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9 exercices corrigés d’Electrotechnique
sur le transformateur
Exercice Transfo01 : transformateur à vide
Faire le bilan de puissance du transformateur à vide. En déduire que la puissance consommée à vide est sensiblement égale aux pertes fer.
Exercice Transfo02 : courant de mise sous tension d’un transformateur
Un transformateur monophasé a les caractéristiques suivantes :
230 V / 24 V 50 Hz 63 VA 2 kg
1- Calculer le courant primaire nominal I1N et le courant secondaire nominal I2N.
2- A la mise sous tension d’un transformateur, il se produit un courant d’appel très important (de l’ordre de 25 I1N) pendant une dizaine de millisecondes. Evaluer le courant de mise sous tension.
Exercice Transfo03 : transformateur à point milieu monophasé
Un transformateur à point milieu possède au secondaire deux enroulements ayant le même nombre de spires :
1- Quel est le rôle du circuit magnétique d'un transformateur? 2- Justifier que : u 2 (t) = - u 1 (t). 3- Calculer le nombre de spires des enroulements du secondaire pour que la valeur efficace des tensions u 1 (t) et u 2 (t) soit de 10 volts (le transformateur est supposé parfait).
On donne : nombre de spires du primaire : 460.
u 1 (t)
primaire secondaire
circuit magnétique
u 2 (t)
secteur 230 V 50 Hz
Exercice Transfo04 : transformateur de distribution
Un transformateur de distribution possède les caractéristiques nominales suivantes : S2N = 25 kVA, pJoule N = 700 W et pfer = 115 W.
1- Calculer le rendement nominal pour :
- une charge résistive
- une charge inductive de facteur de puissance 0,
2- Calculer le rendement pour :
- une charge résistive qui consomme la moitié du courant nominal
Exercice Transfo05 : transformateur monophasé
Un transformateur monophasé a les caractéristiques suivantes :
- tension primaire nominale : U1N = 5375 V / 50 Hz
- rapport du nombre de spires : N 2 /N 1 = 0,
- résistance de l’enroulement primaire : R 1 = 12 Ω
- résistance de l’enroulement secondaire : R 2 = 25 mΩ
- inductance de fuite du primaire : L 1 = 50 mH
- inductance de fuite du secondaire : L 2 = 100 μH
1- Calculer la tension à vide au secondaire. 2- Calculer la résistance des enroulements ramenée au secondaire RS. 3- Calculer l’inductance de fuite ramenée au secondaire LS. En déduire la réactance de fuite XS.
Le transformateur débite dans une charge résistive R = 1 Ω. 4- Calculer la tension aux bornes du secondaire U 2 et le courant qui circule dans la charge I 2.
Exercice Transfo07 : enroulements d’un transformateur monophasé
Rapport du nombre de spires : N 1 / N 2 = 20 Résistance de l’enroulement du primaire : R 1 = 10 Ω
1- On suppose le transformateur parfait pour les courants : 2
1 1
2 N
N
I
I
Calculer la résistance de l’enroulement du secondaire R 2 pour que les pertes Joule au secondaire soient égales aux pertes Joule au primaire.
R 2 =
2- La résistance R d’un fil électrique est donnée par la relation : S
L
R =ρ
Que désigne ρ?
Que désigne L?
Que désigne S?
3- Les spires du secondaire et du primaire sont de mêmes circonférences. Calculer le rapport entre la section du fil du secondaire et la section du fil du primaire.
S 2 / S 1 =
En déduire le rapport entre le diamètre du fil du secondaire et le diamètre du fil du primaire.
D 2 / D 1 =
4- On note m 1 la masse de cuivre de l’enroulement du primaire et m 2 la masse de cuivre de l’enroulement du secondaire.
Cocher la bonne réponse :
m 1 = m 2 m 1 > m 2 m 1 < m 2
Exercice Transfo08 : transformateur monophasé
Les essais d'un transformateur monophasé ont donné :
A vide : U 1 = 220 V, 50 Hz (tension nominale primaire) ; U2v = 44 V ; P1v = 80 W ; I1v =1 A.
En court-circuit : U1cc = 40 V ; P1cc =250 W ; I2cc =100 A (courant nominal secondaire).
En courant continu au primaire : I 1 = 10 A ; U 1 = 5 V.
Le transformateur est considéré comme parfait pour les courants lorsque ceux-ci ont leurs valeurs nominales.
1- Déterminer le rapport de transformation à vide mv et le nombre de spires au secondaire, si l'on en compte 500 au primaire.
2- Calculer la résistance de l’enroulement primaire R 1.
3- Vérifier que l'on peut négliger les pertes par effet Joule lors de l'essai à vide (pour cela, calculer les pertes Joule au primaire).
4- En admettant que les pertes dans le fer sont proportionnelles au carré de la tension primaire, montrer qu'elles sont négligeables dans l'essai en court-circuit. Faire l’application numérique.
