 4
16
×
25
32
×
25
7
×
25
×
25
×
25
Ex
La somme des chiffres est 18421 Ex
15
10
31
Ex
n
2
×
×
3
×
n
×
2
×
×
Le produit est égal^4
×
5
×
5
×
×
5
×
5
6
12
donc
n
2001
2002
2003
2001
2
2001
2002
2003
×
2001
d’où
n
On a 3
n
n
12 donc
n
Ex
Série 1
A
a
(^4)
b
−
4
B
a
−
4
b
(^4)
C
a
(^8)
b
(^2)
D
a
−
5
b
−
8
Série 2
A
a
−
1
b
(^3)
B
a
(^1)
b
(^5)
C
a
(^19)
b
(^28)
D
a
−
2
b
−
14
2.
Entiers
Ex
La somme des chiffres manquants est 3 ou12.50832, 51822, 52812, 53802 et 53892, 54882,55872, 56862, 57852, 58842, 59832.
Le chiffre des unités est pair et la somme deschiffres manquants est 1 ou 10.3150 et 3852, 3654, 3456, 3258.
Le chiffre des unités est 0 ou 5 et la sommedes chiffres manquants est 2 ou 11.342 450 et 346 455.
Divisible par 15 signi
fi
e divisible par 3 et par
5 donc le chiffre des unités est 0 ou 5 et lasomme des chiffres manquants est 2, 5, 8, 11,14 ou 17.1230, 1530, 1830 et 1035, 1335, 1635, 1935.
123453, 423456 et 723459.
Ex
2
×
×
3
et 2 156
2
×
2
×
pgcd(4116;2156)
2
×
2
et ppcm(4116;2156)
2
×
×
3
×
2
×
×
3
a 3
×
×
24 diviseurs
et 2 156
2
×
2
×
11 a 3
×
×
18 diviseurs.
Ex
A
×
×
×
×
×
×
3
×
×
×
B
×
2
×
2
×
2
×
×
2
×
2
×
×
C
×
×
×
2
×
D
2
×
×
3
×
×
2
×
×
3
×
×
Ex
On a, 111111
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
Ex
A se termine par 2 zérosB se termine par 24 zérosC se termine par 224 zéros Ex
Anne P
ARADAS
A
RROYO
Laurent L
EMAIRE
2.
Équations, inéquation
Ex
x
x
x
x
x
x
Ex
x
x
x
x
x
x
x
x
Ex
b
1
b
2
h
A donc
b
1
×
donc
b
1
p
2(L
) donc 240
- soit
Pythagore 6
2
c^2
2
c
2
donc
c
2
48 donc
c
p
x
la longueur. 15
x
x
- donc
x
x
longueur de la petite diagonale. Aire du losange
x
x
Aire du nouveau losange
x
x
Équation :
x
x
x
x
D’où
x
Ex
x
l’âge du
fi
ls , le père a 4
x
. Dans 20 ans, le
fi
ls aura
x
20 et le père 4
x
Équation 4
x
x
- soit
x
x
l’âge de Joe. Bob a 2
x
. Il y a 10 ans, Joe avait
x
10 et Bob 2
x
Équation 2
x
x
- soit
x
x
l’âge du
fi
ls (actuel), le père a
x
- Dans
14 ans, le
fi
ls aura
x
14 et et père
x
Équation
x
x
- soit
x
Ex
A
x
2
x
A
x
x
x
ou
x
Ex
E
x
(^2)
x
E
x
x
x
ou
x
Ex
On pose
x
la hauteur cherchée en cm.
On a un triangle rectangle donc (par Pytha- gore) :
x
(^2)
2
x
2
soit
x
(^2)
x
x
(^2)
donc 200
x
donc
x
45,5 cm.
Ex
Le lièvre, allant 5 fois plus vite que la tortue, a parcouru 25 km tandis qu’elle en parcourait 5.
Soit
x
la distance cherchée en km.
x
est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont
un côté de l’angle droit est 5 et l’autre 25
x
donc
x
2
x
2
D’où 50
x
252, soit 2
x
donc
x
Ex
Appelons
x
la longueur, en mètres, de l’arrière
d’un chariot (partie qui dépasse d’un chariotrangé dans un autre) et
y
celle de l’avant (par-
tie encastrée dans le chariot précédent).
