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Fiche d’exercices n° 2 FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES
1. Réduire en une seule exponentielle de base entière la plus petite possible.
a) 3. 3
!
!"#
b) 64. 2
!
$
!
$"!
c) 6. 36
%!
&
%!
%&!
#%&!
d)
(((
(,(#
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#(
"
( #(
#$
)
!
#(
"
#(
#$!
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e)
(-
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)
$
√-
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%
$
&!%
%
$
ou 5
/!%#
&
f) /
,
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%
$
%!
&
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&
ou 3
#$! ' %
$
g)
√#$
"
&
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(
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"
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&
(
"
&
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(
"
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ou 2
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h) √
"
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"
,
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$
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$
ou 2
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&
i)
$
!
&
$!
. 1
!
$
!
&
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. (,
$
)
!
$
!
&
$!
. ,
$!
$
!
(& .,)
$!
$
!
$
$!
%!
2. Résoudre les équations exponentielles.
a) 3
!
!
!
S = {5}
b) 4
!
&!
,
,
&
S = {
,
&
c) 2
,!%&
!%#
,!%&
!%#
&
S = {
&
d) 3
#%&!
,
!
$
#%&!
%#
!
&
#%&!
%
!
&
%!
&
&
,
S = {
&
,
e) /
/
!
$
%,!
/
&!%&
/
!
$
%,!
/
%#
&!%&
/
!
$
%,!
/
%&!"&
&
&
#%√ 1
&
&
#" √
1
&
S = {− 1 ; 2 }
f) 3
!
!"#
!
!
!
!
!
(
S = { 0 }
g) 2
&!
!
On pose : 𝑦 = 2
!
L’équation devient :
&
#% √
1
&
&
#"√ 1
&
donc 2
!
%
= − 1 impossible
!
$
&
S = { 1 }
h) 3. 9
!
!
&!
!
On pose : 𝑦 = 3
!
L’équation devient :
&
&2% √
$3$
$
,
&
&2"√$3$
$
donc 3
!
%
=
,
%#
et 3
!
$
= 9 = 3
&
&
S = {− 1 ; 2 }
i) 4
!
%!
!
!
Mise au même dénominateur :
&!
!
!
!
!
Suppression du dénominateur :
&!
!
&!
!
On pose : 𝑦 = 4
!
L’équation devient :
&
$%&
&
&
$"&
&
donc 4
!
%
= 2
&!
%
&
et 4
! $
&
S = {
&
4. Voici ci-dessous le graphe de la fonction 𝑓
!
Tracer les graphes des fonctions 𝑔(𝑥) = 2
%!
!"#
!%#
et préciser les
différentes transformations géométriques effectuées à partir du graphe de 𝑓.
!
%!
par une symétrie orthogonale d’axe y
!
!"#
par une translation horizontale de 1 unité vers la gauche ou un étirement vertical
de rapport 2 car 2
!"#
!
!
!%#
par une translation horizontale de 1 unité vers la droite
!%#
par une symétrie orthogonale d’axe x
5. Calculer sans la calculatrice.
a) log
&
car 2
b) log
&
&
car 2
%
$
√
c) log%
$
car /
&
%&
%#
%&
&
d) log
&
/
car 2
%&
&
$
/
e) log
#&-
car 5
%,
"
#&-
f) log
&
,
car 27
%
"
= √ 27
"
g) log 0,001= − 3
car 10
%,
h) log
/
%$
car 4 = 2
&
et
&
%,
%$
i) log
1
/
car 9 = 3
&
et
&
%
(
= 3
%
$
= √ 3
j) log
√,
car √
%
$
et / 3
%
$ 0
/
&
k) log%
"
car
,
%#
et ( 3
%#
%/
/
l) log
/
,
Car √
$
%
= 2
&
et
&
"
= 2
6. Compléter les pointillés.
a. log
&
,
log
&
b. log
&
,
&
,
&
,
log
&
c. log
?
1
%#
%#
log
1
1
d. log
#((
%#
#((
log
#((
e. log
?
#&
&
? = i
#&
√#&
2 √&
√&
#$
log
√
$
%+
#&
f. log
?
