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ath
´ematiques sp
´eciales
(^) MP
emaine n
˚
7 (^) d ´ecembre
(^2017)
TD
(^) n ˚ 10:
(^) Dipôles électrostatique et magnétostatique
TD
n
˚ 10: E
lectromagn
´etisme
Dipôles électrostatique et magnétostatique
D
ip
ˆoles
´electrostatiques
E
xercice n
Equivalence d’un système de deux sphères
On considère la superposition de deux sphères
S
1^
et
S
2^
de même rayon
R
, de
centre
O
1 (^) et
O
2 , chargées uniformément en volume avec les densités volumiques
respectives
ρ 1
=
− ρ
et
ρ 2
= +
ρ
. On pose
O
1 O
2
=
a
et
ρ
× (^) a
σ
0
. On supposera
a
<<
R
.
Ê
Préciser sa direction, son sens et son intensité en fonction deMontrer que le champ est uniforme en tout point intérieur aux deux sphères.
σ 0 .
Ë
alent pour la région extérieure à ces sphères?A quel système électrostatique l’ensemble des deux sphères est-il équiv-
Calculer le potentiel et le
champ électrique en tout point extérieur aux deux sphères.
Ì
crée, à une sphère conductrice de rayonMontrer que le système des deux sphères est équivalent, pour le champ
R
, de centre le milieu
O
de
[
O
1 O
2 ] ,
en équilibre et portant en chaque point
P
une charge surfacique:
σ
=
σ 0 cos
(^) θ
avec
θ
=
( − − − −→
O
1 O
2 , −− →
OP
E
xercice n
Modélisation de la molécule de dioxyde de carbone
CO
2
Soit un repère - Quadrupôle
O
(^) e −→ x , e −→ y ) .
ment polarisée, modélisée par un ensemble de 3 charges:On considère une molécule de dioxyde de carbone, de géométrie linéaire, forte-
Une charge
q
représentant l’atome de carbone situé au centre du repère.
Deux charges
q
représentant chacune un atome d’oxygène, et situées
l’une en
a , (^0) , et l’autre en
a , (^) 0)
.
Ê
des équipotentielles. Ces dernières peuvent-elles se couper?Donner sans aucun calcul l’allure probable des lignes de champ, ainsi que
Ë
du potentiel en un pointParmi les propositions suivantes, lesquelles pourraient représenter la forme
M
r , θ
) (coordonnées polaires) à grande distance
r
a sans aucun calcul. de l’origine du repère. On justifiera la réponse qui sera donnée en revanche ·
A
(^) cos
2 θ
r 3
b ·
A
3 cos
2 θ )
r 3
c ·
A
cos
2 θ^ )
r 3
d ·
A
(^) cos
(^) θ
r 3
e ·
B
(^) cos
2 θ^
r 2
f ·
B
3 cos
2 θ^ )
r 2
g ·
B
cos
2 θ )
r 2
h ·
B
(^) cos
(^) θ
r 2
Ì
Déterminer l’expression de
A
ou
B
suivant la proposition à retenir en calcu-
lant cette fois explicitement le potentiel scalaire dit "quadrupôlaire"
V
M
, θ
)
engendré par cette disposition de charges.
Í
En déduire l’expression du champ
E −→
au point
M
Î
Montrer que ce champ "vérifie" le théorème de Gauss.
On donne le développement limité suivant :
x ) 1 / 2
≃
1 (^) −
(^2) x
(^) x 2
(^) o ( x 3 )
yc
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ichel
(^) MONTAIGNE
ean
-L
aurent
Année 2017-
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(^) Dipôles électrostatique et magnétostatique
D
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ˆoles magn
´etostatiques
E
xercice n
Dipôle magnétique glissant
On considère un dipôle magnétique de moment
M −→
M
e −→ z
(constant) mobile
le long de l’axe
[
Oz
d’une spire de rayon
R
parcourue par le courant
I
constant
On donne le champ magnétique engendré par une spire de courantdélivré par un générateur de courant parfait.
I
centrée en
O
origine, et de rayon
R
en un point
M
z ) appartenant à son axe
[
Oz
de cote
z :
B^ −→
μ 0 I
R
R
R
2
(^) z 2 ) 3 · e −→ z
Ê
Etudier les actions mécaniques subies par le dipôle,
puis discuter de
par exemple.tracer l’allure de la courbe donnant la composante de force sur l’axe [Oz)l’existence et de la stabilité des éventuelles positions d’équilibre. On pourra
Ë
ode des petites oscillations autour de O s’écrit:En supposant que le dipôle reste proche de l’origine O, montrer que la péri-
T
π
√
mR
3
μ 0 I M
E
xercice n
Superposition d’un champ uniforme et de celui d’un
On considère la superposition d’un champ uniforme dipôle
B −→
a
B
a e −→ z , et du champ
B −→
M^
créé par un dipôle magnétique de moment
M −→
placé à l’origine des coordonnées
qui s’écrit, au point
P
repéré par ses coordonnées sphériques
r , θ , ϕ .
