commande des procedes industrielle, Essays (university) of Automatic Controls

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COMMANDE DE PROCÉDÉS

Prof. D. Bonvin

ÉCOLE POLY TECHNIQUE

FÉDÉRALE DE LAUSANNE

Lausanne

Février 2009

h

OM

q e

N

M h c

q s

Régulateur

TABLE DES MATIÈRES

PRÉFACE ................................................................................. III

X Commande de procédés

• 1.1 Systèmes dynamiques...................................................... CHAPITRE 1 INTRODUCTION À LA COMMANDE
  • 1.1.1 Notion de système
  • 1.1.2 Propriétés des systèmes
• 1.2 Commande automatique
  • 1.2.1 Idée de base
  • 1.2.2 Exemple: commande de température
  • 1.2.3 Eléments d’une boucle de commande
  • 1.2.4 Objectifs de la commande
• 1.3 Exercices résolus
• 1.4 Symboles utilisés
• 2.1 Modèles mathématiques CHAPITRE 2 MODÉLISATION MATHÉMATIQUE
  • 2.1.1 Domaines d’applications
  • 2.1.2 Classes de modèles mathématiques.....................
  • 2.1.3 Procédure de modélisation physique
  • 2.1.4 Types de variables
• 2.2 Cuve chauffée avec volume constant...............................
  • 2.2.1 Suppositions
  • 2.2.2 Bilan de masse.....................................................
  • 2.2.3 Bilan d’énergie
  • 2.2.4 Grandeurs caractéristiques
• 2.3 Cuve chauffée avec volume variable
  • 2.3.1 Suppositions
  • 2.3.2 Bilan de masse.....................................................
  • 2.3.3 Bilan d’énergie
  • 2.3.4 Grandeurs caractéristiques
  • 2.3.5 Simplification du modèle.....................................
  • 2.3.6 Cas particulier: cuve isotherme...........................
• 2.4 Réacteur agité à marche continue....................................
  • 2.4.1 Suppositions
  • 2.4.2 Bilan de masse.....................................................
  • 2.4.3 Bilan molaire pour le composant A
  • 2.4.4 Bilan molaire pour le composant B
  • 2.4.5 Bilan d’énergie VI Commande de procédés
  • 2.4.6 Grandeurs caractéristiques
  • 2.4.7 Modèle à l’état stationnaire
• 2.5 Colonne d’absorption
  • 2.5.1 Suppositions
    • (en phase liquide) sur le plateau i 2.5.2 Bilan massique pour le composant absorbé
  • 2.5.3 Grandeurs caractéristiques
  • 2.5.4 Simulation du système dynamique......................
• 2.6 Modèle d’état...................................................................
  • 2.6.1 Concept d’état......................................................
  • 2.6.2 Sélection des variables d’état
  • 2.6.3 Représentation générale
  • 2.6.4 Modèle d’état linéaire et stationnaire
  • 2.6.5 Exemple: Cuve de mélange.................................
• 2.7 Simulation d’un modèle d’état
• 2.8 Approximation linéaire d’un modèle non linéaire...........
  • 2.8.1 Introduction
  • 2.8.2 Procédure de linéarisation
  • 2.8.3 Exemples
• 2.9 Exercices résolus
• 2.10 Symboles utilisés
• 3.1 Introduction CHAPITRE 3 FONCTION DE TRANSFERT
• 3.2 Transformation de Laplace
  • 3.2.1 Définition.............................................................
  • 3.2.2 Existence
• 3.3 Transformée de Laplace de signaux choisis
  • 3.3.1 Saut unité.............................................................
  • 3.3.2 Rampe..................................................................
  • 3.3.3 Exponentielle.......................................................
  • 3.3.4 Sinus et cosinus
  • 3.3.5 Impulsion de Dirac
  • 3.3.6 Dictionnaire de la transformation de Laplace
• 3.4 Propriétés de la transformation de Laplace
  • 3.4.1 Dérivation temporelle
  • 3.4.2 Intégration temporelle
  • 3.4.3 Translation dans le domaine de Laplace..............
  • 3.4.4 Translation dans le temps
  • 3.4.5 Linéarité...............................................................
  • 3.4.6 Valeur finale (régime stationnaire)
  • 3.4.7 Valeur initiale (comportement initial)
  • 3.4.8 Dérivation dans le domaine de Laplace...............
  • 3.4.9 Grammaire de la transformation de Laplace
• 3.5 Exemples de transformées de Laplace.............................
  • 3.5.1 Echelon de durée finie Table des matières VII
