Cambodian High School Mathematics Olympiad, Schemes and Mind Maps of Mathematics

Download Cambodian High School Mathematics Olympiad and more Schemes and Mind Maps Mathematics in PDF only on Docsity!

េគឱ្យស្វ�ីត {b n } មាន b 1 = 2 , b n+ 1

3 b n

2 b n

, n ∈ N ។ រក b n ជាអនុគមន៍ៃន n។

ដំបូងេយីង្រត�វេដាះ្រសាយសមី ការ λ =

3 λ + 4

2 λ + 3

λ =

3 λ + 4

2 λ + 3

⇒ 2 λ

2

• 3 λ = 3 λ + 4 ⇒ λ = ±

េនាះ

b n+ 1

b n+ 1

3 b n

2 (2b n

3 b n

2 (2b n

2

2

b n

b n

តាង c n

b n

b n

, n ∈ N េនាះ c n+ 1

4

· c n និង c 1

2

េយីងបាន c n

2

4(n−1)

4 n− 2

ែត

b n

b n

= c n

b n

1 + c n

1 − c n

⇒ b n

4 n− 2

4 n− 2

ផលបូក n តួដបូងៃនស្វ�ីត {a n

} គឺ S

n

= −a n

n− 1

• 2 , n ∈ N។ រក a n

ជាអនុគមន៍ៃន

n។

•េបី n = 1 េយីងបាន a 1 = −a 1

េនាះ a 1

•េបី n ≥ 2

ក)្រ សាយបញ្ជក់ថា ចំេពាះ្រគប់ a អនុគមន៍ែដលឱ្យមកមានតៃម្លអតិ បរមា និងអប្បបរមាជានិ ច្ច

េយីងមាន y =

x

3

• (cosa − 3 sina)x

2

− 8(cos 2 a + 1)

⇒ y

′

= 2 x

2

• 2(cosa − 3 sina)x − 8(cos 2 a + 1)

េបី y

′

= 0 ⇔ 2 x

2

• 2(cosa − 3 sina)x − 8(cos 2 a + 1) = 0

ឬ x

2

• (cosa − 3 sina)x − 8 cos

2

a = 0 (1)

ពិនិត្យ : ∆ = (cosa − 3 sina)

2

• 32 cos

2

a > 0 ចំេពាះ្រគប់ a

េនាះសមីការ (1) មានឫសពីរេផ្សងគា្នចំេពាះ្រគប់ a

ដូចេនះ ចំេពាះ្រគប់ a អនុគមន៍ែដលឱ្យមកមានតៃម្លអតិ បរមា និងអប្បបរមាជានិ ច្ច

ខ)្រ សាយបញ្ជក់ថា x

2

1

• x

2

2

េយីងមាន x

2

1

• x

2

2

= (x 1

• x 2

2

− 2 x 1 x 2

េដាយ x 1 , x 2 ជាឫសៃនសមីការ x

2

• (cosa − 3 sina)x − 8 cos

2

a = 0

េនាះ

x 1

• x 2 = −(cosa − 3 sina)

x 1

x 2

= − 8 cos

2

a

េយីងបាន x

2

1

• x

2

2

= (cosa − 3 sina)

2

• 16 cos

2

a

= cos

2

a − 6 sinacosa + 9 sin

2

a + 16 cos

2

a

= 17 cos

2

a + 9

1 − sin

2

a

− 3 sin 2 a

= 8 cos

2

a + 9 − 3 sin 2 a

1 + cos 2 a

• 9 − 3 sin 2 a

= 13 + 4 cos 2 a − 3 sin 2 a ≤ 13 +

2

• 3

2 = 18 ពិត

Euler's Theorem: េគឱ្យ a, m ∈ Z ែដល m ≥ 1 ។ េបី (a, m) = 1 េនាះ

a

φ(m)

≡ 1 (mod m)។

10

• 9

10

2

10

100

6

≡ 1 (mod7)

10

≡ 9

4

≡ 3

8

≡ 3

2

≡ 2 (mod7)

10

2

10

10

10

≡ 2 (mod7)

ឧបមាថាពិតដល់ n = k គឺ 9

10

k

≡ 2(mod7)

ពិនិត្យ : n = k + 1

10

k+ 1

10

k

10

10

≡ 2 (mod7)

10

n

≡ 2 (mod7)

10

• 9

10

2

10

100

≡ 2 · 100 ≡ 4 (mod7)

