Exercises Math and Assignment, Exercises of Mathematics

Download Exercises Math and Assignment and more Exercises Mathematics in PDF only on Docsity!

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

---

SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP

TOÁN RỜI RẠC

Biên soạn : Ths. NGUYỄN DUY PHƯƠNG

Lưu hành nội bộ

HÀ NỘI - 2006

LỜI GIỚI THIỆU

Toán rời rạc là một lĩnh vực nghiên cứu và xử lý các đối tượng rời rạc dùng để đếm các đối tượng, và nghiên cứu mối quan hệ giữa các tập rời rạc. Một trong những yếu tố làm Toán rời rạc trở nên quan trọng là việc lưu trữ, xử lý thông tin trong các hệ thống máy tính về bản chất là rời rạc. Chính vì lý do đó, Toán học rời rạc là một môn học bắt buộc mang tính chất kinh điển của các ngành Công nghệ thông tin và Điện tử Viễn thông. Tài liệu hướng dẫn môn học Toán học rời rạc được xây dựng cho hệ đào tạo từ xa Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông được xây dựng dựa trên cơ sở kinh nghiệm giảng dạy môn học và kế thừa từ giáo trình “Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học” của Kenneth Rossen. Tài liệu được trình bày thành hai phần:

Phần I trình bày những kiến thức cơ bản về lý thuyết tổ hợp thông qua việc giải quyết bốn bài toán cơ bản đó là: Bài toán đếm, Bài toán tồn tại, Bài toán liệt kê và Bài toán tối ưu.

Phần II trình bày những kiến thức cơ bản về Lý thuyết đồ thị: khái niệm, định nghĩa, các thuật toán trên đồ thị, đồ thị Euler, đồ thị Hamilton. Một số bài toán có ứng dụng thực tiễn quan trọng khác của lý thuyết đồ thị cũng được chú trọng giải quyết đó là Bài toán tô màu đồ thị, Bài toán tìm đường đi ngắn nhất và Bài toán luồng cực đại trong mạng.

Trong mỗi phần của tài liệu, chúng tôi cố gắng trình bày ngắn gọn trực tiếp vào bản chất của vấn đề, đồng thời cài đặt hầu hết các thuật toán bằng ngôn ngữ lập trình C nhằm đạt được hai mục tiêu chính cho người học: Nâng cao tư duy toán học trong phân tích, thiết kế thuật toán và rèn luyện kỹ năng lập trình với những thuật toán phức tạp. Mặc dù đã rất cẩn trọng trong quá trình biên soạn, tuy nhiên tài liệu không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Chúng tôi rất mong được sự góp ý quí báu của tất cả đọc giả và các bạn đồng nghiệp. Mọi góp ý xin gửi về: Khoa Công nghệ Thông tin - Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông.

Hà Nội, tháng 05 năm 2006

Bài toán tối ưu: khác với bài toán liệt kê, bài toán tối ưu chỉ quan tâm tới cấu hình “tốt nhất” theo một nghĩa nào đó. Đây là một bài toán có nhiều ứng dụng thực tiễn và lý thuyết tổ hợp đã đóng góp một phần đáng kể trong việc xây dựng các thuật toán để đưa ra được những mô hình tối ưu.

Bài toán tồn tại: nếu như bài toán đếm thực hiện đếm bao nhiêu cấu hình có thể có, bài toán liệt kê: liệt kê tất cả các cấu hình có thể có, bài toán tối ưu chỉ ra một cấu hình tốt nhất thì bài toán tồn tại giải quyết những vấn đề còn nghi vấn nghĩa là ngay kể cả vấn đề có hay không một cấu hình cũng chưa biết. Những bài toán này thường là những bài toán khó, việc sử dụng máy tính để chứng tỏ bài toán đó tồn tại hay không tồn tại ít nhất (hoặc không) một cấu hình càng trở nên hết sức quan trọng.

1.2. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LOGIC

Các qui tắc cơ bản của Logic cho ta ý nghĩa chính xác của các mệnh đề. Những qui tắc này được sử dụng giữa các lập luận toán học đúng và không đúng. Vì mục tiêu cơ bản của giáo trình này là trang bị cho sinh viên hiểu và xây dựng được những phương pháp lập luận toán học đúng đắn, nên chúng ta sẽ bắt đầu nghiên cứu toán học rời rạc bằng những kiến thức cơ bản của môn logic học.

