Download Complex Numbers: Definition, Operations, and Goniometric Form and more Summaries Mathematics in PDF only on Docsity!
Appendix A: Complexe getallen
1. Definitie
Beschouw
2 \ en noteer het koppel (1 0), door 1 en het koppel (0 1), door i.
We weten: ∀ , a b ∈ \ : ( a b , ) = a (1 0) , + b (0 1),.
In overeenstemming met de zojuist ingevoerde notatie noteren
we ieder element
2 z = ( , a b )∈ \ als volgt: z = a + bi.
In de notatie z = a + bi noemt men :
a het reëel deel van z ; Re z , en
b het imaginair deel van z ; Im z.
Om veelvuldig gebruik van haken te vermijden, spreken we af dat a + ( − b i ) = a − bi.
^ = { a + bi a b | , ∈} noemt men de verzameling van complexe getallen.
Gelijkheid
∀ ( a b , ) ( , c d , ) ∈ ^ : a + bi = c + di ⇔ a = c en b = d.
Bewerkingen
We voeren een vermenigvuldiging in d.m.v. de volgende, misschien eigenaardig
overkomende, vermenigvuldigingsregel; nl. we stellen
2 i = − 1.
Voor de rest behouden we de traditionele regels en eigenschappen voor de optelling en
vermenigvuldiging in \ en
2 . Zo verkrijgen we:
Som ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d i )
Scalair produkt r a ( + bi ) = ( ra ) + ( rb i ) met r ∈ \
Produkt
2 ( a + bi ) (. c + di ) = ac + adi + bci + bd i = ( ac − bd ) + ( ad + bc i ).
Met deze bewerkingen structureren we ^ tot de commutatieve groep ^, + ⋅,. We weiden
hier niet verder over uit alleen dat ^, +, ⋅beschouwd kan worden als een uitbreiding van de
reële getallen \ , + ⋅,. \ ⊂^ nl. de complexe getallen met imaginair deel gelijk aan nul.
Tegengestelde en omgekeerde
Voor ieder complex getal z = a + bi noemen we − z = − a − bi het tegengestelde van z. − z
is het uniek complex getal waarvoor geldt dat − z + z = z + −( z ) = 0.
Het omgekeerde van een complex getal z = a + bi ≠ 0 definiëren we als het complex getal
z
met de eigenschap :
z z 1 z z
⋅ = ⋅ =. Ook dit omgekeerde complex getal is uniek.
Met de traditionele rekenregels bekomen we:
2 2 2 2 2 2
1
( )( )
a bi a bi a b i a bi a bi a bi a b a b a b
− − = = = −
.
a + bi
a
b
Quotiënt
Het quotiënt van twee complexe getallen definiëren we als volgt:
z z w w z w w
∀ , ∈ ^, ≠ : = ⋅.
Het praktisch rekenwerk verloopt als volgt:
i i i i i i i i
.
2. Goniometrische vorm van een complex getal
2.1 Modulus van een complex getal
Voor ieder complex getal z definiëren we een reëel getal | z |,
dat we de modulus van z noemen als volgt:
2 2 ∀ z = a + bi ∈ ^ :| z |= a + b.
Eigenschappen
Voor z w , ∈ ^ geldt:
(i) | z |≥ 0 en | z |= 0 ⇔ z = 0
(ii) Re z ≤| z | en Im z ≤| z |
(iii) | z w ⋅ |=| z | ⋅ | w |
(iii) | z + w |≤| z | + | w |
2.2 Argument van een complex getal
Zij z = a + bi ∈ ^ 0 met | z |= r. De complexe getallen met
modulus r liggen op een cirkel met als middelpunt de oorsprong
en als straal r.
Opdat een complex getal ( ≠ 0 ) volledig bepaald is in het vlak,
hebben we samen met de modulus nog een tweede
karakteristiek van het complex getal nodig.
Een argument van een complex getal z is een waarde van de georiënteerde hoek α die de
positieve X -as als beginbeen heeft en de halfrechte [o z als eindbeen.
Het argument gelegen in het interval [0, 2 [ π noemen we het hoofdargument, kortweg het
argument.
Uit de rekenregels voor rechthoekige driehoeken weten we: cos en sin
a b
r r
α= α=.
Merk op dat voor z = 0 het argument niet gedefinieerd is.
Opdat twee complexe getallen ( ≠ 0 ) aan elkaar gelijk zijn, moeten de moduli gelijk zijn en de
argumenten op een geheel veelvoud van 2 π na aan elkaar gelijk zijn.
2.3 Goniometrische vorm van een complex getal
Beschouw z = a + bi ∈ ^ 0 met modulus r en een argument α. Meestal neemt men hier het
hoofdargument. Uit het vorige punt weten we dat a = r cos α en b = r sin α zodat
a + bi = r (cos α + i sin α).
Deze uitdrukking noemen we de goniometrische vorm van a + ib.
a + bi
a
b
| z |
a + bi
a
b
| z |
