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Conceptos básicos de injectividad, sobreyectividad y bijectividad de una función matemática. Se incluyen ejemplos para ilustrar cómo determinar si una función es inyectiva, sobreyectiva o bijectiva. Además, se presenta un método para probar la inyectividad o sobreyectividad de una función.
Typology: Lecture notes
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Una función es inyectiva (o también se suele decir es uno a uno ) si a valores distintos que toma la variable independiente le corresponden valores distintos de la variable dependiente Una función NO es inyetiva, si a dos o mas elementos del dominio se le asignan el mismo elemento en el rango.
EJEMPLO 1: De las siguientes funciones ¿cual función es inyectiva?
EJEMPLO 2: De las siguientes funciones ¿cual función es sobreyectiva?
Una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.
MÉTODO PARA PROBAR QUE UNA FUNCIÓN ES INYECTIVA O SOBREYECTIVA Sea una función
EJEMPLO 4 : Si consideramos el dominio y rango de la función es todo el conjunto de números reales ℝ. Probar que la función es biyectiva Entonces como nos pide probar que es biyectiva, debemos proar que es al mimo tiempo sobreyectiva e inyectiva INYECTIVIDAD: Tomamos en ℝ, tal que y debemos probar que Entonces como se tiene podemos establecer la siguiente igualdad De esta igualdad debemos probar que Lo hacemos de la siguiente forma Entonces hemos probado que por lo tanto la función es inyectiva
EJEMPLO 5: Si consideramos el dominio y rango de la función es todo el conjunto de números reales ℝ. Probar que la función NO es biyectiva Para probar que una función NO es biyectiva debemos probar que NO es inyectiva o que NO es sobreyectiva, por ser un ejemplo vamos a probar las dos, acalorando que basta con que se cumpla uno simplemente. Recordemos que para probar que NO es sobreyectiva o que NO es inyectiva basta con dar un contraejemplo INYECTIVIDAD: Tomamos en ℝ, evidentemente , pero veamos que por medio de la función a esto dos elementos distintos se le asigna el mismo valor en el rango. Entonces la función NO es inyectiva. SOBREYECTIVIDAD: Tomamos en ℝ, entonces es imposible encontrar un numero real tal que. Esto ocurre porque la función es m es decir, sin importar cual numero yo evalué en la función siempre me va a dar positivo nunca negativo, por tal razón no existe ningún un numero real tal que. Por lo tanto la función no es sobreyectiva.
EJERCICIOS: Probar si las siguientes funciones son inyectivas, sobreyectivas o buyectuvas
