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Travaux dirigés de Commande optimale
Mastère professionnelle
ISSAT Kairouan
2011-
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5
Correction TD : Commande optimale
Correction Ex 1 1)
L’expression du critère et du Hamiltonien sont donnés par :
0
2
2
0
0
(^
)^
(^
(^
),^
)^
(^
T t
x^
u
J t
X T
T^
L X t
U t
t dt
=^
=^
+^
2
2
(^
(^
(^
T
x
x^
u
H X t
U t
t^
t^
L X t
U t
t^
f^
X t
U t
t
=^
&
Le Hamiltonien est donné par :
2
2
H^
x^
u^
u λ
=^
+^
Les conditions d’optimalités sont : er 1 condition :
H
x^
f^
x t
u t
t^
u
∂^ λ =^
=^
ème 2
condition donne le système adjoint :
H
x
x
λ^
&^
(a)
ème 3
condition de stationnarité :
H^
u u
λ
=^
=^
∂^
(b)
ème 4
condition : Le temps final est connu
T^
=^
et l’état final
(1) x
est libre d’où
dT
et
dx
, la condition (6) impose alors : {
(^
)^ {
0
0
0
0
T
T^
T
X^
X^
t^
t
dX
H
dT
φ^
φ^
≠^
=
=^
=
^
+^
−^
+^
+^
+^
^
^
^
Soit
(^
)^
T
λ^
λ =^
Le système à résoudre est :
a^
x
b^
λ x
λ
^
^
Correction Ex2 1)
C’est un problème de C.O linéaire quadratique à état final libre.
La représentation d’état du système est :
x t
Ax t
Bu t
=^
avec :
A^
B
^
^
=^
^
^
^
^
Travaux dirigés de Commande optimale
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Le critère est de la forme :
(^
0
0
(^
)^
T
T^
T^
T
t
J t
X^
S^
X^
X QX
U
RU
dt
=^
+^
avec
11
12
11
12
21
22
21
22
(3)
,^
q^
q^
s^
s
R^
Q
S
q^
q^
s^
s
^
^
^
=^
=^
^
^
^
^
^
^
On a :
(^
)^
11
12
1
2
2
1
2
1
2
1 2
21
22
2
T^
q^
q^
x
X QX
x^
x^
x^
x^
x x
q^
q^
x
^
=^
=^
+^
^
^
soit
11 22 21
12
12
21
q q q^
q^
q^
q
^
^
+^
=^
=^
Q
^
=^
^
^
^
est
définit
positive.D’autre part on a :
(^
(^
11
12
1
1
2
21
22
2
2
2
1
2
T^
s^
s^
x
X^
S^
X^
x^
x^
s^
s^
x
x^
x
^
=^
^
^
=^
soit
11 22 12
21
(3)
s s s^
s
^
^
=^
S^
^
=^
^
^
^
est
définit
positive.
La résolution du problème de C.O linéaire quadratique à état finallibre nécessite la détermination de l’équation de Ricatti suivant :
1
,^
T^
T
S^
Q
A S
SA
SBR
B S
t
−
−^
=^
+^
+^
&^
p
avec
11
12
21
22
( )
s^
t^
s^
t
S t
s^
t^
s^
t
^
=^
^
^
d’où le système d’équations différentielle couplées suivant :
2
11
12
12
11
12
22 2
22
12
22
s^
t^
s^
t
s^
t^
s^
t^
s^
t s
t
s^
t^
s^
t^
s^
t
^
^
^
avec les conditions terminales :
11 22 12
21
(3)
s s s^
s
^
^
=^
Le gain de Kalman est alors :
(^
)^
11
12
1
12
22
( )
T^
s^
t^
s^
t
G t
R^
B S t
s^
t^
s^
t
−^
^
=^
=^
^
^
d’où
(^
12
22
G t
s^
t^
s^
t
Correction Ex3 A.
Partie 1 :
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(^
1
2 2
1
2
(^
)^
(^
x^
x x^
T^
t^
T^
T
^
=^
−^
avec
1
1
2
2
(0) x (0) x
ξ^ ξ
^
D’où :
(^
*^2
2
1
2
0
(^
)^
(^
t
x^
t^
x^
T^
t^
T^
T u dt
λ
λ
−^
=^
−^
^
^
Soit :
*^
2
2
1
1
2
2
(^
)^
(^
)^
(^
x^
t^
T t
T Tt
T t
λ
λ
λ^
ξ
=^
−^
−^
+^
1
2
1
1
2 0
t
x^
x^
x^
t^
x^
x^
t dt
=^
−^
=^
& D’où :
*^
3
2
2
1
1
1
2
2
1
(^
)^
(^
)^
(^
x^
t^
T t
T Tt
T t
t
λ
λ
λ
ξ^
ξ
=^
−^
−^
+^
+^
Sachant que :^1
(^
)^
x T
et^
x^
T^
=^
, les conditions terminales
(^1
) T
λ^
et
) T
peuvent êtres déterminés à partir de (1) et (2) pour
t^
T
=^
1
1
2
3
2
(^
) T
T^
T
λ
ξ^
ξ
=^
+^
2
1
2
(^
) T
T^
T
λ
ξ^
ξ
−^
En remplaçant (3) et (4) dans (1) et (2), on trouve
*( ) x t 1
et
*( ) x^2
t^
en
fonction des conditions terminales. B.
Partie 2 :
Il s’agit d’un problème de C.O à temps final libre.
Le Hamiltonien est donné par :
(^
(^
(^
T
H X t
U t
t^
t^
L X t
U t
t^
f^
X t
U t
t
=^
Soit :
2
1 2
2
H
u^
x^
u
λ^
λ
=^
+^
+^
Détermination des conditions terminales : La détermination de
T
nécessite l’utilisation des conditions terminales.
En effet, le temps final
T
étant libre,
dT
, à partir de la condition
d’optimalité suivante :
(^
)^
(^
¨^0
(^ )
0
T
T^
T
X^
X^
t^
t H T
dX
H
dT
φ^
φ^
=^
=
+^
−^
+^
+^
+^
Nous avons :
(^
)^
H T
où encore sachant que
x T
et
x^
T^
=^
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2
2
(^
)^
(^
u 2
T^
T u T λ +^
+^
or
2
(^
)^
(^
u T
T
, on obtient alors :
2 (^2
)^
T
λ^
Connaissant
) T
λ^
T
et (3)
(^1
) T
λ^
