Download Logique Propositionnelle: Conséquence Logique, Equivalence Logique et Formes Normales and more Study Guides, Projects, Research Mathematics in PDF only on Docsity!
Chapitre 1: La logique propositionnelle
(Partie 2)
Conséquence logique
On dit que La formule β est une conséquence logique de la formule α (on note α⊨ β) si la valeur de vérité de β est V dans toutes les lignes où la valeur de vérité de α est V. En généralisant, on dit que La formule β est une conséquence logique de l’ensemble de formules Γ ={α 1 , α 2 , … ,αn} (on note Γ ⊨ β) si la valeur de vérité de β est V dans toutes les lignes où les valeurs de vérité des formules de Γ sont toutes vraies. Exemples : (P ˄ Q) ⊨ (P ⟹ Q) {(P ⟹ Q) , ¬ Q} ⊨ ¬ P P Q P ⟹ Q ¬ Q ¬ P V V V F F V F F V F F V V F V F F V V V
Equivalence logique
On dit que α et β sont logiquement équivalentes si elles ont la même table de vérité (on note : α ≡ β) Exemple : P ⟹ Q ≡ ¬ P ˅ Q
Théorème de substitution
Soit β une formule contenant la proposition P et β' la formule qui résulte de β en substituant toutes les occurrences de P par α (α est une formule quelconque ) , on a donc : Si ⊨ β alors ⊨ β' Exemple : β : P ⟹ ( Q ⟹ R ⟹ P ) , On substitue toutes les occurrences de la proposition P par la formule (A ˄ B) et on obtient: β' : A ˄ B ⟹ ( Q ⟹ R ⟹ A ˄ B) On peut facilement vérifier que β et β' sont des tautologies
Théorème de remplacement
Soit α une formule contenant plusieurs occurrences d’une sous formules β, et α' est la formule résultante de α en remplaçant β par β' dans une ou plusieurs occurrences de β. On a donc : Si β ≡ β' alors α ≡ α' Exemple : α : P ˅ (Q ⟹ R) ⟺ S ˅ (Q ⟹ R) α' : P ˅ ( ¬ Q ˅ R) ⟺ S ˅ (Q ⟹ R) Selon le théorème on aura : α ≡ α' car (Q ⟹ R) ≡ ( ¬ Q ˅ R)
Equivalences usuelles ˄ , ˅ : commutatives et associatives α ˅ β ≡ β ˅ α
α ˄ β ≡ β ˄ α α ˅ ( β ˅ α ) ≡ ( α ˅ β ) ˅ α α ˄ ( β ˄ α ) ≡ ( α ˄ β ) ˄ α ˅ est distributive sur ˄ et ˄ est distributive sur ˅ α ˅ ( β ˄ γ ) ≡ ( α ˅ β ) ˄ ( α ˅ γ ) α ˄ ( β ˅ γ ) ≡ ( α ˄ β ) ˅ ( α ˄ γ ) Loi de Morgan ¬ ( α ˄ β ) ≡ ¬ α ˅ ¬ β ¬ ( α ˅ β ) ≡ ¬ α ˄ ¬ β Idempotence α ˄ α ≡ α α ˅ α ≡ α Remarques:
- on peut remplacer le connecteur logique " ˄ " par "." et le connecteur logique " ˅ " par "+"
- on note une tautologie "1" et une contradiction "0"
Autres équivalences : α ≡ ¬¬ α α ⟹ β ≡ ( ¬ α ˅ β) α ⟹ β ≡ ¬ (α ˄ ¬ β) α ⟺ β ≡ ( α ⟹ β) ˄ ( β ⟹ α) α ⊕ β ≡ ¬ (α ⟺ β) α + 0 = α α + 1 = 1 α. 1 = α α. 0 = 0 α. α = α α + α = α α .( α + β) = α α + ( ¬ α. β) = α + β (α. β) + ¬ β = α α.( ¬ α+ β) = α. β α + (β. γ) = (α + β). (α + γ)
Négation , contraposée et réciproque d'une implication P ⟹ Q:
Négation : ¬ (P ⟹ Q ) ≡ ¬ ( ¬ P ˅ Q) = P ˄ ¬ Q Contraposée : (P ⟹ Q ) ≡ ( ¬ Q ⟹ ¬ P) Réciproque: Q ⟹ P
Système complet de connecteurs
Soit S un sous ensemble de connecteurs logiques. On dit que S est un système complet si pour toute formule α, on peut trouver une formule α' ne contenant que les éléments de S, tel que α≡ α'. Exemple
L’ensemble { ¬ , ˄ } est un système complet
Les formes normales
1- La forme normale conjonctive (FNC)
Une formule α est en forme normale conjonctive, si elle de la forme : C 1 ˄ … ˄ Cn , tel que chaque Ci est une clause de la forme L 1 ˅ … ˅ Lm où chaque Li est un littéral de la forme P ou ¬ P. Exemple (P ˅¬ Q) ˄ (R ˅ ¬ P ˅ Q) P ˄ ( ¬ Q ˅ P)
2- La forme normale disjonctive (FND)
Une formule α est en forme normale disjonctive, si elle de la forme : M 1 ˅ … ˅ Mn , tel que chaque Mi est un monôme de la forme L 1 ˄ … ˄ Lm où chaque Li est un littéral de la forme P ou ¬ P. Exemple ( ¬ P ˄¬ Q) ˅ (P ˄ R) P ˅ ( ¬ P ˄ Q) ˅ R
Comment construire une FNC ou une FND d'une formule α?
- Dresser la table de vérité de la formule α P Q R α V V V F V V F F V F V V V F F F F V V V F V F F F F V F F F F V
- LA FND: on prend les lignes de la table où la valeur de α est vrai (V) et on construit les conjonctions :
Ligne 3 : P ˄ ¬ Q ˄ R Ligne 5 : ¬ P ˄ Q ˄ R Ligne 8 : ¬ P ˄ ¬ Q ˄ ¬ R
Où on prend P si la valeur de la proposition est V et ¬P si la valeur de la proposition est F ( et ainsi pour les propositions Q et R)
La FND est: (P ˄ ¬ Q ˄ R) ˅ ( ¬ P ˄ Q ˄ R) ˅ ( ¬ P ˄ ¬ Q ˄ ¬ R)
- La FNC : on prend les lignes de la table où la valeur de α est fausse (F) et on construit les disjonctions:
Ligne 1: ¬ P ˅ ¬ Q ˅ ¬ R Ligne 2: ¬ P ˅ ¬ Q ˅ R
Ligne 4: ¬ P ˅ Q ˅ R Ligne 6: P ˅ ¬ Q ˅ R Ligne 7: P ˅ Q ˅ ¬ R
Où on prend P si la valeur de la proposition est F et ¬P si la valeur de la proposition est V (et ainsi pour les propositions Q et R)
La FNC est : ( ¬ P ˅ ¬ Q ˅ ¬ R) ˄ ( ¬ P ˅ ¬ Q ˅ R) ˄ ( ¬ P ˅ Q ˅ R) ˄ (P ˅ ¬ Q ˅ R) ˄ (P ˅ Q ˅¬ R)