Hiểu được phương pháp lập luận toán học có ý nghĩa hết sức quan trọng trong tin học. Những qui tắc của logic chính là công cụ cơ sở để chúng ta có thể xây dựng nên các ngôn ngữ lập trình, các mạng máy tính, kiểm chứng tính đúng đắn của chương trình và nhiều ứng dụng quan trọng khác.

1.2.1. Định nghĩa & phép toán

Đối tượng nghiên cứu của logic học là những mệnh đề. Một mệnh đề được hiểu là một câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai chứ không thể vừa đúng vừa sai.

Ví dụ: Những câu khẳng định sau đây là một mệnh đề: ƒ “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam.” ƒ 1 + 1 = 2 ƒ 2 + 2 = 3 Các mệnh đề “ Hà Nội là thủ đô của Việt Nam”, “1 +1 =2 “ là những mệnh đề đúng, mệnh đề “2 +2 =3” là sai. Nhưng những câu trong ví dụ sau sẽ không phải là một mệnh đề vì nó những câu đó không cho ta khẳng định đúng cũng chẳng cho ta khẳng định sai.

ƒ “Bây giờ là mấy giờ ?” ƒ “Hãy suy nghĩ điều này cho kỹ lưỡng” ƒ x +1 = ƒ x + y = z

Ta ký hiệu những chữ cái A, B, C, D, p, q, r, s... là những mệnh đề. Giá trị của một mệnh đề đúng được ký hiệu là T , giá trị mệnh đề sai được ký hiệu là F. Tập giá trị { T, F } còn được gọi là giá trị chân lý của một mệnh đề.

Định nghĩa 1. Mệnh đề p tuyển với mệnh đề q (ký hiệu p ∨ p ) là một mệnh mà nó chỉ nhận

giá trị T khi và chỉ khi ít nhất một trong hai mệnh đề p, q nhận giá trị T. Mệnh đề p ∨ q nhận giá trị F khi và chỉ khi cả p, q đều nhận giá trị F.

Định nghĩa 2. Mệnh đề p hội mệnh đề q (ký hiệu p ∧ q ) là một mệnh đề mà nó chỉ nhận giá trị T khi và chỉ khi p, q nhận giá trị T. Mệnh đề p ∧ q nhận giá trị F khi và chỉ khi hoặc p , q , hoặc cả hai nhận giá trị F.

Định nghĩa 3. Phủ định mệnh đề p (kí hiệu ¬ p ) là một mệnh đề nhận giá trị F khi và chỉ khi mệnh đề p nhận giá trị T , nhận giá trị F khi và chỉ khi p nhận giá trị T.

Định nghĩa 4. Mệnh đề tuyển loại của p và q, được ký hiệu là p⊕q, là một mệnh đề chỉ đúng khi một trong p hoặc q là đúng và sai trong các trường hợp khác còn lại.

Định nghĩa 5. Mệnh đề p suy ra mệnh đề q (ký hiệu p → q ) nhận giá T khi và chỉ khi p

nhận giá trị F hoặc p và q cùng nhận giá trị T. Mệnh đề p → q nhận giá trị F khi và chỉ khi p nhận giá trị T và q nhận giá trị F.

Định nghĩa 6. Hai mệnh đề p, q được gọi là kéo theo nhau (ký hiệu: p ⇔ q ) có giá trị đúng khi p và q có cùng giá trị chân lý và sai trong các trường hợp khác còn lại.

Các phép toán: ∨ , ∧ , ¬ , ⊕ , → ,⇔ có thể được định nghĩa thông qua bảng giá trị chân lý sau:

Bảng 1.1: Bảng giá trị chân lý của các phép toán ∨ , ∧ , ¬ , ⊕ , → , ⇔

p q (^) p∨q p∧q ¬p p⊕q p→q p⇔q

T T T T F F T T T F T F F T F F F T T F T T T F F F F F T F T T

1.2.2. Sự tương đương giữa các mệnh đề

Một vấn đề hết sức quan trọng trong lập luận toán học là việc thay thế này bằng một mệnh đề khác có cùng giá trị chân lý. Hai mệnh đề có cùng một giá trị chân lý chúng ta có thể hiểu theo cách thông thường là chúng tương đương nhau về ngữ nghĩa. Do vậy, ta sẽ tiếp cận và phân loại các mệnh đề phức hợp thông qua các giá trị chân lý của chúng.