/
(
log
√,
( 3 = 4
7. Calculer avec la calculatrice.
a) log
7 = 1 , 209 b) log
,
100 = 4 , 192 c) log%
(
d) log
&
8. Sachant que log 2 = 0,301 et log 3 = 0,477 calculer en utilisant les propriétés des logarithmes.
a) log 6 = log (2. 3)
= log 2 + log 3
b) log 4 = log 2
2
= 2 log 2
c) log 27 = log 3
3
= 3 log 3
d) log
&
,
= log 2 – log 3
e) log
&
= log 1 – log 2
f) log
1
= log 1 – log 9
= 0 – log 3
2
= 0 – 2 log 3
g) log
2
,
= log 8 – log 3
= log 2
3
= 3 log 2 – 0,
h) log 12 = log (4. 3)
= log 4 + log 3
i) log 36 = log 6
2
= 2 log 6
c) log
&
CE : −𝑥
&
%&% √
&(
%&
%&%& √
%&
&
%&"√&(
%&
%&"&√-
%&
Tableau de signe :
x
1 − √ 5 1 + √ 5
2
CE : 𝑥 ∈ ] 1 − √ 5 ; 1 + √ 5 [
log
&
2
2
x
2
(x – 1)
2
x = 1 S = { 1 }
d) log
/
𝑥 + log
/
CE : 𝑥 − 3 > 0 et 𝑥 > 0
𝑥 > 3 et 𝑥 > 0
log
/
k𝑥.
l = log
/
&
, % -
&
= − 1 à rejeter car CE
&
, " -
&
= 4 S = { 4 }
e) 3 log
&
𝑥 = − log
&
CE : x > 0
log
&
,
= log
&
%#
,
,
S = {
,
f) log (𝑥 + 2) + log (𝑥 − 2) = log (2𝑥 + 11)
CE : 𝑥 + 2 > 0 et 𝑥 − 2 > 0 et 2 𝑥 + 11 > 0
𝑥 > −2 et 𝑥 > 2 et 𝑥 >
%##
&
log ((𝑥 + 2) (𝑥 − 2)) = log (2𝑥 + 11)
&
&
& % 2
&
= − 3 à rejeter car CE
&
& " 2
&
= 5 S = { 5 }
g) log
,
𝑥 + log
,
&
− 1 ) = 2 log
,
CE : 𝑥
&
− 1 > 0 et 𝑥 > 0
Tableau de signe
𝑥 < - 1 ou 𝑥 > 1 et 𝑥 > 0
donc 𝑥 > 1
log
,
&
) = log
,
&
&
&
,
&
&
𝑥 = 0 à rejeter car CE
h) (log
&
&
&
CE : x > 0
On pose : 𝑦 = log
&
L’équation devient : 𝑦
&
%# % -
&
donc log
&
%,
&
%#" -
&
donc log
&
&
S = {
2
ou 𝑥
&
% √-
&
à rejeter car CE
&
" √-
&
S = {
" √-
&
i) 6 log%
$
&
− log%
$
,
6 log
&
&
− 3log
&
CE : x > 0
On pose : 𝑦 = log%
$
L’équation devient : 𝑦
&
, % #
&
donc log
%
$
&
&
, " #
&
donc log
%
$
&
&
/
S = {
/
&
j) log
!
4 = log
/
CE : x > 0 et x ≠ 1
Les logarithmes n’ont pas la même base.
On utilise la formule de changement de
base : log
7
89:
!
89:
7
log
!
log
/
log
/
log
/
L’équation devient :
89:
(
!
= log
/
1 = (log
/
&
log
/
𝑥 = 1 ou log
/
x = 4 ou x = 4
%#
/
S = {
/
k) log 1
= log
,
CE : 5 − 4 𝑥 > 0 et 𝑥 > 0
Les logarithmes n’ont pas la même
base. On utilise la formule de
changement de base : log
7
89:
!
89:
7
log
1
log
,
log
,
log
,
L’équation devient :
log
,
= log
,
log
,
( 5 − 4 𝑥) = 2 log
,
log
,
( 5 − 4 𝑥) = log
,
&
&
&
%/ %$
&
= − 5 à rejeter car CE
&
%/ " $
&
S = { 1 }
l) log
&
𝑥. log
/
CE : 𝑥 > 0
Les logarithmes n’ont pas la même base.
On utilise la formule de changement de
base : log
7
89:
!
89:
7
log
/
log
&
log
&
log
&
L’équation devient :
log
&
log
&
(log
&
&
log
&
𝑥 = 4 ou log
&
/
%/
#$
S = {
#$
c) En déduire les tracés des graphes de 𝑔 et ℎ.
