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LIMITES ET CONTINUITÉ
I) Limites
1) Quelques limites usuelles
_n N , = + n N , =_**
_n N * , = n N, =_*
, a IR = - , a IR
Remarque
x <=> x et x. x <=> x et x.
2) Quelques théorèmes sur les limites
a) Théorème de majoration
Soient f et g deux fonctions définies au voisinage I de.
Si x I , g(x) et = 0 alors = l.
Remarque
Le théorème de majoration reste valable lorsque = + ou , a IR.
Exercice d’application
Calculer
Solution
x IR , et .On a , = donc
D’après le théorème de majoration = 0
b) Théorème d’encadrement ou théorème des gendarmes
Soient f, g et h trois fonctions définies au voisianage I de
Si x I g(x) et = = l , l IR alors
= l
Remarque
Le théorème d’encadrement reste valable lorsque = + ou = - ou , a IR.
Exercice d’application
Calculer
Solution
x IR, -1 - 1
2 = = .Donc d’après
Le théorème d’encadrement
c) Théorème de l’unicité de la limite
Si = l alors l est unique.
Propriété
Si f est définie en alors
= f( ) si et seulement si.
Si f n’est pas définie en alors
= l si et seulement si.
Exercice d’application
Calculer les limites suivantes.
e) Limite et composition de fonctions
Si f est définie au voisinage de avec = l et g est définie au voisinage de l alors
Démonstration
Posons t = f(x). gof(x) =g(f(x)) = g(t). (1)
Si x donc t = l .(2) D’après (1) et (2) , =.
Exercice d’application
Calculer.
Solution
= et = 1 donc = 1.
Cas particuliers
IR IR , +
Remarque
La limite en l’infini d’un polynôme est égale à la limite en l’infini de son monôme le plus haut
degré.
La limite en l’infini d’une fraction rationnelle est égale à la limite en l’infini du quotient des
monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
Exercice d’application Calculer les limites suivantes :
2 3
lim 3 x x
; lim 5 3 2 6
3
x x
11
402
lim
(^) x
x
x
lim (^3) x
x
x
x
x
x
lim ; lim ( 2 )
2 x x x
2 2
lim
x
x
x
lim 2
2
(^1) x x
x x
x
(^) x
x x
3
lim ;
lim
4
x
x x
x
lim 6
2 5
x
x x
x
lim 2
2
(^) x x
x x
x
Exercice d’applicaion Calculer les limites suivantes :
(a) lim x
x
x
0
(b) lim 4
x
x
x
(c) lim ² 4
x
x
x
(d) lim 2
x
x
x
(e) lim x
x
x
0
(f) limx 2 x²x 3
4) Interprétations gémétriques des limites
a) Asymptote horizontale (AH) ou asymptote parllèle à (ox)
Si = a , IR alors y = a est une AH à ( en +.
Si = a , IR alors y = a est une AH à ( en -.
b) Asymptote verticale (AV) ou asymptote parllèle à (oy)
Si = IR alors x = a est une AV à (.
c) Asymptote oblique (AO)
Si alors y = ax + b est une AO à ( en +.
Si alors y = ax + b est une AO à ( en -.
Cette méthode est utilisée pour montrer que y = ax + b est est une AO à (.
Propriété
Soit f une fonction et ( sa courbe représentative.
Si = et = a , IR et = b , b IR
alors y = ax + b est une AO à ( en +.
Cette méthode est utilisée pour déterminer l’ asymptote oblique à (.
Remarque
Cette propriété reste valable lorsque x.
On aura y = ax + b est une AO à ( en -.
Propriété
Si f(x) = ax + b + g(x) et = 0 alors y = ax + b est une AO à ( en +.
Si f(x) = ax + b + g(x) et = c alors y = ax + b + c est une AO à ( en +.
Cette propriété reste valable lorsque x. On aura respectivement y = ax + b est une AO à ( en
et y = ax + b + c est une AO à ( en -.
Exercice d’application
- Soit f(x) =.
Déterminer et montrer que x = - 1 est une AV à.
- Soit g(x) =.
a) Montrer que y = 0 est une AH à ( en -.
b) Montrer que y = 4x est une AO à ( en +.
