Strutture algebriche – Generalità sugli insiemi. Unione, intersezione e differenza di insiemi. n-uple
ordinate e prodotto cartesiano di insiemi. Corrispondenze tra insiemi. Applicazioni tra insiemi.
Applicazioni iniettive, suriettive e biettive. Applicazioni invertibili e loro caratterizzazione. Inversa
di un’applicazione. Operazioni in un insieme e loro proprietà. Strutture algebriche: gruppi, anelli e
campi.
Spazi vettoriali – Spazi vettoriali su un campo. Esempi di spazi vettoriali: lo spazio dei vettori
applicati e dei vettori liberi; lo spazio vettoriale numerico; lo spazio dei polinomi a coefficienti reali;
spazi di funzioni. Sottospazi di uno spazio vettoriale. Sottospazi generati da sottoinsiemi.
Intersezione, somma e somma diretta di sottospazi. Dipendenza ed indipendenza lineare. Sistemi
di generatori e spazi vettoriali finitamente generati. Il lemma di Steinitz (senza dimostrazione).
Basi e loro caratterizzazione. Esistenza ed equipotenza delle basi (con dimostrazione solo nel caso
di spazi vettoriali finitamente generabili). Componenti di un vettore in una base. Estrazione di una
base da un sistema di generatori ed estensione a base di un sistema di vettori indipendente.
Dimensione di uno spazio vettoriale. Relazioni tra la dimensione dello spazio vettoriale e quella di
un suo sottospazio. La formula di Grassmann.
Applicazioni lineari – Applicazioni lineari tra spazi vettoriali e loro proprietà. Il teorema
fondamentale delle applicazioni lineari. Nucleo ed immagine di un’applicazione lineare. Teorema
della dimensione. Monomorfismi, epimorfismi, isomorfismi. Isomorfismo coordinato.
Spazi euclidei – Prodotto scalare e spazi vettoriali euclidei reali. Disuguaglianza di Cauchy-
Schwartz e disuguaglianza triangolare (senza dimostrazione). Angolo tra due vettori e vettori
ortogonali. Il teorema di Pitagora. Insiemi ortogonali e ortonormali, e loro lineare indipendenza.
Basi ortogonali e ortonormali. Coefficienti di Fourier e proiezione ortogonale. Il processo di
ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio.
Matrici e sistemi lineari – Matrici su un campo. Operazioni tra matrici e loro proprietà: lo spazio
vettoriale delle matrici e l’anello delle matrici quadrate. Matrici a scala. Algoritmo di Gauss ed
algoritmo di Gauss-Jordan. Determinante di una matrice quadrata e Primo Teorema di Laplace
(senza dimostrazione). Il Secondo Teorema di Laplace. Il teorema di Binet (senza dimostrazione).
Metodi di calcolo del determinante. Matrici invertibili e gruppo lineare. Caratterizzazione delle
matrici invertibili in termini di determinante. Metodi di calcolo della matrice inversa. Dipendenza
lineare nello spazio vettoriale numerico e rango di una matrice. Il teorema degli orlati (senza
dimostrazione). Generalità sui sistemi lineari. Soluzioni di un sistema lineare, sistemi equivalenti e
ricerca delle soluzioni di un sistema lineare. Il teorema di Rouchè-Capelli e il teorema di Cramer. I
sistemi lineari omogenei. Sottospazio delle soluzioni di un sistema omogeneo e rappresentazione
cartesiana di sottospazi vettoriali. Relazione tra le soluzioni di un sistema lineare e le soluzioni del
sistema omogeneo ad esso associato.
Diagonalizzazione di endomorfismi e matrici – Matrice associata ad un’applicazione lineare e
applicazione lineare associata ad una matrice. Matrice associata alla composizione di due
applicazioni lineari e matrice associata all’inversa di un’applicazione lineare invertibile. Matrice del
cambio di riferimento. Matrici simili ed effetto del cambiamento di riferimento sulla matrice
associata ad un endomorfismo. Autovalori ed autovettori di un endomorfismo. Autospazi.
Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore e loro relazione.
Diagonalizzabilità di un endomorfismo. Caratterizzazione degli endomorfismi diagonalizzabili in
termini di radici del polinomio caratteristico: il teorema spettrale. Matrici diagonalizzabili.
Geometria analitica nel piano e nello spazio – Riferimenti affini e coordinate dei punti (nel piano e
nello spazio affine euclideo). Rappresentazione parametrica ed equazioni cartesiane di rette e
piani (nel piano e nello spazio affine euclideo). Posizioni reciproche tra rette e piani. Condizioni di
parallelismo ed ortogonalità. Fasci di rette nel piano. Fasci di piani nello spazio. Comune
perpendicolare tra rette nello spazio. Distanze.