Định nghĩa 1. Một mệnh đề phức hợp mà luôn luôn đúng với bất kể các giá trị chân lý của các mệnh đề thành phần của nó được gọi là hằng đúng (tautology). Một mệnh đề luôn luôn sai với mọi giá trị chân lý của các mệnh đề thành phần của nó được gọi là mâu thuẫn.

Bảng 1.4. Bảng các tương đương logic TƯƠNG ĐƯƠNG TÊN GỌI

p ∧ T ≡ p p ∨ F ≡ p

Luật đồng nhất

p ∨ T ≡ T p ∧ F ≡ F

Luật nuốt

p ∨ p ≡ p p ∧ p ≡ p

Luật luỹ đẳng

¬(¬p) ≡ p Luật phủ^ định kép

p ∨ q ≡ q ∨ p p ∧ q ≡ q ∧ p

Luật giao hoán

(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ ( q ∨ r) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧( q ∧ r)

Luật kết hợp

p ∨ ( q ∧ r) ≡ (p ∨ q ) ∧ (p ∨ r)

p ∧ ( q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

Luật phân phối

¬(p ∧ q ) ≡ ¬p ∨ ¬q

¬(p ∨ q ) ≡ ¬p ∧ ¬q

Luật De Morgan

Ví dụ: Chứng minh rằng ¬ ( p ∧ ( ¬ q ∧ q ) là tương đương logic với ¬ p ∧ ¬ q. Chứng minh: ¬ ( p ∧ ( ¬ q ∧ q ) ≡ ¬ p ∧ ¬ ( ¬ p ∧ q ) theo luật De Morgan thứ 2 ≡ ¬ p ∧ [ ¬ ( ¬ p) ∨ ¬ q theo luật De Morgan thứ 2 ≡ ¬ p ∧ [ p ∨ ¬ q ] theo luật phủ định kép ≡ ( ¬ p ∧ p ) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q) theo luật phân phối

≡ F ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q) vì ¬ p ∧ p ≡ F ≡ ¬ p ∧ ¬ q Mệnh đề được chứng minh.

1.2.3. Dạng chuẩn tắc

Các công thức (mệnh đề) tương đương được xem như các biểu diễn khác nhau của cùng một mệnh đề. Để dễ dàng viết các chương trình máy tính thao tác trên các công thức, chúng ta cần

chuẩn hóa các công thức, đưa chúng về dạng biểu diễn chuẩn được gọi là dạng chuẩn hội. Một công thức được gọi là ở dạng chuẩn hội nếu nó là hội của các mệnh đề tuyển.

Phương pháp để biến đổi một công thức bất kỳ về dạng chuẩn hội bằng cách áp dụng các thủ tục sau:

ƒ Bỏ các phép kéo theo (→) bằng cách thay (p→q) bởi (¬p→q). ƒ Chuyển các phép phủ định (¬) vào sát các ký hiệu mệnh đề bằng cách áp dụng luật De Morgan và thay ¬(¬p) bởi p. ƒ Áp dụng luật phân phối thay các công thức có dạng (p∨(q∧r)) bởi (p∨q)∧(p∨r). Ví dụ: Ta chuẩn hóa công thức (p→q)∨¬(r∨¬s):

(p→q)∨¬(r∨¬s) ≡ (¬p∨q) ∨(¬r∧s) ≡ ((¬p∨q)∨¬r) ∧((¬p∨q)∨s) ≡ (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨s) Như vậy công thức (p→q)∨¬(r∨¬s) được đưa về dạng chuẩn hội (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨s)

1.3. VỊ TỪ VÀ LƯỢNG TỪ

Trong toán học hay trong các chương trình máy tính chúng ta rất hay gặp những khẳng định chưa phải là một mệnh đề. Những khẳng định đó đều có liên quan đến các biến. Chẳng hạn khẳng định:

P(x) = “x > 3” không phải là một mệnh đề nhưng tại những giá trị cụ thể của x = x 0 nào đó thì P(x 0 ) lại là một mệnh đề. Hoặc trong những đoạn chương trình gặp câu lệnh:

if ( x > 3 ) then x:= x +1;

thì chương trình sẽ đặt giá trị cụ thể của biến x vào P(x), nếu mệnh đề P(x) cho giá trị đúng x sẽ được tăng lên 1 bởi câu lệnh x:=x+1, P(x) có giá trị sai giá trị của x được giữ nguyên sau khi thực hiện câu lệnh if.