Solution
- f(x) existe ssi x + 1. x + 1 => x d’où = ]- 1 ; +.
= = - donc x = -1 est une AV à.
- g(x) existe ssi 4. Or x IR 4 donc = IR.
D’où = 0.
Par conséquent y = 0 est une AH à ( en -.
= = = donc
Par conséquent y = 4x est une AO à ( en +.
Exercice d’application
Soit f(x) =.
Etudier la continuité de f en 5 et en.
Solution
f(x) existe ssi 1. Donc = ]- ].
- = = f(5) Donc f est continue en 5.
.Donc f est discontinue en
2) Continuité à gauche et continuité à droite
f est continue à gauche en si et seulement si.
f est continue à droite en si et seulement si.
f est continue en si et seulement
si à à.
Exercice d’application
Soit g(x) =
Déterminer.
Etudier la continuité de f en 0 , en – 1 , en – 2 et en 1.
Solution
Si alors g(x) existe ssi x + 1 # 0. Donc = ]-.
alors g(x) existe ssi. Or x IR. Donc
= = ] -.
- g(0) =. = ( = 1.
= = 1 .Donc g est continue en 0
- 1 n’appartient pas donc g est discontinue en – 1.
- = = - 5 = g(- 2) .Donc g est continue en – 2.
- = ( = 1 + = g(1). Donc g est continue en.
3) Prolongement par continuité
Soit f une fonction définie sur un voisinage I de .f admet un prolongement par continuité en
si et seulement si , l IR.
Si f admet un prolongement par continuité en alors son prolongement par continuité en
est la fonction g définie par :
Exercice d’application
Etudier le prolongement par continuité de f en.
f(x) =
f(x) =
f(x) =
f(x) =
f(x) =
Solution
- f(x) existe ssi x + 2. x + 2 => x .Donc = ] -.
Donc f admet un prolongement par continuité en -2. Le prolongement par continuité de f en -2 est
la fonction g définie par :
- f(x) existe ssi. => x.
.Donc = ] -.
n’appartient pas IR donc f n’ admet pas de prolongement par continuité en – 1.
4) Continuité sur un intervalle
Soit f une fonction et I un intervalle donné. f est continue sur I si et seulement si f est continue
en tout point de I. C'est-à-dire pour tout I, on a.
f est continue sur ]a ; b[si et seulement si f est continue en tout point de ]a ; b[.
f est continue sur [a ; b ]si et seulement si
à
5) Continuité de fonctions usuelles
x sin x est continue sur IR x cos x est continue sur IR
x est continue sur IR x est continue sur [0 ; +
x est continue sur IR
x est continue sur IR
9) Image d’unintervalle par une fonction continue et stritement monotone
Lorsqu’une fonction f est continue et strictement monotone sur K, f(K) est un intervalle de même
nature
que K et ses bornes sont les limites de f aux bornes de K.
Le tableau ci-dessous précise f(K) suivant la nature de K et le sens de variation de f.
K f(K) f(K)
f stictement croissante f strictement décroissante
[a ; b] [f(a) ; f(b)] [f(b) ; f(a)]
[a ;b[ [f(a) ; ] ]
]a ; b[
]
]
[a ; [f(a) ; ]
IR ] ]
Exercice d’application
Soit f(x) =
Déterminer l ’image par f des intervalles [ - 2 ; 0] et ]1 ; +.
Solution
f(x) existe ssi x – 1. = IR\
f est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son doomaine de définition IR .
= IR . Donc f est strictement décroissante sur IR .
alors f([- 2 ; 0]) = [f(0) ;f(-2)] = [- 1 ; 1]
alors
f(]1 ; + )=] ; = ]2 ; +.
10)Théorème des valeurs intermediaries
Si f est continue sur [a ; b] et compris entre f(a) et f(b) alors il existe au moins [a ; b]
tel que f(.
Si f est continue sur ]a ; b[ et compris entre et alors il existe
au moins ]a ; b[ tel que f(.
Exercice d’application
Soit f(x) = 2
Montrer que l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans [1 ; 2].