ដូចេនះ សំណល់ R = 7

CauchySchwartz Inequality:

ចំេពាះចំនួនពិត a 1 , a 2 , ..., a n និង b 1 , b 2 , ..., b n :

(a 1 b 1

• a 2 b 2
• ... + a n b n

2

≤

a

2

1

• a

2

2

• ... + a

2

n

b

2

1

• b

2

2

• ... + b

2

n

។

េលីសពីេនះេបី a 1

, a 2

, ..., a n

មិនសូន្យ្រពមគា្ន េនាះសមភាពេកី តមានកាលណាមានចំនួន

េថរ k ែដល b i

= ka i

ចំេពាះ i = 1 , 2 , 3 , ..., n។

វិបាក ១:

n ∑

i= 1

a

2

i

b i

n

i= 1

a i

2

n

i= 1

b i

ែដល a 1 , a 2 , ..., a n , b 1 , b 2 , ..., b n

n ∑

i= 1

b i

វិបាក ២:

n ∑

i= 1

a i

b i

n

i= 1

a i

2

n

i= 1

a i

b i

ែដល a 1 , a 2 , ..., a n , b 1 , b 2 , ..., b n

n ∑

i= 1

a i

b i

វិបាក ៣:

n ∑

i= 1

a i

n ∑

i= 1

b i

n ∑

i= 1

a i b i ែដល a 1 , a 2 , ..., a n , b 1 , b 2

b n

រង្វង់ចារឹកក្ន�ង្រតីេកាណ ABC ប៉ះជាមួយ្រជុង AB, AC និង BC េរៀងគា្ន្រតង់ចំណុច C

1

, B

1 និង

A

1

។្រ សាយបញ្ជក់ថា

AB

1

AB

BC

1

BC

CA

1

CA

។

1 + c

2 c(c + 1) + 1

1 + c

2 c + c + 1

ពិត

េគឱ្យចំនួនគត់វិជ្ជមាន n > 1 ។្រ សាយបញ្ជក់ថា

(n − 1)

n < 3 ។

ចំេពាះ្រគប់ចំនួនគត់វិ ជ្ជមាន k :

k =

k

2

k

2 − 1

1 + (k − 1)(k + 1)

1 + (n − 1)(n + 1)

1 + (n − 1)

(n + 1)

2 >

(n − 1)

n ពិត

រេបៀបមួយេទៀត:

(n − 1)

n <

(n − 1)

(n + 1)

2

(n − 2)

(n − 1)(n + 1) <

(n − 2)

n

2

2 < 3 ពិត

េគឱ្យ a, b, c, d ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន។្រ សាយបញ្ជក់ថា a

4

• b

4

• c

4

• d

4

≥ 4 abcd

• 4(a − b)

2

abcd។

េយីងមាន

abcd ≤ 2(ab + cd) (វិសមភាព AMGM )

េនាះ 4 abcd + 4(a − b)

2

abcd ≤ 4 abcd + 2(a − b)

2

(ab + cd)

េយីងបាន a

4

• b

4

• c

4

• d

4

=

a

2

− b

2

2

• c

4

• d

4

• 2 a

2

b

2

a

2

− b

2

2

• 2 c

2

d

2

• 2 a

2

b

2

េយីងនិង្រសាយថា

a

2

− b

2

2

• 2 c

2

d

2

• 2 a

2

b

2

≥ 4 abcd + 2(a − b)

2

(ab + cd)

េដាយ 4 abcd + 2(a − b)

2

(ab + cd) = 4 abcd + 2

a

2

− 2 ab + b

2

(ab + cd)

= 4 abcd +2(a−b)

2

ab+ 2

a

2

• b

2

cd − 4 abcd = 2(a−b)

2

ab+ 2

a

2

• b

2

cd

វិសមភាពែដល្រត�វ្រសាយេទជា:

a

2

− b

2

2

• 2 c

2

d

2

• 2 a

2

b

2

≥ 2(a − b)

2

ab + 2

a

2

• b

2

cd

a

2

− b

2

2

− 2(a − b)

2

ab = (a − b)

2

a

2

• 2 ab + b

2

− 2 ab

= (a − b)

2

a

2

• b

2

(a − b)

2

(a + b)