  • 3.5.2 Réponse exponentielle.........................................
  • 3.5.3 Transformation de Laplace inverse......................
• 3.6 Concept de Fonction de transfert.....................................
  • 3.6.1 Définition.............................................................
    • constants 3.6.2 Equations différentielles linéaires à coefficients
  • 3.6.3 Systèmes multivariables
  • 3.6.4 Domaine temporel et domaine de Laplace
• 3.7 Transformation de Laplace inverse..................................
  • 3.7.1 Introduction
  • 3.7.2 Eléments simples.................................................
    • au même dénominateur 3.7.3 Décomposition en éléments simples par réduction
    • par la méthode des résidus................................... 3.7.4 Décomposition en éléments simples
  • 3.7.5 Cas particuliers
• 3.8 Exercices résolus
• 3.9 Symboles utilisés
• 4.1 Définitions préliminaires CHAPITRE 4 ANALYSE TEMPORELLE
  • 4.1.1 Introduction
    • caractéristique...................................................... 4.1.2 Gain statique, pôles et zéros, équation
  • 4.1.3 Ordre d’un système
• 4.2 Etude d’un système simple: salle chauffée......................
  • 4.2.1 Variables écart
  • 4.2.2 Modélisation du système
  • 4.2.3 Fonctions de transfert
  • 4.2.4 Réponse de T ( t ) à un saut unité de P ( t )
  • 4.2.5 Réponse de T ( t ) à un saut unité de T ext( t )
  • 4.2.6 Remarque importante concernant les notations...
• 4.3 Système du premier ordre................................................
  • 4.3.1 Représentation
  • 4.3.2 Réponse indicielle
  • 4.3.3 Réponse impulsionnelle
  • 4.3.4 Réponse à une rampe...........................................
  • 4.3.5 Réponse harmonique
• 4.4 Système intégrateur du premier ordre
  • 4.4.1 Représentation
  • 4.4.2 Réponse indicielle
  • 4.4.3 Exemple...............................................................
• 4.5 Système du deuxième ordre sans zéro.............................
  • 4.5.1 Représentation
  • 4.5.2 Réponse indicielle
  • 4.5.3 Systèmes oscillants et non oscillants................... VIII Commande de procédés
  • 4.5.4 Identification de la fonction de transfert..............
• 4.6 Relation entre position des pôles et réponse temporelle..
• 4.7 Exercices résolus
• 4.8 Symboles utilisés
• 5.1 Types de commande CHAPITRE 5 COMMANDES ÉLÉMENTAIRES
  • 5.1.1 Commande manuelle...........................................
  • 5.1.2 Commande en boucle ouverte
  • 5.1.3 Commande en boucle fermée
  • 5.1.4 Réduction de schémas fonctionnels
• 5.2 Exemple: régulation de température................................
  • 5.2.1 Modélisation........................................................
    • de commande....................................................... 5.2.2 Analyse des éléments de la boucle
• 5.3 Commande tout-ou-rien...................................................
• 5.4 Commande proportionnelle
  • 5.4.1 Fonction de transfert du régulateur proportionnel
  • 5.4.2 Statisme
  • 5.4.3 Saturation du régulateur
  • 5.4.4 Effet de la consigne T c( t ) sur T ( t )
  • 5.4.5 Effet de la perturbation T e( t ) sur T ( t )
  • 5.4.6 Action directe ou inverse?...................................
• 5.5 Commande intégrale........................................................
• 5.6 Commande dérivée
• 5.7 Commande proportionnelle-intégrale..............................
  • 5.7.1 Fonction de transfert du régulateur PI
  • 5.7.2 Effet de la consigne T c( t ) sur T ( t )
  • 5.7.3 Effet de la perturbation T e( t ) sur T ( t )
• 5.8 Commande proportionnelle-intégrale-dérivée.................
  • 5.8.1 Fonction de transfert du régulateur PID
  • 5.8.2 Effet de la consigne T c( t ) sur T ( t )
  • 5.8.3 Effet de la perturbation T e( t ) sur T ( t )
  • 5.8.4 Effets des termes P , I et D du régulateur PID
• 5.9 Dimensionnement des régulateurs P , PI et PID
  • 5.9.1 Caractéristiques souhaitées du système bouclé
    • (choix de K R, τI et τD) 5.9.2 Dimensionnement du régulateur
  • 5.9.3 Méthode empirique en boucle fermée
