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Leçon 1 : VECTEURS ET POINTS DU PLAN
COMPETENCE : 3
THEME : GEOMETRIE DU PLAN
Leçon 1 : Vecteurs et points du plan
Nombre de séances : 8h+2h=10h
Tableau des habiletés et contenus
Habiletés Contenus Connaitre -^ La définition d'une combinaison linéaire de vecteurs
- La définition de deux vecteurs colinéaires
- La définition de la norme d'un vecteur
- La définition d'un vecteur unitaire
- La définition d'une base orthonormée
- La définition de la mesure algébrique d'un couple de points
- La définition du déterminant d'un couple de vecteurs
- La définition d'un repère du plan
- Les règles de calcul sur les vecteurs
- La propriété relative à l'existence et à l'unicité du point M tel (OM) = u , où O est un point et u = un vecteur
- La propriété relative à la colinéarité de deux vecteurs
- La propriété fondamentale relative aux coordonnées d'un vecteur
- L'expression de la norme d'un vecteur dans une base orthonormée
- La caractérisation de la colinéarité de deux vecteurs Noter -^ Un vecteur en utilisant une lettre minuscule Ecrire -^ Un vecteur comme combinaison linéaire des vecteurs de bases, connaissant les coordonnées de ce vecteur dans une base Représenter -^ Un vecteur connaissant ses coordonnées Tracer - Une droite connaissant un de ses points et un de ses vecteurs directeurs Construire -^ le point M tel que^ (OM)^ =^ u
- un représentant d'une combinaison linéaire de vecteurs Calculer -^ Le déterminant de deux vecteurs
- La norme d'un vecteur dans une base orthonormée Déterminer -^ Les coordonnées d'un vecteur ou d'une combinaison linéaire de vecteurs dans une base
- Une équation cartésienne de droite en utilisant le déterminant de deux vecteurs Décomposer -^ Un vecteur en combinaison linéaire de deux vecteurs non colinéaires graphiquement ou algébriquement Justifier -^ Que deux droites sont parallèles en utilisant le déterminant de deux vecteurs
- Que des points sont alignés en utilisant le déterminant de deux vecteurs Démontrer -^ Qu'un couple de vecteurs est une base du plan vectoriel v
- L'alignement de trois points en utilisant la colinéarité de deux vecteurs
- Le parallélisme de deux droites en utilisant la colinéarité de deux vecteurs Simplifier -^ Une expression vectorielle en utilisant la relation de Chasles Traiter une situation
- Faisant appel aux vecteurs et points du plan
Situation d'apprentissage :
Une fille en classe de seconde C à IS Lavoisier se rend au supermarché avec son père à bord d'une voiture munie d'un GPS (Global Positioning system). Le GPS lui indique, entres autres, les trajectoires rectilignes possibles et les coordonnées de différentes positions.
La fille veut s'assurer du parallélisme des tronçons Résidence-Salle de sport et Station d'essence- Supermarché.
Elle présente la photo du GPS matérialisé par la figure ci-contre qui n'est pas en grandeur réelle à ses amis de la classe.
Ceux-ci décident de vérifier le parallélisme des deux tronçons sur la base de coordonnées GPS.
I. VECTEURS
1- Définitions et premières propriétés
a) Notation
Activité
2- Norme d'un vecteur
Définition
On appelle norme de 𝑈⃗⃗, la distance AB où le couple (A,B) est un représentant de 𝑈⃗⃗. On note ‖𝑈⃗⃗‖.
On a : ‖𝑈⃗⃗‖ = ‖𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗‖ = 𝐴𝐵
Propriété
Il existe un et un seul vecteur ayant une direction donnée, un sens donné et une norme donnée.
Remarque :
‖𝑢⃗‖ = 0 ⟺ 𝑢⃗ = 0⃗ , en effet, 0⃗ a pour norme 0. Pour tout vecteur 𝑢⃗, ‖𝑢⃗‖ = ‖−𝑢⃗⃗⃗⃗⃗‖ Deux vecteurs de même norme ne sont pas nécessairement égaux.