Solution
f est une fonction polynôme donc elle est continue sur IR en particulier sur [1 ; 2].
f(1) = -4 , f(2) = 62 et -4 donc f(x) = 0 admet au moins une solution dans [1 ; 2].
11) Théorème d’existence d’une bijection
Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I alors f est une bijection de I vers J = f(I).
Exercice d’application
Soit f(x) =
Montrer que f est une bijection de IR vers un intervalle J à préciser.
Solution
f est une fonction polynôme donc elle est continue et dérivable sur IR. (1)
. = - 8 donc IR.
D’où f est strictement croissante sur IR. (2).
D’après (1) et (2), f est une bijection de IR vers f(IR) = IR.
12) Théorème d’existence et d’unicité d’une solution
Si f est continue et strictement monotone sur [a ; b] et compris entre f(a) et f(b) alors il existe
un unique [a ; b] tel que f(.
Si f est continue et strictement monotone sur ]a ; b[ et compris entre et
alors il existe un unique ]a ; b[ tel que f(.
Exercice d’application
Soit f(x) =
Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution sur IR.
Solution
f est une fonction polynôme donc elle est continue et dérivable sur IR. (1)
IR donc f est strictement croissante sur IR (2).
- Cet encadrement est un encadrement de d’amplitude 0,.
Exercice d’application
Soit f la fonction définie par f(x) =.
Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations
Démontrer que f(x) = 0 admet 3 solutions.
3) Donner un encadrement d’amplitude de chacune de ces solutions.
14) Calcul de
Soient f une bijection d’un intervalle I vers un intervalle J et sa bijection réciproque de J vers I.
Pour calculer I.
Exercice d’application
Soit f(x) = .On admet que f est une bijection de [0 ; +.
Calculer.
Solution
Résolvons l’équation f(x) = 2 avec x.
f(x) = 2 <=> <=> <=>
<=>x = 1 et 3 – 1 =2 .Or 1 donc 1 est la solution de
l’équation f(x) = 2. Donc
14) Expression de
Soient f une bijection d’un intervalle I vers un intervalle J et sa bijection réciproque de J vers I.
Pour déterminer l’expression de I et y J.
Exercice d’application
Soit f(x) =. On suppose que f est une bijection de ]1 ;.
Déterminer.
Solution
Résolvons l’équation f(x) = y avec x.
f(x) = y <=> <=> - y = 0 , = 4(- 4 + y).
n’appartient pas à ]1 ; +.
appartient pas à ]1 ; +.
Donc x =. D’où =.
15) Bijection réciproque d’une fonction continue et steictement monotone
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle K. On a :
f réalise une bijection de K vers f(K)
est continue sur f(K)
est strictement monotone et a le même sens de variation de f
3
1
lim x ² 1
x
x
2
1
lim x ² 2
x x
x x
lim x 2 3
x
x
sin lim x 2 1
x x
x
0
lim ² sin x
x x
- lim 1 1 x
x x
- lim ² x
x x x
cos lim x ²
x
(^) x x
0
sin 2 lim x 3
x
x
0
sin 7 lim x tan 5
x
x
Exercice
Déterminer, quand x tend vers x 0 , la limite de la fonction f dans les cas suivants :
1) f : x ↦
x + 2 + 4x + 1 ─ 5
x + x + 2 ─ 4
, x 0 = 2.
2) f : x ↦
x² ─ 3x ─ x
x² + 2x + 4
, x 0 = 0.
3) f : x ↦
sin x ( 1 ─ sin x )
cos x
, x 0 =
π
2
4) f : x ↦
2 cos
3 x + 3 cos x ─ 5
sin²x
, x 0 = 0
Indication : Poser u = cos x
Exercice
- Etudier les branches infinies des courbes représentatives des fonctions suivantes.
f(x) =
g(x) =
h(x) = x -
r(x) =
- Calculer les limites aux bornes du domaine de définition de la fonction f dans les cas suivants.
f(x) =
f(x) =
f(x) = a (2 – a). On discutera suivant les valeurs du nombre réel a.
Exercice
Dans chacun des cas suivants, déterminer les branches infinies de la courbe( C).
