Informatique mathématique, Study notes of Mathematics

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Département de mathématiques Cégep Édouard-Montpetit

201-924-EM

Mathématiques pour informatique

Notes de cours

Auteurs : Jean-Philippe Beauchamp Daniel Drolet

Hiver 2023

ii

Section 1.2. Modulo 5

Définition 1.1 Division euclidienne

Soit a et b deux nombres réels, avec b non nul. Effectuer la division euclidienne de a par b , c’est déterminer les deux nombres q et r tels que a = b × q + r , où q est un entier et 0 ≤ r < b , ou b < r ≤ 0 dans le cas où b est un nombre négatif. Le nombre a est appelé le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.

Devoirs

Lire la section 1.1 dans le manuel et faire les exercices de la section 1.1.

Section 1.2 : Modulo

Définition 1.2 Fonction modulo en informatique

La fonction Modulo donne comme résultat le reste de la division euclidienne de deux nombres. Nous noterons a mod b = c pour indiquer que le reste de la division euclidienne de a par b donne c.

Cette fonction est présente dans tous les langages informatiques, généralement sous l’appellation « mod » ou « % ». Par contre, selon les langages, il peut être impossible de diviser des nombres qui ne sont pas entiers.

Attention

Peu importe les nombres utilisés dans la fonction a mod b = c , nous obtiendrons 0 ≤ c < b si b > 0 b < c ≤ 0 si b < 0.

Exemple 1. Calculer les modulos suivants.

a) 88 mod 7

Section 1.2. Modulo 7

Pour tous les nombres qui ne sont pas entiers, le principe est le même.

Exemple 1. Calculer 542 , 35 mod 18 , 05.

Exemple 1. Si l’horloge indique 8h, quelle heure indiquera-t-elle dans 1000 heures?

Devoirs

Lire la section 1.2 dans le manuel et faire les exercices de la section 1.2.

Section 1.3. Systèmes de numération 8

Section 1.3 : Systèmes de numération

Définition 1.3 Base d’un système de numération

Le nombre d’états ou encore le nombre de symboles utilisés dans un système de numération donné est appelé base de ce système.

Système décimal

Dans le système décimal, nous utilisons les 10 symboles de 0 à 9. Conséquemment, nous pouvons exprimer tout nombre décimal comme une somme de puissances de 10.

La partie entière est toujours située à gauche de la virgule et l’exposant associé à la position sera un entier supérieur ou égal à 0. Tous les symboles situés à droite de la virgule représentent la partie fractionnaire du nombre et l’exposant associé à une position sera toujours un entier négatif.

Nous nommerons entier décimal un nombre entier écrit sous la forme décimale et un nombre décimal fractionnaire un nombre avec une partie fractionnaire écrit sous la forme décimale.

Exemple 1. Écrire 1 234 , 567 8 en puissances de 10 et identifier la partie entière et la partie fractionnaire.

Il est toujours possible de représenter un nombre dans une certaine base b comme une somme de puissances de cette base.

Théorème 1.1 Forme exponentielle

Soit un nombre arbitraire représenté dans une certaine base b dont la partie entière est ( anan − 1_... a_ 0 ) b et la partie fractionnaire est ( c 1_... cm_ ) b. Alors,

( anan − 1_... a_ 0 ,c 1_... cm_ ) b

= ( an × bn ) + ( an − 1 × bn −^1 ) + · · · + ( a 0 × b^0 ) + ( c 1 × b −^1 ) + · · · + ( cm × b − m ).

Section 1.3. Systèmes de numération 10

Système binaire

Tout comme le système décimal ou hexadécimal, le système binaire est un système à posi- tions.

Définition 1.4 Système binaire

Le système binaire est un système positionnel en base 2, c’est-à-dire qu’il n’utilise que deux états, soit le 0 et le 1.

Exemple 1. Écrire les nombres binaires suivants sous la forme décimale.

a) (10 011 011) 2

b) (111 001 , 010 1) 2

Devoirs

Lire la section 1.3 dans le manuel et faire les exercices de la section 1.3.

Section 1.4. Conversion d’un nombre décimal vers une autre base 11

Section 1.4 : Conversion d’un nombre décimal vers une autre base

Conversion d’entiers en base 10 vers le système hexadécimal Jusqu’à maintenant nous avons vu la conversion d’un nombre hexadécimal vers son penchant décimal. Qu’en est-il du passage d’un nombre entier décimal vers un nombre hexadécimal?

Exemple 1. Décomposer le nombre 3 179 en puissances de 16 dans le but de l’écrire sous la forme hexadécimale.

Exemple 1. En utilisant la division euclidienne, écrire 4 012 sous la forme hexadécimale.

Algorithme de conversion de la partie entière

1. Écrire le nombre entier décimal dans la colonne de gauche du tableau.
2. Effectuer la division euclidienne du nombre entier décimal avec la valeur de la base.
3. Inscrire le quotient dans la colonne de gauche et le reste dans la colonne de droite.
4. Effectuer la division euclidienne du quotient précédent avec la valeur de la base.
5. Répéter l’étape précédente jusqu’à ce que le quotient soit égal à 0.
6. Le résultat s’obtient seulement avec les restes des divisions euclidiennes et il se lit du bas vers le haut.