2

=

a

2

− b

2

2

ដូេច្នះ េយីង្រគាន់ែត្រសាយថា :

a

2

− b

2

2

• 2 c

2

d

2

• 2 a

2

b

2

≥ 2

a

2

• b

2

cd

a

2

• b

2

2

a

2

• b

2

cd + 2 c

2

d

2

≥ 0

a

2

• b

2

2

a

2

• b

2

cd + 4 c

2

d

2

≥ 0

a

2

• b

2

− 2 cd

2

សមភាពេកីតមានកាលណា a = b = c = d។

O និង H ជាផ្ចិតរង្វង់ចារឹកេ្រក និងអរតូសង់ៃន្រតីេកាណ ABC។្រ សាយបញ្ជក់ថា :

ក)

OA +

OB +

OC =

OH ខ)

HA +

HB +

HC = 2

HO។

ែតក្នុង្រតី េកាណ ABM, cosA =

AM

AB

AM

c

ឬ AM = ccosA

sinC =

ccosA

AH

ឬ AH =

c

sinC

· cosA

ឬ AH = 2 RcosA (េ្រពាះ

a

sinA

b

sinB

c

sinC

= 2 R) (4)

តាម (2)&(4) េយីងបាន 2 OD = AH

េហីយេដាយ AH និង OD សុទ្ធែតែកងនឹង BC េនាះ AH ∥ OD

េនាះ

AH = 2

OD (5)

OA +

OB +

OC =

OA +

AH =

OH

ខ)

HA +

HB +

HC = 2

HO

េយីងបាន

HA +

HB +

HC =

HA + 2

HD = 2

DO + 2

HD = 2

DO +

HD

HD +

DO

HO

The Euler Line and Euler Formula:

បនា្ទត់អឺែលរ (The Euler Line of a triangle) ភា្ជប់ពីផ្ចិតរង្វង់ចារឹកេ្រក

េទផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្នុង។ េគមាន្រតី េកាណ ABC មួយ។ O និង I ជាផ្ចិតរង្វង់ចារឹកេ្រក

និងចារឹកក្នុងៃន្រតី េកាណេនះ។ R និង r ជាកាំេរៀងគា្នៃនរង្វង់ចារឹកេ្រក និ ងចារឹកក្នុង។្រ

បែវង OI =

R(R − 2 r)។

A

B C

I

O

S

T

N

D

∠DIC =

A

C

= ∠DCI

|DI| = |DC| = 2 Rsin

A

|IN|

|IA|

= sin

A

; |AI| =

r

sin

A

តាង |OI| = x

េយីងបាន |S I| · |IT | = |AI| · |ID|

(R + x)(R − x) =

r

sin

A

· 2 Rsin

A

x

2

= R

2

− 2 Rr

x =

R

2 − 2 Rr

ដូចេនះ ចមា្ងយរវាងផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្នុង និងផ្ចិតរង្វង់ចារឹកេ្រកគឺ x =

R(R − 2 r)

េយីងអាចតំេរៀប្រតី េកាណទាំងេនះ េដីម្បី បេង្កីតជាអដ្ឋេកាណថ្មី មានៃផ្ទេស្មីអដ្ឋេកាណចាស់។

sinβ =

2 r

= sin

π

− α

cosα − sinα

2 r

cosα − sinα

2 = 2 r(cosα − sinα)

sinα

(cosα − sinα)

េនាះ cotα =

េហីយ cotβ = cot

π

− α

cotα + 1

cotα − 1

cotβ =

• កម្ពស់ៃន្រតី េកាណ OAB : h 1 = 2 cotα = 2 ×

• កម្ពស់ៃន្រតី េកាណ OCD : h 2

cotβ =

ៃផ្ទ្រកឡាអដ្ឋេកាណ S = 4

4 h 1

• 3 h 2

្រសាយបញ្ជក់ថា a

log b

c

= c

log b

a

។

េយីងបាន a

log b

c

= a

log b

a×log a c

=

a

log a c

log b

a

⇒ a

log b c

= c

log b a

ពិត

បងា្ហញថា េបើ α, β, γ ជាមុំៃន្រតីេកាណ ABC េនាះ cosα + cosβ + cosγ ≤

។

តាង

BC

= a,

CA

= b,

AB

= c

េយីងមាន

AB ·

BC = −cacosβ,

BC ·

CA = −abcosγ,

CA ·

AB = −bccosα

BC

a

CA

b

AB

c

2

= 3 − 2(cosα + cosβ + cosγ) ≥ 0

េនាះ cosα + cosβ + cosγ ≤

ពិត

្រសាយបញ្ជក់ថា

n

n

n + 1

n+ 1

(n ជាចំនួនគត់ធម្មជាតិ)។

េយីងអនុវត្តវិសមភាព

a 1

• a 2

• ... + a n

• a n+ 1

n + 1

n+ 1

a 1 a 2 ...a n a n+ 1

(a 1

, a 2

, ..., a n+ 1

េដាយយក a 1

= a 2

= ... = a n

n

និង a n+ 1

េយីងបាន

n+ 1

n

n

n

n

n + 1

n + 1

េនាះ

n

n

n + 1

n+ 1

(n ជាចំនួនគត់ធម្មជាតិ)