5- Représenter le schéma équivalent du transformateur en court-circuit vu du secondaire. En déduire les valeurs Rs et Xs caractérisant l'impédance interne.
Quels que soient les résultats obtenus précédemment, pour la suite du problème, on prendra
Rs = 0,025 Ω et Xs = 0,075 Ω.
Le transformateur, alimenté au primaire sous sa tension nominale, débite 100 A au secondaire avec un facteur de puissance égal à 0,9 (charge inductive).
6- Déterminer la tension secondaire du transformateur. En déduire la puissance délivrée au secondaire.
7- Déterminer la puissance absorbée au primaire (au préalable calculer les pertes globales). En déduire le facteur de puissance au primaire et le rendement.
En charge, le schéma équivalent du circuit est donc :
Calculer :
- La tension efficace au secondaire V 2
- La chute de tension au secondaire ∆V 2
- Le courant efficace consommé par la charge I 2
- La puissance active consommée par la charge P 2
Corrigés
Exercice Transfo01 : transformateur à vide
Faire le bilan de puissance du transformateur à vide.
P 1 = P 2 + pertes Joule + pertes Fer A vide, la puissance fournie au secondaire est nulle : P 2 = 0 P 1 à vide = pertes Joule + pertes Fer
En déduire que la puissance consommée à vide est sensiblement égale aux pertes fer.
A vide, un transformateur consomme peu de courant : les pertes Joule sont donc négligeables devant les pertes Fer. P 1 à vide ≈ pertes Fer
Exercice Transfo03 : transformateur à point milieu monophasé
1- Le circuit magnétique d'un transformateur permet de canaliser les lignes de champ magnétique entre le primaire et le secondaire.
2- Les deux enroulements ayant le même nombre de spires, les deux tensions ont la même amplitude. De plus, elles sont en opposition de phase à cause de la convention de signe choisie pour les tensions : u 2 (t) = - u 1 (t)
3- Nombre de spires d’un des enroulements du secondaire : 460×(10/230) = 20
Exercice Transfo04 : transformateur de distribution
Un transformateur de distribution possède les caractéristiques nominales suivantes : S2N = 25 kVA, pJoule N = 700 W et pfer = 115 W.
1- Calculer le rendement nominal pour :
P 2 = S 2 cos ϕ 2 La charge est résistive : cos ϕ 2 = P2N = 25000×1 = 25 kW P 1 = P 2 + pertes Joule + pertes Fer = 25000 + 700 +115 = 25,815 kW Rendement nominal : P 2 /P 1 = 96,8 %
- une charge inductive de facteur de puissance 0,
(25000×0,8)/(25000×0,8 + 700 + 115) = 96,1 %
2- Calculer le rendement pour :
- une charge résistive qui consomme la moitié du courant nominal
P 2 = S 2 cos ϕ 2 I 2 = I2N/2 donc : P 2 ≈ P2N/2 ≈ 12,5 kW Les pertes Joule sont proportionnelles au carré des courants (Loi de Joule). 700 ×(1/2)² = 175 W (12500)/(12500 + 175 + 115) = 97,7 %
Autre méthode :
∆U 2 = U2V –U 2 ≈ (RS cos ϕ 2 + XS sin ϕ 2 )I 2 La charge est résistive : cos ϕ 2 = D’où ∆U 2 ≈ RSI 2 (1) D’autre part : U 2 = RI 2 (2) (1) (2) I 2 ≈ U2V/(RS + R) ≈ 225,6 A U 2 ≈ 225,6 V
Exercice Transfo06 : transformateur de commande et de signalisation monophasé
1- Calculer le rendement nominal du transformateur pour cos ϕ 2 = 1 et cos ϕ 2 = 0,3.
(630×1)/(630×1 + 54,8) = 92 %
(630×0,3)/(630×0,3 + 54,8) = 77,5 %
2- Calculer le courant nominal au secondaire I2N.
630/24 = 26,25 A
3- Les pertes à vide (pertes fer) sont de 32,4 W. En déduire les pertes Joule à charge nominale.
Bilan de puissance : 54,8 –32,4 = 22,4 W
En déduire RS, la résistance des enroulements ramenée au secondaire.
Loi de Joule : 22,4 / 26,25² = 32,5 mΩ
4- La chute de tension au secondaire pour cos ϕ 2 = 0,6 (inductif) est de 3,5 % de la tension nominale (U2N = 24 V). En déduire XS, la réactance de fuite ramenée au secondaire.
Chute de tension au secondaire : ∆U 2 = 0,035×24 = 0,84 V ∆U 2 = (RS cos ϕ 2 + XS sin ϕ 2 )I2N
XS = (0,84/26,25 – 0,0325×0,6) / 0,8 = 15,6 mΩ
5- Un court-circuit a lieu à 15 m du transformateur.
Le câble de ligne en cuivre a une section de 1,5 mm².