Section 1.4. Conversion d’un nombre décimal vers une autre base 13

Conversion de la partie fractionnaire d’un nombre en base 10 vers le système hexa- décimal Pour convertir un nombre décimal avec une partie fractionnaire vers le système hexadécimal, il est fastidieux de décortiquer la partie fractionnaire du nombre décimal en puissances de 16. Par conséquent, nous allons expliciter le sens de l’algorithme.

Étant donné que la conversion d’un nombre décimal vers le système hexadécimal consiste à construire des groupements de 16 (puissances de 16), il est primordial d’obtenir la forme expo- nentielle pour obtenir l’écriture en hexadécimal.

Exemple 1. Décomposer le nombre 0 , 546 875 en puissances de 16 dans le but de l’écrire en hexadécimal.

Algorithme de conversion de la partie fractionnaire

1. Écrire la valeur de la base avec le symbole de la multiplication dans la colonne de gauche et la partie fractionnaire décimale dans la colonne de droite du tableau.
2. Effectuer la multiplication de la valeur de la base avec le nombre fractionnaire décimal de départ.
3. Inscrire la partie entière dans la colonne de gauche et la partie fractionnaire dans la colonne de droite à la 2 e^ ligne.
4. Effectuer la multiplication de la valeur de la base avec le nombre fractionnaire décimal de la ligne précédente.
5. Répéter l’étape précédente jusqu’à ce que la partie fractionnaire soit égale à 0 (si le nombre de symboles est fini).
6. Le résultat s’obtient seulement avec les parties entières et il se lit de haut vers le bas.

Section 1.4. Conversion d’un nombre décimal vers une autre base 14

Exemple 1. En utilisant l’algorithme de conversion, écrire 0 , 783 203 125 en hexadécimal.

Attention

Il est possible que la conversion d’un nombre décimal fractionnaire vers une autre base ne s’exprime pas avec un nombre fini de symboles. Autrement dit, l’écriture dans une base peut être périodique.

Exemple 1. En utilisant l’algorithme de conversion, écrire 0 , 33 en hexadécimal.

Section 1.4. Conversion d’un nombre décimal vers une autre base 16

Conversion de la partie fractionnaire d’un nombre en base 10 vers le système binaire La conversion de la partie fractionnaire d’un nombre en base 10 vers le système binaire se fait de la même manière qu’avec le système hexadécimal.

Exemple 1. En utilisant l’algorithme de conversion, écrire 0 , 597 656 25 sous la forme binaire.

Exemple 1. En utilisant l’algorithme de conversion, écrire 0 , 7 sous la forme binaire.

Devoirs Lire les pages des sections 1.4.3 et 1.4.4 du manuel. Faire les exercices # 3 et 4 de la section 1.4.

Section 1.5. Conversion de la forme binaire vers hexadécimal et vice-versa 17

Section 1.5 : Conversion de la forme binaire vers hexadécimal et vice-versa

La conversion entre les systèmes binaire et hexadécimal est plus délicate. En effet, on utilisera une table de correspondance afin de substituer dans le nombre étudié son code binaire. Voici les tableaux de conversion :

Hexadécimal Binaire 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111

Hexadécimal Binaire 8 1000 9 1001 A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111

Exemple 1. Écrire ( B 3 C, 597 F ) 16 en binaire.

Exemple 1. Écrire (10 1101 , 1100 1) 2 sous la forme hexadécimale.

Effectuer les additions binaires suivantes.

• 1 Systèmes de numération et opérations Table des matières
  • 1.1 Division
  • 1.2 Modulo
  • 1.3 Systèmes de numération
  • 1.4 Conversion d’un nombre décimal vers une autre base
  • 1.5 Conversion de la forme binaire vers hexadécimal et vice-versa
  • 1.6 Opérations binaires
  • 1.7 Arithmétique de l’ordinateur
• 2 Réponses
• Section 1.1. Division
• c) 789 ÷
• d) 7 , 87 ÷ 2 ,
• Section 1.6. Opérations binaires
• Exemple 1.
• a) (10 011 101) 2 + (1 110 101)
• b) (11 011 , 011) 2 + (1 101 , 001 1)

Section 1.6. Opérations binaires 20

Remarque

Il est souvent facile de vérifier les réponses obtenues en effectuant les calculs en base 10. Évidemment, une telle démarche ne serait pas acceptée en examen, mais permettrait tout de même de vérifier que vos calculs sont exacts.

Soustraction binaire Pour soustraire deux nombres binaires, on procède essentiellement de la même manière qu’en base dix. Voici la table de la soustraction binaire :

− 0 1 0 0 E 1 1 0

Exemple 1. Effectuer les soustractions binaires suivantes.

a) (11 011) 2 − (110) 2

b) (10 010 011) 2 − (11 101) 2

c) (101 011 , 011) 2 − (1 101 , 001 1) 2