  • 5.9.4 Méthode de Ziegler-Nichols................................
  • 5.9.5 Spécification du système bouclé..........................
  • 5.9.6 Exemple...............................................................
• 5.10 Exercices résolus
• 5.11 Symboles utilisés
• 6.1 Définition et critère de stabilité DES SYSTÈMES BOUCLÉS
  • 6.1.1 Définition.............................................................
  • 6.1.2 Critère de stabilité
  • 6.1.3 Exemples
• 6.2 Critère de stabilité de Routh-Hurwitz..............................
  • 6.2.1 Principe................................................................
  • 6.2.2 Exemples
  • 6.2.3 Approximation d’un retard pur............................
• 6.3 Performance d’un système bouclé...................................
  • 6.3.1 Objectifs de la commande
  • 6.3.2 Asservissement et régulation...............................
• 6.4 Exercices résolus
• 6.5 Symboles utilisés
• 7.1 Compensation de perturbations CHAPITRE 7 COMMANDES AVANCÉES
  • 7.1.1 Principe................................................................
  • 7.1.2 Exemple: échangeur de chaleur
  • 7.1.3 Conception du régulateur FF...............................
• 7.2 Commande de rapport
• 7.3 Commande en cascade.....................................................
  • 7.3.1 Principe................................................................
    • d’un brûleur 7.3.2 Exemple: régulation de la température
  • 7.3.3 Analyse de la commande en cascade...................
  • 7.3.4 Propriétés de la commande en cascade
  • 7.3.5 Conception d’une commande en cascade............
• 7.4 Exercices résolus
• 7.5 Symboles utilisés
• 8.1 Eléments d’une commande numérique............................ CHAPITRE 8 COMMANDE NUMÉRIQUE
  • 8.1.1 Commande analogique ou commande numérique?
  • 8.1.2 Différents types de signaux
  • 8.1.3 Conversion de signaux.........................................
  • 8.1.4 Exemple: commande numérique de température
• 8.2 Régulateur PID numérique
  • 8.2.1 Loi de commande
  • 8.2.2 Choix des paramètres du régulateur numérique
• 8.3 Filtrage des signaux bruités
  • 8.3.1 Filtre de garde......................................................
  • 8.3.2 Filtre numérique
• 8.4 Choix de la période d’échantillonnage - de production chimique 8.5 Commande numérique d’une unité
  • 8.6 Symboles utilisés
  • 9.1 Les organes de mesure (capteurs).................................... CHAPITRE 9 ORGANES DE MESURE ET DE COMMANDE
    • 9.1.1 Caractéristiques d’un organe de mesure..............
    • 9.1.2 Types de signaux normés utilisés dans l’industrie
    • 9.1.3 Capteurs de température......................................
    • 9.1.4 Capteurs de pression............................................
    • 9.1.5 Capteurs de débit
    • 9.1.6 Capteurs de niveau...............................................
    • 9.1.7 Capteurs de concentration ionique
    • 9.1.8 Capteurs de composition chimique
  • 9.2 Les organes de commande (actionneurs).........................
    • 9.2.1 Vanne automatique
    • 9.2.2 Corps de chauffe..................................................
  • 9.3 Symboles utilisés
  • 1 Introduction ÉTUDE DE CAS MODÉLISATION ET COMMANDE D’UN BIORÉACTEUR
  • 2 Modélisation
    • 2.1 Modèle dynamique
    • 2.2 Modes opératoires
  • 3 Commande d’un biofermenteur continu..........................
    • 3.1 Point de fonctionnement......................................
    • 3.2 Approximation linéaire........................................
    • 3.3 Commande...........................................................
  • 4 Symboles utilisés
• EXERCICES 12 séries d’exercices (à résoudre)
  • Examen A (non résolu).............................................................
  • Examen B (non résolu).............................................................
  • Examen C (résolu)....................................................................
  • Examen D (résolu)....................................................................
  • BIBLIOGRAPHIE