Chúng ta có thể phân tích mỗi khẳng định thành hai phần chủ ngữ và vị ngữ (hay vị từ), trong câu “x lớn hơn 3” ta có thể coi x là chủ ngữ, “lớn hơn 3” là vị ngữ, hàm P(x) được gọi là hàm mệnh đề. Một hàm mệnh đề có thể có một hoặc nhiều biến, giá trị chân lý của hàm mệnh đề tại những giá trị cụ thể của biến được xác định như những mệnh đề thông thường.

Ví dụ: Cho Q(x, y, z) là hàm mệnh đề xác định câu x^2 = y^2 +z^2 hãy xác định giá trị chân lý của các mệnh đề Q (3, 2, 1), Q ( 5, 4, 3).

Giải: Đặt giá trị cụ thể của x , y , z vào Q(x,y,z) ta có: Q(3,2,1) là mệnh đề “3^2 = 2^2 + 1^2 ” là sai do đó Q(3,2,1) là mệnh đề sai. Trong đó, Q (5, 4, 3) là mệnh đề “5^2 = 4^2 + 3^2 ” đúng, do đó Q(5,4,3) là mệnh đề đúng.

vì đa số các ngôn ngữ đều không rõ ràng, nhưng một biểu thức logic lại rất rõ ràng chặt chẽ từ cú pháp thể hiện đến ngữ nghĩa của câu. Điều này dẫn đến phải có một tập hợp các giả thiết hợp lý dựa trên một hàm xác định ngữ nghĩa cuả câu đó. Một khi câu đã được chuyển dịch thành biểu thức logic, chúng ta có thể xác định được giá trị chân lý của biểu thức logic, thao tác trên biểu thức logic, biến đổi tương đương trên biểu thức logic.

Chúng ta sẽ minh hoạ việc dịch một câu thông thường thành biểu thức logic thông qua những sau.

Ví dụ dịch câu “Bạn không được lái xe máy nếu bạn cao dưới 1.5 mét trừ phi bạn trên 18 tuổi” thành biểu thức logic.

Giải: Ta gọi p là câu : Bạn được lái xe máy. q là câu : Bạn cao dưới 1.5m. r là câu : Bạn trên 18 tuổi. Khi đó: Câu hỏi trên được dịch là: (q ∧ ¬r) → ¬p Ví dụ: Dịch câu “Tất cả các sinh viên học tin học đều học môn toán học rời rạc” Giải: Gọi P(x) là câu “x cần học môn toán học rời rạc” và x được xác định trong không gian của các sinh viên học tin học. Khi đó chúng ta có thể phát biểu: ∀ x P(x)

Ví dụ: Dịch câu “Có một sinh viên ở lớp này ít nhất đã ở tất cả các phòng của ít nhất một nhà trong ký túc xá”.

Giải: Gọi tập sinh viên trong lớp là không gian xác định sinh viên x, tập các nhà trong ký túc xá là không gian xác định căn nhà y, tập các phòng là không gian xác định phòng z. Ta gọi P(z,y) là “z thuộc y”, Q(x,z) là “x đã ở z”. Khi đó ta có thể phát biểu:

∃ x ∃ y ∀ z (P(z,y) → Q(x,z));

1.4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRÊN MÁY TÍNH

Các phép toán bít: Các hệ thống máy tính thường dùng các bit (binary digit) để biểu diễn thông tin. Một bít có hai giá trị chân lý hoặc 0 hoặc 1. Vì giá trị chân lý của một biểu thức logic cũng có hai giá trị hoặc đúng (T) hoặc sai (F). Nếu ta coi giá trị đúng có giá trị 1 và giá trị sai là 0 thì các phép toán với các bít trong máy tính được tương ứng với các liên từ logic.