Exercice d'application
On considère la figure codée ci-dessous. On pose : 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢⃗ ; 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑣 et 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑤⃗⃗
Détermine ‖𝑢⃗‖; ‖𝑣 ‖ et ‖𝑤⃗⃗ ‖
Vecteur unitaire
Définition
On appelle vecteur unitaire tout vecteur de norme 1
Propriété
Pour tout vecteur 𝑢⃗ non nul, il n’existe que deux vecteurs unitaires colinéaires à 𝑢⃗. Ces deux vecteurs sont opposés.
Egalité de Chasles :
Pour tous points A, B et C on a: 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
Inégalité triangulaire
Pour tous vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣 : ‖𝑢⃗ + 𝑣 ‖ ≤ ‖𝑢⃗‖ + ‖𝑣 ‖
Produit d'un vecteur par un nombre réel
Définition
Soit 𝑢⃗ un vecteur non nul, 𝜆 un nombre réel non nul.
Le vecteur 𝜆𝑢⃗ est le vecteur qui a :
Pour direction celle de 𝑢⃗ ; Pour sens celui de 𝑢⃗ si 𝜆 est positif, celui de −𝑢⃗ si 𝜆 est négatif ; Pour norme |𝜆|‖𝑢⃗‖ ; On pose, par ailleurs, pour tout vecteur 𝑢⃗ et tout nombre réel 𝜆 : 0 𝑢⃗ = 0⃗ et 𝜆0⃗ = 0⃗
Règles de calcul
Pour tous vecteurs, 𝑢⃗, 𝑣 et 𝑤⃗⃗ , pour tous nombres réels 𝜆 et 𝜇, on a :
(1) (^) 𝑢⃗ + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢⃗ ; (2) (𝑢⃗ + 𝑣 ) + 𝑤⃗⃗ = 𝑢⃗ + (𝑣 + 𝑤⃗⃗ )
(3) (𝜆 + 𝜇)𝑢⃗ = 𝜆𝑢⃗ + 𝜇𝑢⃗ ; (4) 𝜆(𝑢⃗ + 𝑣 ) = 𝜆𝑢⃗ + 𝜆𝑣
(5) 𝜆(𝜇𝑢⃗) = (𝜆 × 𝜇)𝑢⃗ ; (6) 1𝑢⃗ = 𝑢⃗
(7) (^) 𝜆𝑢⃗ = 0⃗ ⟺ 𝜆 = 0 𝑜𝑢 𝑢⃗ = 0⃗ ; (8) (^) 𝜆𝑢⃗ ≠ 0⃗ ⟺ 𝜆 ≠ 0 𝑒𝑡 𝑢⃗ ≠ 0⃗
Propriété
Soit 𝑢⃗ et 𝑣 deux vecteurs.
𝑢⃗ et 𝑣 sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel 𝜆 tel que : 𝑣 = 𝜆𝑢⃗ ou 𝑢⃗ = 𝜆𝑣
Exercice d'application
On donne les vecteurs 𝑎 = 𝑖 − 2𝑗 ; 𝑏⃗ = 2𝑖 + 3𝑗 et 𝑢⃗ = −
1
Montrer que 𝑢⃗ et 𝑎 sont colinéaires.
Ecrire 𝑗 comme combinaison linéaire des vecteurs 𝑎 et 𝑏⃗.
Parallélisme et alignement
Propriété :
Dire que (AB) est parallèle à (CD) équivaut à dire qu’il existe un nombre réel k non nul tel que
𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ Dire que les points distincts A, B et C sont alignés équivaut à dire qu’il existe un nombre réel k tel
que 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
Exercice d'application
Soit ABC un triangle. D et E deux points du plan tels que 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
3 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗^ et^ 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗
Montrer que 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ et en déduire que les points A, C et E sont alignés.
Montrer que les droites (BE) et (CD) sont parallèles.
Vecteurs directeurs d'une droite
Définition
On appelle vecteur directeur d’une droite (D) tout vecteur non nul 𝑢⃗ ayant même direction que (D). On dit que (D) est dirigée par 𝑢⃗.
Remarque
- Si la droite (D) est dirigée par 𝑢⃗ , les vecteurs directeurs de (D) sont k𝑢⃗ où k est nombre réel non nul. Une droite admet donc une infinité de vecteurs directeurs tous colinéaires entre eux.