េបើ a 1 , a 2 , ..., a n ជា n ចំនួនគត់វិជ្ជមានខុសៗគា្ន្រ សាយបញ្ជក់ថា

(

1 + a 1

• a

2

1

1 + a 2

• a

2

2

1 + a n

• a

2

n

a 1

a 2

...a n

n

។

ចំេពាះ a > 0 េយីងបាន

1 + a + a

2

a

= 1 + a +

a

≥ 1 + 2 េ្រពាះ a +

a

េនាះ

1 + a i

• a

2

i

a i

≥ 3 ចំេពាះ i = 1 , 2 , ..., n

1 + a 1

• a

2

1

a 1

1 + a 2

• a

2

2

a 2

1 + a n

• a

2

n

a n

≥ 3 × 3 × ... × 3

n ដង

គណនា lim

n→+∞

cos

a

n

• xsin

a

n

n

។

តាង t =

a

n

េនាះ n =

a

t

េពល n → +∞ េនាះ t → 0

lim

n→+∞

cos

a

n

• xsin

a

n

n

= lim

t→ 0

(cost + xsint)

a

t

= lim

t→ 0

[1 + (cost − 1 + xsint)]

a

t

= lim

t→ 0

(1 + (cost − 1 + xsint))

cost − 1 + xsint

a

t

= e

a lim t→ 0

cost − 1 + xsint

t = e

a lim t→ 0



       

cost − 1

t

+x·

sint

t



       

= e

a(0+x)

= e

ax

េដាះ្រសាយក្ន�ងសំណុំចំនួនពិត R ្របព័ន្ធសមីការ

tan

2

x + 2 cot

2

2 y = 1

tan

2

y + 2 cot

2

2 z = 1

tan

2

z + 2 cot

2

2 x = 1

។

ចំេពាះចំនួនពិត φ េគបាន

2 cot

2

2 φ = 2

cos

2

φ − sin

2

φ

2 sinφcosφ

tan

2

φ + cot

2

φ − 2

តាង a = tan

2

x, b = tan

2

y, c = tan

2

z ែដល a, b, c ជាចំនួនពិត្រ

បព័ន្ធសមី ការអាចសរេសរេទជា

a +

b +

b

b +

c +

c

c +

a +

a

សន្មត់ a ≥ b ≥ c េនាះ a +

a

≤ b +

b

≤ c +

c

េដាយ x +

x

≥ 2 ចំេពាះ្រគប់ចំនួនពិ តវិជ្ជមាន x េនាះតាម (1) េគបាន 0 < a, b, c ≤ 1

អនុគមន៍ f (x) = x +

x

ចុះក្នុងចេនា្លះ (0, 1] េហីយេដាយ a +

a

≤ b +

b

≤ c +

c

េយីងទាញបាន a = b = c។

េយីង្រត�វកំណត់ u ∈ (0, 1] ែដលេផ្ទ�ងផា្ទត់សមីការ

u +

u +

u

=⇒ 3 u

2

− 4 u + 1 = 0 ឬ (u − 1)(3u − 1) = 0

 ករណី u − 1 = 0 ⇐⇒ u = 1

េគបាន tan

2

x = 1 េនាះ x =

π

• k ·

π

 ករណី 3 u − 1 = 0 ⇐⇒ u =

េគបាន tan

2

x =

េនាះ x = ±

π

• k · π

ដូចេនះ ចេម្លីយ (x, y, z) ៃន្របព័ន្ធសមី ការគឺ

(

π

• k 1

π

π

• k 2

π

π

• k 3

π

និង

π

• k 1

· π, ±

π

• k 2

· π, ±

π

• k 3

· π

ែដល k 1

, k 2

, k 3

ជាចំនួនេថរេសរី

M ជាចំណុច មួយេនេល ើ ឬេនក្ន�ងរង្វង់កាំ R។ តាម M េគគូសអង្កត់ធ្ន�ពីរែកងគា្ន AC និង BD។