13. Calculer les domaines de définition, la (ou les)racine(s) et les équations des asymptotes des
fonctions suivantes à justifier en termes de limite.
a. 𝑓(𝑥) = log
&
Domaine de définition
CE ∶ 1 − 𝑥 > 0 ⟺ −𝑥 > − 1 ⟺ 𝑥 < 1 donc dom𝑓 = ]−∞ ; 1 [
Racine
log
&
( 1 − 𝑥) = 0 ⟺ 1 − 𝑥 = 1 car 1 est la racine de la fonction logarithme en base 𝑎
⟺ 𝑥 = 0 ∈ dom𝑓
Asymptote
lim
! ⟶ #
log
&
( 1 − 𝑥) = log
&
%
) = log
&
"
= − ∞ donc AV ≡ 𝑥 = 1
lim
! ⟶ %<
log
&
( 1 − 𝑥) = log
&
= log
&
(+∞) = + ∞ donc pas d’AH
b. 𝑓
= log
&
&
Domaine de définition
CE ∶ 𝑥
&
> 0 ⟺ 𝑥 ≠ 0 donc dom𝑓 =
]
[
]
[
Racine
log
&
&
&
= 1 car 1 est la racine de la fonction logarithme en base 𝑎
⟺ 𝑥 = ± 1 ∈ dom𝑓
Asymptote
lim
! ⟶ %<
log
&
&
= log
&
&
= log
&
+∞ = + ∞ donc pas d’AH en − ∞
lim
! ⟶ (
log
&
&
= log
&
%
&
= log
&
"
= − ∞ donc AV ≡ 𝑥 = 0
lim
! ⟶ (
'
log
&
&
= log
&
"
&
= log
&
"
= − ∞ donc AV ≡ 𝑥 = 0
lim
! ⟶ "<
log
&
&
= log
&
&
= log
&
+∞ = + ∞ donc pas d’AH en + ∞
c. 𝑓
89: $
!
Domaine de définition
CE ∶ 𝑥 > 0 et log
&
𝑥 ≠ 0 ⟺ 𝑥 > 0 et 𝑥 ≠ 1 donc dom𝑓 =
]
[
]
[
Racine
89: $
!
= 0 ⟺ 1 = 0 impossible donc pas de racine.
Asymptote
lim
! ⟶ (
'
89:
$
!
89:
$
(
'
%<
= 0 donc pas d’AV mais un trou = point creux en ( 0 ; 0 )
lim
! ⟶ #
89: $
!
89: $
(
= −∞ donc AV ≡ 𝑥 = 1
lim
! ⟶ #
'
89: $
!
89: $
'
(
'
= +∞ donc AV ≡ 𝑥 = 1
lim
! ⟶ "<
89:
$
!
89:
$
("<)
"<
= 0 donc AH
"<
d. 𝑓
= log%
$
Domaine de définition
CE ∶ 𝑥 + 1 > 0 ⟺ 𝑥 > − 1 donc dom𝑓 = ]− 1 ; +∞[
Racine
log
&
(𝑥 + 1 ) = 0 ⟺ 𝑥 + 1 = 1 car 1 est la racine de la fonction logarithme en base 𝑎
⟺ 𝑥 = 0 ∈ dom𝑓
Asymptote
lim
! ⟶ %#
'
log%
$
(𝑥 + 1 ) = log%
$
"
$
"
= + ∞ donc AV ≡ 𝑥 = − 1
lim
! ⟶ "<
log%
$
(𝑥 + 1 ) = log%
$
(+∞ + 1 ) = log%
$
(+∞) = − ∞ donc pas d’AH en + ∞
d) 𝑒
&!
!
On pose : 𝑦 = 𝑒
!
L’équation devient :
&
%#% √
1
&
&
%#"√ 1
&
donc 𝑒
!
%
= − 2 impossible
!
$
= 1
&
S = { 0 }
e) 𝑒
!
%!
𝑆 = ← ; 0 [
f) 2 𝑒
&!
!
&!
!
On pose : 𝑦 = 𝑒
!
L’inéquation devient :
&
%#%√&-
/
,
&
&
%#" √
&-
/
%,
&
2 𝑦
!
%,
&
et 𝑦 ≥ 1
!
et 𝑒
!