- Si A et B sont des points de (D) dirigée par 𝑢⃗ , alors 𝑢⃗ et 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires.
Caractérisation vectorielle du centre de gravité d'un triangle
Activité
Soit ABC un triangle. Construire les points A', B' et C' les milieux respectifs de [BC]; [CA] et [AB]. Construire le point G, point de concours des droites (AA'); (BB') et (CC').
- Que représente le point G?
- Montrer que 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 23 𝐴𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗
- En déduire que 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ puis 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
- Montrer que G est unique (On considèrera un autre point M tel que 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ et on montrera que 3𝑀𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗)
Propriété
Le centre de gravité d’un triangle ABC est l’unique point G tel que : 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
Exercice d'application
ABC un triangle de centre de gravité G.
Montrer que pour tout point N du plan, 𝑁𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑁𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑁𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Remarque :
𝐴𝐵̅̅̅̅ + 𝐵𝐶̅̅̅̅ = 𝐴𝐶̅̅̅̅ n'a de sens que si les points A, B et C sont alignés ; 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 n'est vérifiée que si B appartient [𝐴𝐶]
Exercices
III. BASES ET REPERES
1. Base du plan vectoriel V
a) Définition
On appelle base du plan vectoriel V tout couple de vecteurs non colinéaires.
b) Coordonnées d'un vecteur
Propriété fondamentale
Soit 𝑖 et 𝑗 deux vecteurs non colinéaires. Pour tout vecteur 𝑢⃗ , il existe un et un seul couple de nombres réels (x;y) tel que : 𝑢⃗ = 𝑋𝑖 + 𝑌𝑗
Définition
Soit (𝑖, 𝑗) une base de V et 𝑢⃗ un vecteur. Le seul couple de nombres réels (x ; y) vérifiant
𝑢⃗ = 𝑋𝑖 + 𝑌𝑗 est appelé couple de coordonnées de 𝑢⃗ dans la base (𝑖, 𝑗). On écrit : 𝑢⃗ (𝑥𝑦) ou 𝑢⃗(𝑥; 𝑦)
dans (𝑖, 𝑗)
Application :
ABCD est un parallélogramme de centre O.
- Justifier que (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗) est une base de V
- Dans cette base, déterminer les coordonnées des vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
c) Norme d'un vecteur dans une base orthonormée
Définition
Deux vecteurs sont orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires ou si l’un au moins est nul. Une base est dite orthonormée lorsqu’elle est constituée de deux vecteurs unitaires orthogonaux.
Propriété
Si 𝑢⃗ (𝑦𝑥) dans une base orthonormé, alors ‖𝑢⃗‖ = √𝑥^2 + 𝑦^2
Remarque :
Cette propriété n'est applicable que dans une base orthonormée.
Exercice d'application
- ABC est un triangle. Justifier que (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) est une base de V
- Soit 𝑉⃗ (^34 ) dans la base orthonormée (𝑎, 𝑏⃗) a. Ecrire 𝑉⃗ comme combinaison linéaire de 𝑎 et 𝑏⃗ b. calculer‖𝑉⃗ ‖ dans la base (𝑎, 𝑏⃗)
Déterminant de deux vecteurs
Définition
Exercice d'application
Leçon 2 : ENSEMBLE DES NOMBRES REELS
COMPETENCE : 2
THEME : CALCULS ALGEBRIQUES
Leçon 2 : ENSEMBLE DES NOMBRES
Nombre de séances : 10h+2h=12h
Tableau des habiletés et contenus
Habiletés Contenus Connaitre -^ La définition d'un majorant d'un ensemble non vide de R
- La définition d'un minorant d'un ensemble non vide de R
- La définition d'un maximum d'un ensemble non vide de R
- La définition d'un minimum d'un ensemble non vide de R
- La définition de la valeur absolue d'un nombre réel
- La distance de deux nombres réels
- Les propriétés relatives à la valeur absolue d'un nombre réel Déterminer -^ Un majorant d'un sous-ensemble non vide de R quand c'est possible
- Un minorant d'un sous-ensemble non vide de R quand c'est possible
- Le maximum d'un sous-ensemble non vide de R quand c'est possible
- Un minimum d'un sous-ensemble non vide de R quand c'est possible Comparer -^ Deux nombres réels Résoudre - Algébriquement une équation du type x-a = r
- Graphiquement une équation du type x-a = r
- Algébriquement une inéquation du type x-a r
- Graphiquement une inéquation du type x-a = r Démontrer -^ Une propriété en utilisant le raisonnement par l'absurde Traiter une situation
- Faisant appel aux nombres réels
Situation d'apprentissage :
Pendant les vacances, un élève orienté en classe de seconde C fait des recherches sur les nombres et apprend à maitriser sa calculatrice scientifique qu'il a reçue comme cadeau.
