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MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR REPUBLIQUE DE COTE D'IVOIRE ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE Union - Discipline - Travail DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIFUR (DGES) ” Concours CAE session 2022 nstitul National Polytechnique Composition : Mathématiques 1 Félix Houphouét — Boigny x . 1 PRCT DES CONGOTG (algébre, — = proba, informatique) urée : jeures Dans ce devoir, il sera tenu compte de la présentation de la copie et de la clarté du raisonnement dans la notation. Les trois (3) exercices sont indépendants. Si un éléve repére dans I'¢noncé ce qui peut lui sembler étre une erreur, il le signalera sur sa copie et poursuivra I'épreuve en justifiant les décisions qu'il aura été amené a prendre. Consignes pour les candidats EXERCICE 1 a@oee 6 100 Pour tout triplet de réels (a,b,c), on pose Mape=|o atb c]letI=]01 0 b c a 00 1 1) Justificr que pour tout triplet de réels (a, b,c) la matrice Maye est diagonalisable. 2) Ou pose B= { Mane » (a,b,c) € R*} Montrer que # est un R-espace vectoricl dont on déterminera une base et la dimension. 3) On pose C = Moo, et h Vendomorphisme de R* de matrice C dans la base canonique de R®. a) Calculer C? ct C%. Donner un polynéme annulateur de C. b) En déduire les valeurs propres et les sous-espaces propres de h. c) Donner une base de R® formée de vecteurs propres pour h et orthonormée pour le produit scalaire canonique de R? 4) On pose B = Mp,19 et g l’endomorphisme de R* de matrice B dans la base canonique de R°. a) Montrer que g et hk commutent. b) Montrer que tout vectour propre de h est aussi un vecteur propre de g. c) En déduire que g et h sont diagonalisables dans unc méme base. d) Donner les valeurs propres de g. 5) a) Exprimer M,»,- en fonction de 1, B,C ct des réels a,b ct ¢. b) En déduire les valeurs propres et les sous-espaces propres de Mape- 6) Soit ¢ un récl fixé. On considére l’application ¢, : R® x R* — R telle que pour tous triplets de réels (x,y, 2) et , = 2 (a',y',2'), on a de ((z,9.2), (x',y', #)) ='X Mz1¢X' avec X = | y | et X’= | ! On pose u = (—1,0, 1), ue = (1, V2, 1) et us = (1,-V2, 1). a) Montrer que ¢, est une forme bilinéaire symétrique de Rr’. b) Calculer les six (6) valeurs ,(w;,uj;) pour 1 0 eb de(ug, us) > 0| ewe 3 5 : d) Déterminer l’ensemble des réels ¢ tels que ¢, définisse un produit scalaire sur R’. CAE Mathématiques! (Sam 21/05 18.30-18.30) Page 1 sur 3 