5-1- Calculer sa résistance totale R sachant que la résistivité du cuivre est : ρ = 0,027 Ω⋅mm²/m.
R = ρL/S = 0,027× 2 ×15/1,5 = 540 mΩ
4-5-2- Montrer que le courant de court-circuit s’écrit : (R R)² X ²
U
I
S S
2 N 2 cc
Schéma électrique équivalent :
jXS^ RS
U2vide^ I2cc
R
Exercice Transfo07 : enroulements d’un transformateur monophasé
Rapport du nombre de spires : N 1 / N 2 = 20 Résistance de l’enroulement du primaire : R 1 = 10 Ω
1- On suppose le transformateur parfait pour les courants : 2
1 1
2 N
N
I
I
Calculer la résistance de l’enroulement du secondaire R 2 pour que les pertes Joule au secondaire soient égales aux pertes Joule au primaire.
R 1 I 1 ² = R 2 I 2 ²
R 2 = = = Ω
25 m 20 ²
N
N
R
2
2
1
1
2- La résistance R d’un fil électrique est donnée par la relation : S
L
R =ρ
Que désigne ρ? résistivité électrique du matériau (en Ω⋅m) Que désigne L? longueur du fil (en m) Que désigne S? section du fil (en m²)
3- Les spires du secondaire et du primaire sont de mêmes circonférences. Calculer le rapport entre la section du fil du secondaire et la section du fil du primaire.
1
1 1
1 1 S
NL
S
L
R =ρ =ρ 2
2 2 S
NL
R = ρ L : longueur moyenne d’une spire.
N
N
R
R
N
N
S
S
2
1 2
1 1
2 1
En déduire le rapport entre le diamètre du fil du secondaire et le diamètre du fil du primaire.
S 1 = πD 1 ²/4 S 2 = πD 2 ²/
20 4 , 47 N
N
S
S
D
D
2
1 1
2 1
4- On note m 1 la masse de cuivre de l’enroulement du primaire et m 2 la masse de cuivre de l’enroulement du secondaire. Cocher la bonne réponse :
m 1 = m 2 m 1 > m 2 m 1 < m 2
( En effet :
Volume de cuivre du primaire : V 1 = L 1 S 1 = N 1 LS 1 Masse de cuivre du primaire : m 1 = ρV 1 = ρ N 1 LS 1 Masse de cuivre du secondaire : m 2 = ρV 2 = ρ N 2 LS 2
S
S
N
N
m
m 2
1 2
1 2
X Z ² R ² 0 , 076
Z R ² X ²
S S S
S S S
Quels que soient les résultats obtenus précédemment, pour la suite du problème, on prendra
Rs = 0,025 Ω et Xs = 0,075 Ω.
Le transformateur, alimenté au primaire sous sa tension nominale, débite 100 A au secondaire avec un facteur de puissance égal à 0,9 (charge inductive).
6- Déterminer la tension secondaire du transformateur. En déduire la puissance délivrée au secondaire.
∆U 2 = (RS cos ϕ 2 + XS sin ϕ 2 )I 2 = 5,5 V U 2 = 44 - 5,5 = 38,5 V P 2 = U 2 I 2 cos ϕ 2 = 3460 W
7- Déterminer la puissance absorbée au primaire (au préalable calculer les pertes globales). En déduire le facteur de puissance au primaire et le rendement.
Pertes globales = 80 + 250 = 330 W P 1 = 3460 + 330 = 3790 W Rendement : 3460 / 3790 = 91 % P 1 = U 1 I 1 cos ϕ 1 = U 1 mv I 2 cos ϕ 1 D’où : cos ϕ 1 = 0,
Exercice Transfo09 : transformateur monophasé
1- Calculer l’impédance Z et le facteur de puissance de la charge.
Z = 1,6871 ohm cos ϕ 2 = 0,
2- Calculer :
- La tension efficace au secondaire V 2
- La chute de tension au secondaire ∆V 2
- Le courant efficace consommé par la charge I 2
- La puissance active consommée par la charge P 2
P VI cos 220 , 0130 , 4 0 , 8436 24,2 kW
V 240 220,0 20,0V
V ZI 220,0V
130,4A
R cos X sin Z
V
I
V ZI
V V (R cos X sin )I
2 2 2 2
2
2 2
S 2 S 2
2 vide 2
2 2
2 vide 2 S 2 S 2 2
= ϕ ≈ ⋅ ⋅ =
ϕ + ϕ +
− ≈ ϕ + ϕ
Autre méthode (calcul exact) :
P 219,7130,2 0,8436 24,1k W
V 240 219,7 20,3V
V 1 , 6871 130,2 219,7V
130,2A
R² X²
R²X
X
R² X²
RX²
R
V
Z
V
I
R² X²
R²X
j X R² X²
RX²
R
avecX L 3 , 14 R jX
jX R Z R jX
2
2
2
2 S
2 S
2 vide totale
2 vide 2
S S
totale S S
= × =
= ω= Ω