Il découvre le nombre e appelé constance d'Euler et le nombre d'or noté. Ces nombres sont tels que :
Il souhaiterait savoir à quel ensemble appartient chacun des nombres e et puis, donner à l'aide de sa calculatrice un encadrement par deux réels consécutifs d'ordre 5 de leur somme.
Malheureusement, il n'y est pas parvenu.
A la rentrée, il explique ses trouvailles a ses amis de classe qui décident de l'aider en effectuant des calculs sur les nombres réels.
I. ENSEMBLE DES NOMBRES REELS
1. Ensemble des nombres rationnels et irrationnels
a) Nombres rationnels
Définition
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme de
(a 𝜖 ℝ et b 𝜖 ℝ*).
L'ensemble des nombres rationnels est noté ℚ
Exemple :
sont des nombres rationnels.
b) Nombres irrationnels
Définition
Un nombre est irrationnel lorsqu’il n’est pas rationnel.
Les nombres irrationnels ne peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible.
Exemples :
c) Nombres réels
L'ensemble des nombres rationnels et celui des nombres irrationnels est appelé l'ensemble des nombres réels. Il est noté ℝ.
L'ensemble des nombres irrationnels est noté ℝ ∖ ℚ
2. principe du raisonnement par l'absurde pour démontrer l'irrationalité de √
a) principe du raisonnement par l'absurde
Donc (^) √2 est un nombre irrationnel.
Rappel sur les calculs dans ℝ
a) Quotients
Définition
Soit a un nombre réel, b un nombre réel non nul.
Le quotient de a par b est l'unique réel x tel que : bx=a. on le note
Propriétés
Pour tous nombres réels a, b, c et d tels que b et d ne soient pas nuls, on a :
Si de plus 𝑐 ≠ 0
b) Puissances
Définition
soit a un nombre réel, n un nombre entier naturel non nul.
On pose : 𝑎𝑛^ = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎
De plus si ≠ 0 , on pose : 𝑎−𝑛^ = (^) 𝑎^1 𝑛 et 𝑎^0 = 1
Propriétés
Pour tous nombres entiers relatifs m, n et pour tous nombres réels non nuls a, b, on a :
( 1 ) 𝑎 𝑏 +^
𝑐 𝑑 =^
𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑏𝑑
( 2 ) 𝑎 𝑏 ×^
𝑐 𝑑 =^
𝑎𝑐 𝑏𝑑 ( 3 ) 𝑎 𝑏 =^
𝑐 𝑑 ⟺^ 𝑎𝑑^ =^ 𝑏𝑐
( 4 ) 1 𝑐 𝑑
=
𝑑
𝑐 (^5 )
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
𝑎
𝑏 ×^
𝑑
𝑐 =^
𝑎𝑑 𝑏𝑐
( 1 ) 𝑎𝑚𝑎𝑛^ = 𝑎𝑚+𝑛 ( 2 ) 𝑎𝑚 𝑎𝑛^ =^ 𝑎
𝑚−𝑛 (^) ( 3 ) (^) (𝑎𝑚)𝑛 (^) = 𝑎𝑚𝑛
c) racines carrés
Définition
Soit a un nombre réel positif.