Erratum Polycopié “Commande de procédés”

Prof. D. Bonvin, Edition Février 200 9

Merci de transmettre vos remarques et corrections éventuelles à

[email protected]. Les futurs étudiants vous remercient d’avance!

Chapitre 2

P. 26, paragraphe 2.4.6 : variables indépendantes (entrées ou perturbations) : P. 27, avant 2.5.2 : … est supposé négligeable (la composition de la phase gazeuse entrant le plateau i+1 correspond à celle qui quitte le plateau i). P. 40, avant dernier bullet : cette remarque n’est pas nécessaire car les expressions (2.47) et (2.48) sont déjà en variables écart. P. 43, 2ème équation : B = 1.

Chapitre 3

P. 90, fin exercice 5 : (^) UY^ (( ss )) = e

! 2 s s + 2.

P. 96, Réponse forcée pour U ( s ) = (^) s +^1 2 : Y(s) = …

P. 99: le schéma est incorrect.

Chapitre 5

P. 154 , figure 5.9 : la puissance est en kW. P. 159, dernière équation : Nréel(t) = … P. 174, équations pour KR , trois fois : remplacer N^ par! N^.

P. 187, dernière ligne : KR = 0 , 87 11 , 2 = 0 , 72 [ V / V ].

P. 189, milieu de la page : En explicitant le numérateur et dénominateur de GR(s) et G 1 (s) comme suit, GR(s) G 1 (s) = N(s)/D(s), (8) devient :

Chapitre 7

P. 225 , milieu de la page: KR = (^) K^1!^! BF

= (^11) , 200 , , 051 = 1 , 7.

CHAPITRE 1

INTRODUCTION À LA COMMANDE

Par définition, la commande représente l’action d’agir sur un système de façon à ce qu’il se comporte de la manière souhaitée. La commande peut être manuelle ou, le plus souvent, automatique, c’est-à-dire sans intervention humaine. L’objet de la commande est le processus ou système à commander. Ces notions sont introduites dans ce chapitre.

1.1 SYSTÈMES DYNAMIQUES

1.1.1 Notion de système

La notion de système est souvent introduite pour décrire l’objet de notre étude et l’isoler ainsi de son environnement. Un système peut représenter:

• Un ensemble d’éléments en interaction organisés pour un but précis ( une entreprise ).
• Un ensemble de composants qui sont intégrés pour accomplir une tâche ( un mécanisme ).
• Un ensemble d’objets en interaction qui n’ont que peu, voire aucune, rela- tion avec l’extérieur ( le système solaire ).
• Le contenu d’une boîte noire mal connue par l’observateur ( une télévi- sion ).