Impossible et 𝑥 ≥ 0
S = [ 0 ; +∞[
15. Ecrire plus simplement.
a) ln 𝑒
&
= 2 lne = 2. 1 = 2 b) 𝑒
8> ,
c) ln
=
= ln 1 – lne = 0 – 1
d) ln √
𝑒 = ln 𝑒
%
$
&
ln 𝑒 =
&
&
e) ln(𝑒 √
𝑒) = ln 𝑒 + ln √
&
,
&
f) ln
√=
= ln 1 – ln √
&
&
16. Résoudre les équations et inéquation logarithmiques de base e suivantes.
a) ln( 5 𝑥) = 2
ln( 5 𝑥) = ln 𝑒
&
&
=
$
OK CE
=
$
b) ln
ln(𝑥 − 2 ) = ln 𝑒
%&
%&
%&
&
+ 2 OK CE
&
c) 2 ln
= ln
𝐶𝐸 ∶ 𝑥 + 2 > 0 et 5 𝑥 + 6 > 0
𝑥 > − 2 et 𝑥 >
%$
donc 𝑥 >
ln(𝑥 + 2 )
&
= ln( 5 𝑥 + 6 )
&
&
&
#% √
1
&
= − 1 OK CE
&
#"√ 1
&
= 2 OK CE
S = {- 1 ; 2}
d) ln(𝑥 − 2 ) − 2 ln 𝑥 = 0
𝐶𝐸 ∶ 𝑥 − 2 > 0 et 𝑥 > 0
𝑥 > 2 et 𝑥 > 0
donc 𝑥 > 2
ln
= 2 ln 𝑥
ln(𝑥 − 2 ) = ln 𝑥
&
&
&
Pas de solution
e) ln
&
𝑥 − 2 ln 𝑥 − 3 = 0
On pose : 𝑦 = ln 𝑥.
L’équation devient :
&
&%√#$
&
&
& "√#$
&
Donc ln 𝑥
ln 𝑥
= ln 𝑒
%#
%#
=
Et ln 𝑥
&
ln 𝑥
&
= ln 𝑒
,
&
,
S = {
=
,
f) ln(𝑥 + 1 ) ≤ 3
𝐶𝐸 ∶ 𝑥 + 1 > 0 donc 𝑥 > − 1
ln
≤ ln 𝑒
,
,
,
S = ]− 1 ; 𝑒
,
− 1 ]
17. Calcule les domaines de définition et les dérivées des fonctions 𝑓 suivantes.
a. 𝑓
&!
$
"#
Pas de CE donc dom 𝑓 = ℝ
k𝑎
?
( !
)
l
4
= ln 𝑎. 𝑎
?
( !
)
4
(𝑥) = ln 2. 2
&!
$
"#
&
4
4
= ln 2. 2
&!
$
"#
4
= 4 𝑥 ln 2. 2
&!
$
"#
b. 𝑓(𝑥) = 2
√
!
CE : 𝑥 ≥ 0 donc dom 𝑓 = [ 0 ; →
k𝑎
?(!)
l
4
= ln 𝑎. 𝑎
?(!)
4
= ln 2. 2
√
!
. k √
𝑥l
4
4
= ln 2. 2
√
!
4
ln 2. 2
√!
c. 𝑓(𝑥) =
!
!
CE : 𝑥 ≠ 0 donc
dom 𝑓 = ℝ{0}
!
4
= ln 𝑎. 𝑎
!
4
!
4
!
&
4
ln 5. 5
!
!
&
4
!
(! 8> - %#)
!
$
d. 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒
!
Pas de CE donc dom 𝑓 = ℝ
4
4
4
4
!
!
4
!
!
4
!
e. 𝑓
!
$
=
!
CE : 𝑒
!
≠ 0 toujours vrai donc
dom 𝑓 = ℝ
4
4
&
4
&
4
!
&
!
!
&
4
!
&
!
&!
4
!
&!
4
!
f. 𝑓(𝑥) =
=
!
" =
#!
&
Pas de CE donc dom 𝑓 = ℝ
4
4
4
!
4
%!
4
4
!
%!
4
!
%!
18. Calculer les équations des tangentes en a = 1 et a = −2 au graphe de la fonction 𝑓
%!
4
%#
%!
%!
%!
%!
%!
%#
%&
4
&
&
%&
&
&
%&
&
&
19. Calculer les limites suivantes.
a) lim
! → #
'
8>!
lim
! → #
'
8>!
ln 1
"
"
b) lim
! → %,
'
ln( 9 − 𝑥
&
lim
! → %,
'
ln
&
= ln( 9 −
"
&
= ln 0
"
c) lim
! → #
ln /
!
$
% &! " #
lim
! → #
ln /
!
$
% &! " #
= ln /
$
% &.# " #
= ln /
(
'
= ln
d) lim
!→"<
=
!
!
"<
"<
On utilise la règle de
l’Hospital :
lim
!→"<
!
BC
lim
!→"<
!
= lim
!→"<
!
e) lim
!→%<
=
!
&!
(
%<
f) lim
!→ (
=
$!
% #
,=
#!
% ,
(
(
On utilise la règle de
l’Hospital :
lim
!→ (
&!
%!
BC
lim
!→ (
&!
%!
= lim
!→ (
&!
%!
= lim
!→ (
(
(
g) lim
!→"<
!
8>!