រកតៃម្លធំបំផុត និងតៃម្លតូចបំផុតរបស់ផលបូក S = AC + BD ។

(iv) (w + u, x, y + v, z) = D(w, x, y, z) + F(u, x, v, z) ែដល k, u, v, w,

x, y និង z ជាចំនួនពិត។

កំណត់ D(a, b, c, d) ជាអនុគមន៍ៃន a, b, c និង d។

តាម (iii): D(1, 1 , 0 , 0) = −D(1, 1 , 0 , 0) =⇒ D(1, 1 , 0 , 0) = 0

D(0, 0 , 1 , 1) = −D(0, 0 , 1 , 1) =⇒ D(0, 0 , 1 , 1) = 0

តាម (iii) និង (i): D(0, 1 , 1 , 0) = −D(1, 0 , 0 , 1) = − 1

េគអាចសរេសរ

D(a, b, c, d) = D(a + 0 , b, 0 + c, d) = D(a, b, 0 , d) + D(0, b, c, d) (តាម (iv))

= aD(1, b, 0 , d) + cD(0, b, 1 , d) (តាម (ii))

= −aD(b, 1 , d, 0) − cD(b, 0 , d, 1) (តាម (iii))

= −a (D(b, 1 , 0 , 0) + D(0, 1 , d, 0))−c (D(b, 0 , 0 , 1) + D(0, 0 , d, 1)) (តាម (iv))

= −ab (D(1, 1 , 0 , 0) − adD(0, 1 , 1 , 0)) − cb (D(1, 0 , 0 , 1) − cdD(0, 0 , 1 , 1))

(តាម (ii))

= −ab(0) − ad(−1) − bc(1) − cd(0) = ad − bc

ដូចេនះ D(a, b, c, d) =

a c

b d

បងា្ហញថា A =

n + 1

C(2n, n) ជាចំនួនគត់ ចំេពាះ n = 1 , 2 , 3 , ... ។

េគមាន A =

n + 1

C(2n, n) =

(2n)!

n!(n + 1)!

A =

(2n)!

n!(n + 1)!

((n + 1) − n) =

(2n)!(n + 1)

n!(n + 1)!

(2n)!n!

n!(n + 1)!

(2n)!

(n!)

2

(2n)!

(n − 1)!(n + 1)!

= C(2n, n) − C(2n, n − 1)

េដាយ C(2n, n) និង C(2n, n − 1) ជាចំនួនគត់ េនាះ A = C(2n, n) − C(2n, n − 1)

ជាចំនួនគត់

P ជាចំណុចមួយេនក្ន�ង្រតីេកាណ ABC មួយ។ បនា្ទត់ AP ជួប BC ្រតង់ I បនា្ទត់ BP ជួប CA

្រតង់ J េហើយបនា្ទត់ CP ជួប AB ្រតង់ K ។

បងា្ហញថា

PA

PI

×

PB

PJ

PB

PJ

×

PC

PK

PC

PK

×

PA

PI

A

B

C

P

K

I

J

តាង S = S

△ABC

, S

1

= S

△PBC

, S

2

= S

△PAC

, S

3

= S

△PAB

េគបាន S = S

1

+ S

2

+ S

3

េដាយ △ABC&△PBC មាន្រជ�ងរួម BC =⇒

AI

PI

S

S

1

PA

AI

AI − PI

PI

AI

PI

S

S

1

S

2

+ S

3

S

1

តាមរេបៀបដូចគា្ន

PB

PJ

S

3

+ S

1

S

2

PC

PK

S

1

+ S

2

S

3

េគអាចសរេសរ

PA

PI

×

PB

PJ

PB

PJ

×

PC

PK

PC

PK

×

PA

PI

(S

2

+ S

3

) (S

3

+ S

1

S

1

S

2

(S

3

+ S

1

) (S

1

+ S

2

S

2

S

3

(S

1

+ S

2

) (S

2

+ S

3

S

3

S

1

S

3

S

1

S

1

S

3

2

S

3

S

1

S

2

S

3

S

1

S

2

S

2

S

1

S

2

1

S

2

S

3

S

2

2

S

3

S

1

S

2

3

S

1

S

2

S

3

S

1

S

1

S

3

2

S

3

S

1

S

2

S

3

S

1

S

2

S

2

S

1

S

3

1

+ S

3

2

+ S

3

3

S

1

S

2

S

3