1)( C) : y = 1 ― 2x ― x
3
- (C) : y =
2x
2
x
2 + x ― 3
3)( C ) : y =
x
2 ― | x ― 1 |
x + 3
4)( C ) : y = x
2 ― 3x
5)( C ) : y =
x
2
1 ― 2x
6)( C ) : y =
x
sin x
- (C ) : y = 2 x ― x + 1 8)( C ) : y =
2x
3 ― 3x
2 ― 4x
2x
2 + 3x ― 2
9)( C) : y =
x
3 ― x
2
2x
2 + 3x ― | x
3 ― 1 |
- (C ) : y = x
2 ― 1 ― x
2 + x ― 7
- (C ) : y = x
2 ― 1 + x
2 + x ― 7 12)( C ) : y = 4x
2 ― 3x + 1 + 2x +
- (C ) : y = x ― 3 tan x 14)( C) : y =
2x
2 ― 5x ― 3
3x
2 ― 10x + 3
- (C ) : y =
x
2 + x ― 7 ― x
2 ― 1
2x + 1
16)( C ) : y =
x
4 ― 3x
2
2
x ― 2
Exercice
Dans chacun des cas suivants, vérifier que les droites fixées sont asymptotes à la courbe ( C).
1)( C ) : y =
x + 2
2x ― 3
(D 1 ): x =
( D 2 ): y = 2
2)( C ) : y =
2x ― 3
3x ― | x + 1 |
(D 1 ): x =
( D 2 ): y =
( D 3 ): y =
- (C ) : y =
x
2
x ― 3
( D 1 ): x = 3 ( D 2 ): y =
(D 3 ): y = x + 3
- ( C ) : y =
x
3
2
x
2 + 2x ― 1
(D 1 ) : x = ― 1 ― 2 ( D 2 ) : x = ― 1 + 2 ( D 3 ): y = x + 2
5)( C) : y = 4x
2 ― 3x + 1 + x +
( D 1 ) : y = ― x + 1 ( D 2 ) :y = 3x ―
Exercice
Déterminer la limite de f en.
f(x) = 2) f(x) = 3) f(x) =
f(x) = 5) f(x) = 6) f(x) =
Exercice
Déterminer la limite de f en.
- f(x) = 2) f(x) =
3)f(x) = 4) f(x) =
- f(x) = 6) f(x) =
Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité en?
a) f(x) = b) f(x) = c) f(x) =
Démontrer que l’équation admet une unique solution.
Donner un encadrement de d’amplitude 0, 01.
Déterminer les réels A et B pour que la fonction f soit continue en.
f(x) =
Exercice
Etudier les limites suivantes en :
f(x) = 2) f(x) = x sin
f(x) = 4) f(x) =
Soit h(x) =.
Déterminer et calculer les limites aux bornes de.
Démontrer que la courbe de h admet une asymptote oblique et une asymptote
horizontale dont on précisera les équations
Exercice
Etudier la limite de la fonction f aux points x 0 indiqués dans les cas suivants.
a)
2
2 0
x x f x en x x x
b)
2 f ( )x 2 x x 1 en x 0
c)
2
2 0
x x x f x en x x x x
d) 0
cos ( ) 2
2
x f x en x
x
e) 0
sin ( ) 0 1 cos
x x f x en x x
f) 0 2
1 cos 2 ( ) 0 sin 2
x f x en x x
Exercice
- Démontrer que pour tout x 1; :
x
x
- En déduire : lim x 1
x x
(^) x
et
lim x 1
x
(^) x x
Exercice
Soit f la fonction sur R définie par :
2
2sin 1 1;
x si x
f x x si x
x si x
Etudier la continuité de f en -1 et en 1.
Soit la fonction g définie par g(x) =
Déterminer.
Etudier la continuité de g en 0, - 1 et – 2.
Soit la fonction g définie par g(x) =.
Etudier les branches infinies de la courbe représentative de g.
Soit la fonction définie par :
Etudier la continue de en
Soit la fonction définie par :
1)Déterminer
2)Etudier la continuité de en et en
Etudier la continuité de f définie sur [0 ; , par f(x) =.
Etudier la continuité de f au point -1 définie par f(x) =