"<
"<
On utilise la règle de
l’Hospital :
lim
!→"<
ln 𝑥
BC
lim
!→"<
(ln 𝑥)′
= lim
!→"<
= lim
!→"<
h) lim
!→(
'
%
!
= 0. +∞ = 𝐹𝐼
lim
!→(
'
! = lim
!→(
'
!
On utilise la règle de l’Hospital :
lim
!→(
'
!
BC
lim
!→(
'
!
7
4
4
= lim
!→(
'
!
. /
&
&
= lim 𝑒
!
!→(
'
"<
lim
!→(
! = 0. 𝑒
%<
a) lim
!→"<
%!
lim
!→"<
%!
= lim
!→"<
!
= FI
On utilise la règle de
l’Hospital :
lim
!→"<
!
BC
lim
!→"<
!
= lim
!→"<
!
20. Faire l’étude complète des fonctions f suivantes.
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 ln 𝑥
Domaine : CE : 𝑥 > 0 donc dom 𝑓 = ] 0 ; →
Racines : 𝑥 ln 𝑥 = 0
𝑥 = 0 𝑜𝑢 ln 𝑥 = 0
𝑥 = 0 (à 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑡𝑒𝑟) 𝑜𝑢 𝑥 = 1
Ordonnée à l’origine : /
Signe :
ln 𝑥 / − 0 +
Limites :
lim
!→"<
𝑥. ln 𝑥 = +∞. +∞ = +∞ pas d’AH
lim
!→(
'
𝑥. ln 𝑥 = 0. −∞ = 𝐹𝐼
lim
!→(
'
𝑥. ln 𝑥 = lim
!→(
'
8>!
%
!
%<
"<
= FI
Règle de l’Hospital :
lim
!→(
'
ln 𝑥
= lim
!→(
'
(ln 𝑥)′
4
= lim
!→(
'
&
lim
!→(
'
−𝑥 = 0 donc trou en ( 0 ; 0 )
Dérivée : 𝑓′(𝑥) = (𝑥)′ ln 𝑥 + 𝑥(ln 𝑥)′
𝑓′(𝑥) = ln 𝑥 + 𝑥.
𝑓′(𝑥) = ln 𝑥 + 1
Tableau de variations :
4
(𝑥) = 0 ⟺ ln 𝑥 + 1 = 0
⟺ ln 𝑥 = − 1
⟺ ln 𝑥 = ln 𝑒
%#
%#
=
ln 𝑥 + 1 CE − 0 +
𝑓(𝑥) 𝐶𝐸 min
min = 𝑓 /
=
=
ln(
=
=
(ln 1 − ln 𝑒)
c) 𝑓
&
%!
Domaine : pas de CE
donc dom 𝑓 = ℝ
Racines : 𝑥
&
%!
𝑥 = 0 ou 𝑒
%!
= 0 (impossible)
Ordonnée à l’origine : 𝑓
&
%(
Signe :
&
%!
Limites :
lim
!→%<
&
%!
= +∞. + ∞ = +∞ pas d’AH
lim
!→"<
&
%!
lim
!→"<
&
%!
= lim
!→"<
&
!
Règle de l’Hospital (deux fois de suite)
lim
!→"<
&
!
= lim
!→"<
&
4
!
4
= lim
!→"<
!
= lim
!→"<
4
!
4
= lim
!→"<
!
Donc 𝐴𝐻 ≡ 𝑦 = 0 en +∞
Dérivée : 𝑓′
&
%!
4
4
&
4
%!
&
%!
4
%!
&
%!
4
%!
&
%!
4
%!
Tableau de variations :
4
%!
⟺ 𝑥 = 0 ou 𝑒
%!
= 0 ou 2 − 𝑥 = 0
⟺ 𝑥 = 0 ou impossible ou 𝑥 = 2
%!
4
𝑓(𝑥) Max
min
min = 𝑓
&
%(
Max = 𝑓
&
%&
/
=
$
d) 𝑓
%!
$
Domaine : pas de CE
donc dom 𝑓 = ℝ
Racines : 𝑒
%!
$
impossible
donc pas de racine
Ordonnée à l’origine : 𝑓
%(
$
Signe :
Limites :
lim
!→±<
%!
$
%<
Donc 𝐴𝐻 ≡ 𝑦 = 0 en ±∞
Dérivée : 𝑓′(𝑥) = k𝑒
%!
$
l
4
4
%!
$
&
4
%!
$
Tableau de variations :
4
%!
$
⟺ − 2 𝑥 = 0 ou 𝑒
%!
$
⟺ 𝑥 = 0 ou impossible
%!
$
4
𝑓(𝑥) Max
Max = 𝑓( 0 ) = 𝑒
%(
$