On a : 10
x
y
2,9 et 20
x
y
Donc : 10
x
2 soit
x
0,2 et
y
La longueur d’un chariot est
x
y
, soit 1,1 m.
Ex
Série 1 :
pas de solution
x
3 ou
x
x
p
2 ou
x
p
x
Série 2 :
x
4 ou
x
x
6 ou
x
x
5 ou
x
Ex
x
|
|
|
|^
|^
|^
|
|
|
|
|
|
O
I
O
1
x
|
|
|^
|^
|^
|
|
|
|
|
|
O
I
O
1
Segment ]AB[ où A a pour abscisse
et B a
pour abscisse 3.
|
|
|
|^
|^
|^
|
|
|
|
|
|
O
I
O
1
Anne P
ARADAS
A RROYO
Laurent L
EMAIRE
Ex
Si
x
est le nombre de chaise à 35
alors :
x
x
soit
x
et 35
x
x
soit 80
x
Conclusion
x
vaut 76, 77, 78 ou 79.
2.
Géométrie
Ex
AH
6,4 cm et
A
(ABC)
30, 72 cm
2
CK
A
(ABC)
7, 68 cm et BK
5,76 cm.
Ex
On a BC
2
AB
2
AC
2
donc d’après la réci-
proque du théorème de Pythagore, ABC estrectangle en A.
A
(ABC)
11, 76 cm
2
On sait que si R est le rayon du cercle cir-conscrit à un triangle dont les côtés ont pourlongueurs
a
b
c
données en cm, l’aire de ce
triangle est égale à
abc
4R
a)
A
(ABC)
abc
4R
donc R
abc
A
(ABC)
3,5 cm
b)
Oui car le centre du cercle circonscrit d’untriangle rectangle est le milieu de l’hypo-ténuse.
Ex
Comme U appartient au cercle de diamètre[ST] alors le triangle STU est rectangle en U.
Dans le triangle STU rectangle en U, on a :sin
STU
SUST
37
donc
STU
Dans le cercle de diamètre [ST],
STU est
un angle inscrit et
SOU son angle au centre
associé donc
STU
SOU et on obtient
SOU
Ex
A
OA
p
p
2 et
A
π
p
Ex
L’aire d’un triangle ne change pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté op-posé. En déplaçant le sommet du grand carrésur sa diagonale, on obtient un triangle dontl’aire est la moitié de celle du petit carré.Soit
A
×
Ex
AD
sin(65°)
, AC
cos(15°)
BC
15tan(15°) et BD
15tan(25°).
Donc
p
AD
sin(60°)
, AC
cos(10°)
BC
10tan(10°) et BD
10tan(20°).
Donc
p
Ex
d
cm
d
50(cos(65°)
sin(65°))
66,44 cm.
Ex
On obtient
ϕ
Ex
On trace la
fi
gure symétrique pour avoir un
rectangle, aire du rectangle=
ab
Anne P
ARADAS
A
RROYO
Laurent L
EMAIRE
Diamètre du grand cercle
C
1
c
p
a
2
b
(^2)
(Pythagore).
Diamètre de
C
2
a
; diamètre de
C
3
c
Donc aire grisée=
π
a
(^2)
π
b
(^2)
π
c
(^2)
ab
ab
Ex
Si R est le rayon du grand cercle et
r
celui du
petit. D’après Pythagore, on a R
2
r
(^2)
2
Donc
A
π
cm
2
Ex
ACE est isocèle en C, CDB est isocèle en D et les deux triangles sont semblables.
Avec un peu de Pythagore et de trigonométrie on trouve ED
p
Ex
Supposons que le terrain oùse trouve le trésor soit repré-senté par le rectangle ABCD.Le trésor T est placé à un en-droit où (par exemple)
A
C B
D
�
T
F
G E
H
TA
1260, TC
320 et TB
Il faut calculer la dernière distance TD.On trace la parallèle à (AB) passant par T etla parallèle à (AD) passant par T. On construitainsi les points E,F,G et H sur les quatre côtésdu rectangle ABCD.On note
x
TF,
y
TH,
z
TG et
t
TE.