A est l'unique nombre réel dont le carré est a
Propriété
Pour tous nombres réels positifs a, b et pour tout nombre entier naturel n, on a :
Propriété
Pour tout nombre réel positif a et tout nombre réel x, on a :
𝑥^2 = 𝑎 ⟺ 𝑥 = √𝑎 𝑜𝑢 𝑥 = −√𝑎
II. ORDRE DANS ℝ
1. Ordre et opérations
a) Définitions
Soit a et b deux nombres réels ;
a est inférieur ou égal à b signifie que b-a est un nombre réel positif ; a est strictement inférieur à b signifie que b-a est un nombre réel strictement positif.
b) Propriétés
Propriété 1
Pour tous nombres réels a, b et c on a :
(1) 𝑎 ≤ 𝑎
( 4 ) (𝑎𝑏)𝑛^ = 𝑎𝑛𝑏𝑛^ ( 5 ) (^) (𝑎 𝑏)
𝑛
𝑎𝑛 𝑏𝑛^
( 6 ) (−𝑎)𝑛^ =
𝑎𝑛 si
( 1 ) √𝑎𝑏 = (^) √𝑎√𝑏 (^) ( 2 ) √𝑎 𝑏 =^
√𝑎 √𝑏
(𝑠𝑖 𝑏 ≠ 0 )
( 3 ) (^) (√𝑎)𝑛^ = √𝑎𝑛
- Quel est le plus petit élément de l’ensemble A?
.Ce nombre est aussi un……………………………………….………………………………………de A. On dit que …………………….…….….……...… est le…………………………………de l’ensemble A.
d) Majorant et minorant
Définition
Soit A un sous ensemble non vide dℝe
On dit qu’un nombre réel M est un majorant de A si M est supérieur ou égal à tous les éléments de A. Un ensemble qui admet un majorant est dit majoré. On dit qu’un nombre réel m est un minorant de A si m est inférieur ou égal à tous les éléments de A. Un ensemble qui admet un minorant est dit minoré.
e) Maximum et minimum
Définition
Soit A un sous ensemble non vide deℝ
Lorsqu’il existe, le plus grand élément de A est appelé maximum de A. Lorsqu’il existe, le plus petit élément de A est appelé minimum de A.
Remarques
Lorsqu’il existe, le maximum d’un sous ensemble de ℝ est unique. Lorsqu’il existe, le minimum d’un sous ensemble deℝ est unique. Soit A un sous ensemble non vide de ℝ et M un nombre réel. M est le maximum de A si et seulement si M est un majorant de A appartenant à A. Soit A un sous ensemble non vide de ℝ et m un nombre réel. m est le minimum de A si et seulement si m est un minorant de A appartenant à A. Un sous-ensemble majoré de ℝ n’admet pas nécessairement de maximum Un sous-ensemble minoré de ℝ n’admet pas nécessairement de minimum.
III. VALEUR ABSOLUE
1. Définitions et propriétés
a) Définition
Soit a un nombre réel. Le plus grand des deux nombres réels a et – a est appelé valeur absolue de a et est |𝑎|
Propriétés
Activité
Compléter le tableau ci-dessous
a b |𝑎|^ |𝑏|^ |𝑎 − 𝑏|^ |𝑎|^ + |𝑏|^ |𝑎𝑏|^ |𝑎|^ × |𝑏|^ √𝑎^2 |𝑎| |𝑏|
Propriétés :
Pour tous nombres réels a et b et pour tout nombre réel strictement positif r on a :
(1) |𝑎| ≥ 0 (7) |𝑎𝑏| = |𝑎||𝑏|
(2) |𝑎| = 0 ⟺ 𝑎 = 0 (8) (^) 𝑠𝑖 𝑏 ≠ 0, |^1 𝑏| = (^) |𝑏|^1
a si 𝑎 ≥ 0
(4) |𝑎| = (10) |𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|
a si 𝑎 < 0 (𝑖𝑛é𝑔𝑎𝑙𝑖𝑡é 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒)
(5) |𝑎| = |𝑏| ⟺ 𝑎 = 𝑏 𝑜𝑢 𝑎 = −𝑏 (11) |𝑎| ≤ 𝑟 ⟺ −𝑟 ≤ 𝑎 ≤ 𝑟
(6) √𝑎^2 = |𝑎|
b) Distance de deux nombres réels
Définition
Soit x et y deux nombres réels.
Le nombre réel |𝑥 − 𝑦| est appelé distance de x et y.