B^ −→
M^
( P ) =
B −→
M^ ( r , θ, ϕ
μ 0
π
(
M −→
r −→ ) −→ r
r 5
r M −→ 3
avec
r
=
−− →
OP
M^ −→
et
B −→
a sont reliés par
M −→
2 π R 3
μ 0
) B a e −→ z où
R
est une longueur donnée.
Ê
Expliciter, pour cette valeur de
M −→
, le champ
B −→
R
=
B −→
a
−− →
B
M , en fonction de
B
a , e −→ z ,
r −→ (^) , et
R
.
Ë
Calculer le produit scalaire
B −→
R
· (^) ( r · e −→ r (^) ) en un point quelconque.
Ì
En déduire que
B −→
R
est tangent à la sphère de rayon
R
et de centre
O
en
est-elle maximale ?chacun de ses points. Où l’intensité du champ au voisinage de la sphère
Í
Donner un tracé approximatif des lignes de champ de
B −→
R
à l’extérieur de
cette sphère.
E
xercice n
Dipôle cylindrique
un courant On considère un circuit parcouru par
I
. On s’intéresse ici à une
supposés infinis et distants deet de retour du courant sont parallèles,portion du circuit telle que les fils d’aller
a .
Ê
Déterminer le champ magnétique résultant en tout point
M
.
Ë
Que devient ce champ si l’on suppose
a
<<
r ? Commenter ce résultat.
E
xercice n
Précession de spin dans un champ magnétique
cinétique propre Nous avons dégagé en cours le lien de proportionnalité existant entre le moment
L →
0 d’une particule et son moment magnétique propre
m −→
:
m^ −→
γ
· L −→ 0
yc
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TD
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(^) Dipôles électrostatique et magnétostatique
x
y
d
O
O 1
O 3
O 2
P
artie exercice guid
´e :
Ê
On s’intéresse au champ total
B
engendré en
O
par les trois bobines, celles-
ci étant parcourues par les courants
I
1 ,
I 2 , et
I
3
respectivement.
On ex-
primera ce champ à l’aide de l’amplitude
B
0 précédente.
a ·
Que vaut
B
en
O
(^) si
I
1
I 2
=
I 3
=
I ?
b ·
Que vaut
B
si les trois courants correspondent à une alimentation
triphasée de pulsation
ω
, c’est à dire si:
I
n
I · (^) cos
ω t − (^) ( n
− (^) 1)
π
Ë
un circuit de moment dipolaire de momentL’alimentation triphasée est conservée, et le rotor du moteur, représenté par
M→
, tournant à la pulsation
(^) dans
le plan
xOy
, est placé en
O
. Initialement (t=0), l’angle faisant passer de la
direction de
M−→
à celle du champ engendré par les bobines vaut
ϕ 0 .
a ·
Calculer le couple moyen subi par le dipôle.
A quelle condition est-il
non nul?
b ·
Dans ce cas, étudier le couple en fonction de l’angle initial
ϕ 0
entre
M −→
et
B −→
, et indiquer la zone où le système fonctionne en moteur ainsi que
sa limite d’utilisation, c’est à dire le couple maximal qu’il peut fournir.
c ·
Un tel moteur peut-il démarrer seul, éventuellement à vide?
Justifier
clairement.
P
artie probl
`eme
«secs») interviennent dans la rotation de l’ensemble de transmission.et que le moteur fait tourner; en outre des frottements solides (frottements ditscorrespond à l’inertie de l’ensemble de transmission en contact avec les rails Lorsqu’il fait avancer le train, le moteur du TGV est dit «en charge»; cette charge
sède deux zones de fonctionnement dontfonctionnement, c’est à dire lorsqu’il fait avancer le train , le moteur du TGV pos-modélisation simple du système moteur complet (schéma requis) que lors de son A partir des résultats de la partie «exercice guidé» ci-dessus, montrer par une
(^) une seule est stable
, l’autre conduisant à
moteur.l’arrêt du moteur synchrone, et donc du train. Commenter les limites du système
yc
´ee (^) M
ichel
(^) MONTAIGNE
ean
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Année 2017-