Một xâu bít (hoặc xâu nhị phân) là dãy không hoặc nhiều bít. Chiều dài của xâu là số các bít trong xâu đó.

Ví dụ: Xâu nhị 101010011 có độ dài là 9. Một số nguyên đuợc biểu diễn như một xâu nhị phân có độ dài 16 bít.

Các phép toán với bít được xây dựng trên các xâu bít có cùng độ dài, bao gồm: AND bít (phép và cấp bít), OR (phép hoặc cấp bít), XOR (phép tuyển loại trừ cấp bít). Ví dụ: cho hai xâu bít 01101 10110 và 11000 11101 hãy tìm xâu AND bít, OR bít, XOR bít.

Phép AND 01101 10110 11000 11101

01000 10100 Phép OR 01101 10110 11000 11101

11101 11111

Phép XOR 01101 10110 11000 11101

10101 01011

Thuật toán các phép tính số nguyên: Các thuật toán thực hiện các phép tính với các số nguyên khi dùng khai triển nhị phân là hết sức quan trọng trong bộ xử lý số học của máy tính. Như chúng ta đã biết, thực chất các số nguyên được biểu diễn trong máy tính là các xâu bít nhị phân, do vậy chúng ta có thể sử dụng biểu diễn nhị phân của các số để thực hiện các phép tính. Giả sử khai triển nhị phân của các số nguyên a và b tương ứng là: a = (an-1an-2.. .a 1 a 0 ) 2 , b = (bn-1bn-2.. .b 1 b 0 ) 2. Khai triển của a và b có đúng n bít (chấp nhận những bít 0 ở đầu để làm đặc n bít).

Xét bài toán cộng hai số nguyên viết ở dạng nhị phân. Thủ tục thực hiện việc cộng cũng giống như làm trên giấy thông thường. Phương pháp này tiến hành bằng cách cộng các bít nhị phân tương ứng có nhớ để tính tổng hai số nguyên. Sau đây là mô tả chi tiết cho quá trình cộng hai xâu bít nhị phân.

Để cộng a với b, trước hết ta cộng hai bít phải nhất, nghĩa là: a 0 + b 0 = c 0 *2 + s 0 ; trong đó s 0 là bít phải nhất của số nguyên tổng a + b, c 0 là số cần để nhớ nó có thể bằng 0 hoặc 1. Sau đó ta cộng hai bít tiếp theo và số nhớ:

a 1 + b 1 + c 0 = c 1 *2 + s 1 ; s 1 là bít tiếp theo của số a + b, c 1 là số nhớ. Tiếp tục quá trình này bằng cách cộng các bít tương ứng trong khai triển nhị phân và số nhớ, ở giai đoạn cuối cùng: an-

trái kết quả nhận được. Cuối cùng, cộng n số nguyên abj 2 j^ (j=0..n-1) ta nhận được a.b. Ví dụ sau đây sẽ minh hoạ cho thuật toán nhân:

Ví dụ: Tìm tích của a = (110) 2 , b= (101) 2 Giải: Ta nhận thấy: ab 020 = (110) 2 12^0 = (110) 2 ab 121 = (110) 2 02^1 = (0000) 2 ab 222 = (110) 2 12^2 = (11000) 2 Sử dụng thuật toán tính tổng hai số nguyên a, b có biểu diễn n bít ta nhận được(ta có thể thêm số 0 vào đầu mỗi toán hạng):

(0110) 2 + (0000) 2 = (0110) 2 ; (00110) 2 + (11000) 2 = (11110) 2 = ab. Thuật toán nhân hai số nguyên n bít có thể được mô phỏng như sau: void Nhan( a, b: Positive integer){ /* khai triển nhị phân tương ứng của a = (an-1an-2.. .a 1 a 0 ), b = (bn-1bn-2.. .b 1 b 0 ) / for (j=0; j≤ n-1; j++) { if ( ( bj==1) cj = a * 2j; / a được dịch trái j bít 0 / else cj =0; } /c 0 , c 1 .., cn-1 là những tích riêng của abj 2 j(j=0..n-1 / p=0; for ( j=0 ; j≤ n-1; j++) p= p + cj; / p là giá trị của tích ab */ }

1.5. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT TẬP HỢP

1.5.1. Khái niệm & định nghĩa

Các tập hợp dùng để nhóm các đối tượng lại với nhau. Thông thường, các đối tượng trong tập hợp có các tính chất tương tự nhau. Ví dụ, tất cả sinh viên mới nhập trường tạo nên một tập hợp, tất cả sinh viên thuộc khoa Công nghệ thông tin là một tập hợp, các số tự nhiên, các số thực..