Par Pythagore :
2
TB
2
x
(^2)
t
(^2)
2
TA
2
y
2
t
(^2)
2
TC
2
x
2
z
(^2)
donc
TD
2
y
(^2)
z
(^2)
2
2
2
2
Ex
x
x
(Thalès) d’où l’ombre
x
5 m.
Ex
Par Thalès CH
40 donc FH
AH
30 (Pythagore) et DF
18 (Thalès).
CB
(Thalès) et HB
(Pythagore).
CF
8(Pythagore) , CH
12 (Thalès)
donc FH
HB
5 (Pythagore) , FE
et CE
(Thalès).
CA
5 (Pythagore) , DF
et CF
(Tha-
lès) donc FH
Ex
Par Thalès DE
9 et BF
Par Thalès
FEFB
DEBC
ADAB
x x
donc 3(
x
x
soit
x
AD
Par Thalès
DEBC
AEAC
x x
donc 4(
x
x
soit
x
AE
Ex
(AJ) et (VI) ne sont pas parallèles.
(LK) et (ZH) ne sont pas parallèles.
(OX) et (VS) sont parallèles.
(AK) et (BG) sont parallèles.
Ex
L’aire est multipliée par 16.
2.
Fonctions
Ex
On obtient successivement : 4
2
2
On note
x
le nombre choisi. On obtient suc-
cessivement : x
x
x
2
x
2
x
(^2)
Et (
x
2
x
2
x
(^2)
x
x
(^2)
x
Soit
f
la fonction dé
fi
nie par
f
x
x
a)
L’image de 0 par
f
est
f
×
b)
On a
f
x
x
5 ou 2
x
4 ou
x
L’antécédent de 5 par
f
est 2.
Ex
Anne P
ARADAS
A RROYO
Laurent L
EMAIRE
T est un point du cercle de diamètre [RM]donc RMT est un triangle rectangle.
(Pythagore) TM
2
RM
2
RT
2
Donc TM
(Thalès) RH
x
et SH
x
Le périmètre du triangle RSH est 4
x
Le périmètre du trapèze STMH est 24
x
6)a)
f
f
g
24 et
g
b)
f
x
g
x
x
x
x
x
x
x
×
x
Ex
Partie A :
On pose AM
x
1)a)
x
peut varier entre 0 et AC
CM
x
b)
(Thalès)
CMCA
MNAB
donc MN
CMCA
×
AB
x 5
×
x
A
x
AM
×
MN
AB
x
×
x
x
x
) du trapèze ABNM.
Partie B :
1)
Le volume de la citerne est 100 m
3
V
x
BE
×
A
x
x
x
Si
x
2,5 alors
V
75 m
3
4)a)
Tableau de valeurs : x
1
1,
1,
1,
2
V
(
x
)
35
48,
51
53,
64
b)
La citerne est remplie à la moitié de sa ca-pacité lorsque 1,
x
Ex
On lit B(
La courbe C
3
coupe l’axe des abscisses aux
points d’abscisse 2 et 4.
C
1
est la représentation d’une fonction li-
néaire : c’est une droite contenant l’origine.
La fonction
f
est une fonction af
fi
ne : sa re-
présentation est une droite passant par lepoint de coordonnées (0 ; 3).
Il faut trouver
x
tel que :
x
1 d’où 3
x
, puis 2
x
et
x
Le seul antécédent de 1 par
f
est 5.
A(4,6 ; 1, 2) appartient-il à C
2
×
or 1, 2
1,16 donc A n’appartient pas à C
2
Ex
f
est du type
f
x
mx
p
donc
f
m
p
4 et
f
m
p
on en déduit que
m
5 puis que
p
f
×
f
est linéaire et
f
4 donc
f
x
x
En particulier
f
- Alors :
g
On peut ainsi trouver que
g
x
x
donc
g
Ex
Comme (
h
17
h
(^17)
on a
f
h
f
h
donc
f
h
f
h
Ex
f
f
f
f
f
f
f
f
(0) donc
f
f
f
f
f
Anne P
ARADAS
A
RROYO
Laurent L
EMAIRE