La notion de système est large, pour ne pas dire vague. Le seul point commun entre le système métrique, un système d’équations ou le système solaire est, juste- ment, le mot système , c’est-à-dire un ensemble d’éléments. Ce qui se passe dans un système (boîte noire) n’a que peu d’intérêt si cela n’est pas observable ou n’a pas d’effet sur l’extérieur. Les actions du système sur l’envi- ronnement, les grandeurs observées ou mesurées sont définies comme les sorties du système. Un système peut être influencé par un apport d’énergie, de matière ou d’infor- mation. Ces actions extérieures, le plus souvent souhaitables et ajustables, qui agis- sent sur le système sont appelées entrées. Les perturbations , comme les entrées, sont des actions qui s’exercent sur le système. Mais, contrairement aux entrées, les perturbations sont généralement

2 Commande de procédés

inconnues, non ajustables et présentent souvent un caractère imprévisible (aléa- toire). Des entrées connues mais négligées peuvent également être considérées comme des perturbations. Ce sont des grandeurs qui influencent le système mais que l’observateur ne peut pas ou ne veut pas ajuster. Les différentes notions relatives à l’interaction d’un système avec son environ- nement sont représentées à la figure 1.1.

1.1.2 Propriétés des systèmes

Les processus que nous allons étudier dans ce cours sont de nature très géné- rale. Nous allons cependant les représenter de manière plus ou moins approxima- tive par des modèles dynamiques, linéaires, stationnaires, causals et initialement au repos. Ces propriétés sont décrites ci-dessous. a) Dynamique : un système est dynamique si son comportement à un instant donné dépend non seulement des entrées présentes mais aussi des entrées passées. On dit qu’un système dynamique a de la mémoire ou de l’inertie. Un système dynamique est généralement décrit par une ou plusieurs équations différentielles. Dans un système statique , par contre, la sortie à un instant

Système

Entrées Sorties

Environnement Perturbations

Objet de notre attention

Ensemble d’éléments en interaction

Actions Causes Données Moyens disponibles pour influencer le système Influences de l’environnement sur le système

Réactions Effets Résultats Moyens disponibles pour observer le système Influences du système sur l’environnement Excitation du système Réponse du système Grandeurs ajustées Grandeurs observées

• • • • • • •
  • • • • • • •
• Souvent inconnues
• Indésirables
• Non ajustables
• Souvent négligées
• Déterministes ou aléatoires

Fig. 1.1 Interaction du système avec son environnement.

4 Commande de procédés

Mais on peut aisément construire des systèmes dynamiques non causals. Considérons par exemple des données bruitées que l’on a mesurées en fonc- tion du temps lors d’une expérience. Après coup, donc pas en temps réel, on décide de lisser ces données avec un filtre, c’est-à-dire un système dynami- que qui prend les données mesurées en entrée et génère les données filtrées en sortie. Ce filtre est de préférence non causal car il détermine la valeur fil- trée à un instant donné en considérant la valeur mesurée à cet instant mais aussi aux instants précédents et suivants. e) Au repos : un système dynamique est au repos à un instant donné s’il est relâché, c’est-à-dire qu’il ne subit pas l’influence d’une excitation (entrée) passée. Il se trouve à l’état stationnaire et ainsi, en l’absence d’excitation extérieure, le système n’évolue pas. Ses mémoires sont vides. Dans le cas contraire, on dit que le système est chargé (fig. 1.4).

Il est important de noter les différences qui existent entre un système station- naire, un système dynamique à l’état stationnaire et un système statique:

système stationnaire ( θ : vecteur de paramètres)

système à l’état stationnaire ou à un point d’équilibre ( u , y : signaux temporels)

y ( t ) = f [ u ( t )] système statique (pas de mémoire)

La nomenclature pour ces propriétés peut parfois prêter à confusion. On la résume ici dans différentes langues:

Temps 0

Cause

Effet

Causal

Temps 0

Cause

Effet

Non causal Fig. 1.3 Distinction entre systèmes causal et non causal.