. cũng tạo nên các tập hợp. Chú ý rằng, thuật ngữ đối tượng được dùng ở đây không chỉ rõ cụ thể một đối tượng nào, sự mô tả một tập hợp nào đó hoàn toàn mang tính trực giác về các đối tượng.

Định nghĩa 1. Tập các đối tượng trong một tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp. Các tập hợp thường được ký hiệu bởi những chữ cái in hoa đậm như A, B, X, Y..., các phần tử thuộc tập hợp hay được ký hiệu bởi các chữ cái in thường như a, b, c, u, v... Để chỉ a là phần tử của tập hợp A ta viết a ∈A, trái lại nếu a không thuộc A ta viết a ∉A.

Tập hợp không chứa bất kỳ một phần tử nào được gọi là tập rỗng (kí hiệu là φ hoặc { }) Tập hợp A được gọi là bằng tập hợp B khi và chỉ khi chúng có cùng chung các phần tử và được kí hiệu là A=B. Ví dụ tập A={ 1, 3, 5 } sẽ bằng tập B = { 3, 5, 1 }.

Định nghĩa 2. Tập A được gọi là một tập con của tập hợp B và ký hiệu là A⊆B khi và chỉ khi mỗi phần tử của A là một phần tử của B. Hay A ⊆ B khi và chỉ khi lượng từ:

∀ x (x∈ A → x ∈ B) cho ta giá trị đúng. Từ định nghĩa trên chúng ta rút ra một số hệ quả sau: ƒ Tập rỗng φ là tập con của mọi tập hợp. ƒ Mọi tập hợp là tập con của chính nó. ƒ Nếu A⊆ B và B ⊆ A thì A=B hay mệnh đề: x (x∈ A → x∈B ) ∨ ∀ x (x∈B → x ∈ A) cho ta giá trị đúng. ƒ Nếu A⊆ B và A≠B thì ta nói A là tập con thực sự của B và ký hiệu là A⊂B. Định nghĩa 3. Cho S là một tập hợp. Nếu S có chính xác n phần tử phân biệt trong S, với n là số nguyên không âm thì ta nói S là một tập hữu hạn và n được gọi là bản số của S. Bản số của S được ký hiệu là |S |.

Định nghĩa 4. Cho tập hợp S. Tập luỹ thừa của S ký hiệu là P(S) là tập tất cả các tập con của S.

Ví dụ S = { 0, 1, 2 } ⇒ P(S) ={ φ, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0, 2}, {1, 2} {0, 1, 2}}. Định nghĩa 5. Dãy sắp thứ tự (a 1 , a 2 ,.., an) là một tập hợp sắp thứ tự có a 1 là phần tử thứ nhất, a 2 là phần tử thứ 2, .., an là phần tử thứ n.

Chúng ta nói hai dãy sắp thứ tự là bằng nhau khi và chỉ khi các phần tử tương ứng của chúng là bằng nhau. Nói cách khác (a 1 , a 2 ,.., an) bằng (b 1 , b 2 ,.., bn) khi và chỉ khi ai = bi với mọi i =1, 2, ..n.

Định nghĩa 6. Cho A và B là hai tập hợp. Tích đề các của A và B được ký hiệu là A×B, là tập hợp của tất cả các cặp (a,b) với a∈A, b ∈B. Hay có thể biểu diễn bằng biểu thức:

A × B = { (a, b) | a∈ A ∧ b ∈B }

1.5.3. Các hằng đẳng thức trên tập hợp

Mỗi tập con của tập hợp tương ứng với một tính chất xác định trên tập hợp đã cho được gọi là mệnh đề. Với tương ứng này, các phép toán trên tập hợp được chuyển sang các phép toán của logic mệnh đề:

ƒ Phủ định của A, ký hiệu A (hay NOT A) tương ứng với phần bù A ƒ Tuyển của A và B, ký hiệu A ∨ B (hay A or B) tương ứng với A ∪ B ƒ Hội của A và B, ký hiệu A ∧ B (hay A and B) tương ứng với A ∩ B Các mệnh đề cùng với các phép toán trên nó lập thành một đại số mệnh đề (hay đại số logic). Như thế, đại số tập hợp và đại số logic là hai đại số đẳng cấu với nhau (những mệnh đề phát biểu trên đại số logic tương đương với mệnh đề phát biểu trên đại số tập hợp). Với những trường hợp cụ thể, tuỳ theo tình huống, một bài toán có thể được phát biểu bằng ngôn ngữ của đại số logic hay ngôn ngữ của đại số tập hợp. Bảng 1.5 thể hiện một số hằng đẳng thức của đại số tập hợp.

Ta gọi U là tập hợp vũ trụ hay tập hợp của tất cả các tập hợp.

Bảng 1.5: Một số hằng đẳng thức trên tập hợp HẰNG ĐẲNG THỨC TÊN GỌI A ∪ φ = A A ∩ U = A (U là tập vũ trụ)

Luật đồng nhất

A ∪ U = U A ∩ φ = A

Luật nuốt

A∩A = A A ∪ A = A

Luật luỹ đẳng

A = A Luật bù

A ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A

Luật giao hoán

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B)∪C A∩ (B ∩ C) = (A∩B) ∩ C

Luật kết hợp

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∪ (A ∩ C ) A ∩ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Luật phân phối

A B A B

A B A B

Luật De Morgan

1.6. BIỂU DIỄN TẬP HỢP TRÊN MÁY TÍNH

Có nhiều cách khác nhau để biểu diễn tập hợp trên máy tính, phương pháp phổ biến là lưu trữ các phần tử của tập hợp không sắp thứ tự. Với việc lưu trữ bằng phương pháp này, ngoài những lãng phí bộ nhớ không cần thiết, thì quá trình tính hợp, giao, hiệu các tập hợp gặp nhiều khó khăn và mất nhiều thời gian vì mỗi phép tính đòi hỏi nhiều thao tác tìm kiếm trên các phần tử. Một phương pháp lưu trữ các phần tử bằng cách biểu diễn có thứ tự của các phần tử của một tập vũ trụ tỏ ra hiệu quả hơn rất nhiều trong quá trình tính toán.

Giả sử tập vũ trụ U là hữu hạn gồm n phần tử(hữu hạn được hiểu theo nghĩa các phần tử của U lưu trữ được trong bộ nhớ máy tính). Giả sử ta muốn biểu diễn tập hợp A⊆ U. Trước hết ta chọn một thứ tự tuỳ ý nào đó đối với các phần tử của tập vũ trụ U, giả sử ta được bộ có thứ tự a 1 ,a 2 ,. ., an. Sau đó xây dựng một xâu bít nhị phân có độ dài n, sao cho nếu bít thứ i có giá trị 1 thì phần tử ai∈A, nếu ai =0 thì ai∉A (i=1,2..,n). Ví dụ sau sẽ minh họa kỹ thuật biểu diễn tập hợp bằng xâu bít nhị phân.

Ví dụ: Giả sử U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }. Hãy biểu diễn tập hợp A ⊆ U là

1. Tập các số nguyên lẻ A ⊆ U.
2. Tập các số nguyên chẵn B ⊆U.
3. Tập các số nguyên nhỏ hơn 5 C ⊆ U.
4. Tìm A ∪ B
5. Tìm A∩C... Giải: Trước hết ta coi thứ tự các phần tử được sắp xếp theo thứ tự tăng dần tức ai=i (i=1,2,..,10). Khi đó:

1- Xâu bít biểu diễn các số lẻ trong U ( {1, 3, 5, 7, 9 } ) là xâu có độ dài n = 10 trong đó các bít ở vị trí thứ 1, 3, 5, 7, 9 có giá trị là 1, các bít còn lại có giá trị là 0. Từ đó ta có xâu bít biểu diễn tập hợp A là: 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0.

2- Xâu bít biểu diễn các số chẵn trong U ( {2, 4, 6, 8, 10 } ) là xâu có độ dài n = 10 trong đó các bít ở vị trí thứ 2, 4, 6, 8, 10 có giá trị là 1, các bít còn lại có giá trị là 0. Từ đó ta có xâu bít biểu diễn tập hợp B là: 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1.

