Math. 401 (Fulling) 16 December 2003
Final Examination – Solutions
1. (20 pts.) Classify each of the following equations as linear homogeneous, linear inhomoge-
neous, or nonlinear. Also, classify each as elliptic, parabolic, or hyperbolic.
(a) ∂2u
∂x2+∂2u
∂y2=3u
2
.Ans.: nonlinear, elliptic
(b) ∂u
∂t =∂2u
∂x2−x2u.Ans.: linear homogeneous, parabolic
2. (30 pts.) Find the eigenfunctions for
y00 +λy =0,y(0) = 0,y
0
(π)=−2y(π),
find the eigenvalues approximately by sketching a certain graph, and show how to expand
an arbitrary function f(x) on the interval 0 <x<πas a series in these eigenfunctions.
On general principles we know that λwill be positive, λ=ω2, at least in most cases, to give oscillatory
eigenfunctions. In that case, since y(0) = 0, we have
y(x)=sin(ωx).
The second boundary condition yields ωcos(ωπ)=−2sin(ωπ), or
tan(ωπ)=−ω
2.
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
−1.5
−1.0
−0.5
ω
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Sketching the graphs (and recalling that −1=tan3π
4=tan7π
4=···)weseethatω
1≈.9, ω2≈1.8,
ω3≈2.7, ..., and, in general, ωnis slightly greater than (and increasingly close to) n−1
2(the
location of the vertical asymptote of tan(πω)).
Assume for the moment that there are no negative or zero eigenvlues. Let yn(x)=sin(ω
n
x).
Then
f(x)=
∞
X
n=1
cnyn(x),
where, by the orthogonality theorem for Sturm–Liouville problems,
cn=Rπ
0yn(x)f(x)dx
Rπ
0yn(x)2dx .