Au repos Chargé Fig. 1.4 Distinction entre systèmes au repos et chargé.

d θ d t

d u d t

------ d y d t

Introduction à la commande 5

La plupart des modèles que nous allons utiliser pour l’analyse et la synthèse de systèmes automatiques posséderont ces cinq propriétés. On pourra alors les repré- senter par des équations différentielles (a), linéaires (b), à coefficients constants (c), et avec des conditions initiales nulles (e). On utilisera aussi l’appellation système lscr pour désigner un système l inéaire, s tationnaire, c ausal et initialement au r epos. Les systèmes physiques peuvent posséder plusieurs entrées et plusieurs sorties, comme dans l’exemple de la conduite automobile présenté précédemment. On appelle de tels systèmes des systèmes multivariables. Cependant, on isole très sou- vent une entrée et une sortie pour étudier une boucle de commande. On parle alors de systèmes monovariables , lesquels seront étudiés en priorité dans ce cours.

1.2 COMMANDE AUTOMATIQUE

1.2.1 Idée de base

Le domaine de l’ automatique comprend l’ensemble des méthodes permettant de conduire un système sans intervention humaine mais sur la base de mesures liées à son comportement. Le but de la commande consiste à déterminer les décisions (ou entrées) qu’il faut appliquer au système pour obtenir les performances (ou sorties) désirées. Un exemple de commande manuelle est celui de la conduite d’une automobile où le pilote, compte tenu de la connaissance qu’il a du comportement de son véhi- cule et des différentes mesures que son œil effectue, détermine les actions de direc- tion et d’accélération qui lui permettront de couvrir son parcours de la manière sou- haitée (fig. 1.5). Nous remarquons la présence d’une boucle de rétroaction dans laquelle, en plus du système à commander (automobile), se situent le régulateur (cerveau du pilote), l’organe de mesure (yeux du pilote) et les organes de com- mande (pieds et mains du pilote).

Français Allemand Anglais stationnaire à l’état stationnaire statique

zeitinvariant beim stationären Zustand statisch

time invariant at steady state static

ENTREES SYSTEME A COMMANDER^ SORTIES position vitesse

REGULATEUR

freins

volant

grandeurs de commande pieds, mains

yeux grandeurs commandées

accélérateur

Fig. 1.5 Automobile commandée manuellement.

Introduction à la commande 7

b) Mesurer T e et ajuster P. Si T e diminue, on augmente P et inversement. c) Mesurer T et ajuster le débit massique w. Si T diminue, on diminue w et inversement. d) Mesurer T e et ajuster w. Si T e diminue, on diminue w et inversement.

P

w

T

T e

w moteur

T

T c

eau de refroidissement

Fig. 1.7 Commande manuelle par un opérateur.

P

w

T

T e

w moteur

T

T c

Thermomètre

Régulateur

Fig. 1.8 Commande automatique avec un régulateur.

8 Commande de procédés

e) Placer un échangeur de chaleur sur le débit d’alimentation de façon à réduire les variations de T e. f) Utiliser une cuve plus grande de façon à réduire l’influence de T e sur T.

Alternatives pour commander (réguler) la température

Avec les méthodes a) et c) une approche par rétroaction (en anglais feedback, FB) est utilisée en ce sens que la grandeur commandée ( T ) est mesurée et comparée à la grandeur de consigne ( T c) afin de générer une correction ( P ou w ) comme indiqué à la figure 1.9. Par exemple, pour la méthode a), nous avons le schéma fonctionnel donné à la figure 1.10. Le régulateur FB calcule automatiquement la grandeur de commande P sur la base de l’erreur ou écart de commande e.

Méthode Variable mesurée Variable ajustée Approche a) T P Rétroaction (FB) b) T e P Compensation (FF) c) T w Rétroaction (FB) d) T e w Compensation (FF) e); f) – – Changement dans le processus

T c

CUVE

PERTURBATION T e

REGULATEUR FB

ENTREE SORTIE P ou w T

Fig. 1.9 Commande par rétroaction.

+^ +

T e

T

perturbation

erreur T c^ e P

+

-

consigne (^) REGULATEUR FB

commande

grandeur Effet de la commandée commande

Effet de la perturbation

CUVE

Fig. 1.10 Schéma fonctionnel d’une commande par rétroaction.