3- Xâu bít biểu diễn các số nhỏ hơn 5 trong U ( {1, 2, 3, 4 } ) là xâu có độ dài n = 10 trong đó các bít ở vị trí thứ 1, 2, 3, 4 có giá trị là 1, các bít còn lại có giá trị là 0. Từ đó ta có xâu bít biểu diễn tập hợp C là: 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0.

4- Xâu bít biểu diễn tập hợp A ∪ B là: (1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ∨ 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1) là xâu 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. Như vậy, A ∪ B = U.

5- Tương tự như vậy với A ∩ C Ù (1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ∧ 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0) là xâu: 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0. Như vậy A ∩ C = { 1, 3 }

n n

n n

n n

n n

d X X X X X X

c X X X X X X

b X Y Y Y X Y X Y X Y

a X Y Y Y X Y X Y X Y

1 2 1 2

1 2 1 1

1 2 1 2

1 2 1 2

Bài 7. Cho A, B, C là các tập hợp. Chứng minh rằng:

( A − B )− C =( A − C )−( B − C )

Bài 8. Cho A, B, C là các tập hợp. Chứng minh rằng:

( B − A )∪( C − A )=( B ∪ C )− A

Bài 9. Chứng minh rằng nếu A, B là các tập hợp thì:

( A ∩ B )∪( A ∩ B )= A

Bài 10. Cho A, B, C là các tập hợp. Chứng minh rằng:

g A B A B A

f A B A B

e B A C A B C A

d A C C B

c A B C A C

b A B C A B

a A B C A B C

Chương 2: Bài toán đếm và bài toán tồn tại

CHƯƠNG II: BÀI TOÁN ĐẾM VÀ BÀI TOÁN TỒN TẠI

Đếm các đối tượng có những tính chất nào đó là một bài toán quan trọng của lý thuyết tổ hợp. Giải quyết tốt bài toán đếm giúp ta giải nhiều bài toán khác nhau trong đánh giá độ phức tạp tính toán của các thuật toán và tìm xác suất rời rạc các biến cố. Phương pháp chung để giải bài toán đếm được dựa trên các nguyên lý đếm cơ bản (nguyên lý cộng, nguyên lý nhân). Một số bài toán đếm phức tạp hơn được giải bằng cách qui về các bài toán con để sử dụng được các nguyên lý đếm cơ bản hoặc tìm ra hệ thức truy hồi tổng quát.

Nội dung chính được đề cập trong chương này bao gồm: 9 Các nguyên lý đếm cơ bản 9 Nguyên lý bù trừ 9 Hoán vị và tổ hợp 9 Hệ thức truy hồi 9 Qui về các bài toán con 9 Giới thiệu bài toán tồn tại 9 Phương pháp phản chứng giải quyết bài toán tồn tại. 9 Nguyên lý Dirichlet giải quyết bài toán tồn tại. Bạn đọc có thể tìm hiểu nhiều kỹ thuật đếm cao cấp hơn trong tài liệu [1], [2] trong phần tham khảo của tài liệu này.

2.1. NHỮNG NGUYÊN LÝ ĐẾM CƠ BẢN

2.1.1. Nguyên lý cộng

Giả sử có hai công việc. Việc thứ nhất có thể tiến hành bằng n 1 cách, việc thứ hai có thể tiến hành bằng n 2 cách và nếu hai việc này không thể tiến hành đồng thời. Khi đó sẽ có n 1 + n 2 cách để giải giải quyết một trong hai việc trên.

Chúng ta có thể mở rộng qui tắc cộng cho trường hợp nhiều hơn hai công việc. Giả sử các việc T 1 , T 2 ,.., Tm có thể làm tương ứng bằng n 1 , n 2 ,.., nm cách và giả sử không có hai việc Ti, Tj nào làm việc đồng thời (i,j = 1, 2,.., m ; i ≠ j ). Khi đó, có n 1 + n 2 +.. +nm cách thực hiện một trong các công việc T 1 , T 2 ,.., Tm.

Qui tắc cộng được phát biểu dưới dạng của ngôn ngữ tập hợp như sau: ƒ Nếu A và B là hai tập rời nhau (A ∩ B = φ) thì: N(A∪B) = N(A) + N(B).