Download Analyse géométrique de deux triangles isocèles et la construction d'un carré and more Lecture notes French in PDF only on Docsity!
Olympiades de mathématiques
Session 2006
Académie de Besançon
Exercice 1
Le triangle d’or
Le triangle d’or est le nom donné à la jolie région du Jura comprenant les
petites villes d’Arbois (son vin !), Poligny (son Comté), Salins-les Bains (sa
saline et ses forts) et Arc-et-Senans (sa saline royale). A l’instar du triangle
dont il est question ici, cette région est une merveille du tourisme.
A
B C
D
ABC est un triangle isocèle de sommet
A « très particulier ».
En effet en menant de B la bissectrice
du secteur ABC, on constate qu’elle
coupe [AC] en un point D tel que BCD
est à son tour un triangle isocèle, de
sommet B.
- Montrer que la mesure en radians de l’angle BAC est
5
- Donner alors la mesure en radians des autres angles de cette
configuration.
- Montrer que
AB BC
BC CD
- Sachant que BC=1, déterminer AB.
- En déduire la valeur de cos^
5
Le triangle d’or Corrigé
- Notons BAC , (^) ABD et (^) ABC .
Comme les triangles ABC et BCD sont isocèles, les angles à la
base
sont égaux donc :
ABC BCD CDB.
Comme (BD) est bissectrice du secteur ABC :
ABD CBD et^ 2 .
Dans le triangle BCD, la somme des angles a pour valeur^ ^.
donc CBD BCD CDB soit : ^ ^2 ^
Comme 2 , il vient donc 5 d’où
5
d’où
2
5
Dans le triangle ABC, la somme des angles a pour valeur^ ^.
donc (^) BAC ^ ABC ^ BCD soit : 2
il vient donc
2
5
2
soit
5
, donc
5
BAC
A
B C
D
- …
- Les triangles ABC et BCD sont donc semblables puisqu’ils ont
leurs angles deux à deux égaux :
BAC
5
CBD
(^) et ABC BCD CDB
2
5
Donc leurs côtés sont proportionnels, donc (1)
AB BC
BC CD
(^).
- Comme , le triangle ADB est isocèle donc AD DB.
Comme CBD est isocèle : DB BC ; donc AD DB BC 1.
Notons x AB : il vient dans (1) :
1
1 1
x
x
soit
2 x x 1 , et comme^ x^ ^0 ,^
1 5
2
x
A
B C
D
- Comme le triangle ADB est isocèle, la hauteur issue de D
coupe AB en H, milieu de [AB].
Donc
2 1 1 1 1
1
2 2 2 2
AH AB AC x x
Dans le triangle ADH,
2
1 5 2 cos
2 4
x AH x
A
AD x
A
B (^) C
D
H
Le problème est très joli car il permet de calculer cos^
5 2
où est le nombre d’or
avec des arguments géométriques simples. Les solutions de Prépa avec résolution de
2 3 4 1 0 ne font pas le poids^! Noter que la question 3 se résout aussi avec
Al-Kashi mais surtout par la loi des sinus :
2 sin 5 2cos 5 sin 5
AB
AC
Une merveille
!…
Olympiades de mathématiques
Session 2006
Académie de Besançon
Exercice 2
Corrigé
Commençons par des considérations générales.
n
-n Bn
Cn n
Dn
An
y= - x
y=x-
y=x
An+
-n+ -n
-n-
Notons que la spirale est une réunion de segments dont les sommets
sont situés sur trois droites 1
D ,
2
D (^) et 3
D (^) dont les équations sont
simples à trouver, à savoir dans l’ordre où elles ont à intervenir :
y x (^1) 1
D ,
y x 2
D (^) et y x 3
D .
Notons n
A (^) le point de 1
D (^) d’ordonnée n : il a pour coordonnées :
n 1 , n .
n
B (^) le point de 2
D (^) d’ordonnée n : il a pour coordonnées :
n , n .
n
C (^) le point de 3
D (^) d’ordonnée n (^) : il a pour coordonnées :
n n , .
n
D (^) le point de 2
D (^) d’ordonnée n (^) : il a pour coordonnées :
n n , .
La spirale n’est alors rien d’autre que la réunion pour n
N des
segments
n 1 n
D A
n n
A B ,
n n
B C et
n n
C D
de longueurs respectives 2 n 1 , 2 n 1 , 2 n et 2 n.
Le point O peut être considéré comme le point 0
D
On conjecture facilement que les points n
A (^) et n
C (^) ont sont tels que :
^ ^
2 2 1 n
l A n (^) et
2 2 n
l C n
Démontrons-le :
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1
n (^) n n n n n n
l A OA A B B C C D D A B C C D D A
1 1 2 2 3 ... 2 n 2 2 n 2 2 n 1
= 2. 1 ^2 ^3 ^ ...^ ^ ^2 n^^ ^2 ^ ^ 2 n^ ^1 )
^ ^ ^ ^ ^
n n
n n n n
= ^ ^ ^ ^ ^
2 2 n 1 2 n 2 1 2 n 1
et ^ ^ ^ ^ ^
2 2 2 2 1 2 1 2 4 2 n n n n n n
l C l A A B B C n n n n n
- Il existe deux points A de l’axe des abscisses tels que OA 5 , l’un
d’abscisse 5 , l’autre d’abscisse 5.
ier
cas : A ^5 ,0
Ce point est sur le segment 5 5
B C
en effet on a
5
B 5 , 5
et
5
C 5 ,
avec 5
AC 5
Ainsi
2
5
l A l C 5 10 5 95.
ième
cas : A ^5 ,0
Ce point est sur le segment 5 6
D A
( ^
5
D 5 ,5,
6
A 5 , (^6) ;) avec
6
A A ^ 6
Ainsi
2
6
l A ^ l A 6 11 6 115.
2. B^ ^2005 ,2006 est sur le segment
2006 2006
C D
en effet on a
2006
C 2006 ,
et
5
D 2006 ,
avec
2006
C B 1
Ainsi ^ ^
2
2006
l B l C 1 4012 1 16 096 145.
3. On cherche ici le point C tel que l C ^^ ^ ^2006.
Or, la suite des nombres
1
l O ( ) 0 , l A (^1) , 1
l C (^4) , 2
l A (^9) , 2
l C (^16) ,…,
… ^ ^
2 2 1 n
l A n (^) ,
2 2 n
l C n
est la suite des carrés des entiers naturels (ou « carrés
parfaits »).
Olympiades de mathématiques
Session 2006
Académie de Besançon
Exercice 3
Les cylindres en papier
- On prend une feuille de papier de 21 cm de large et 29,7 cm de long (le
format A4). On forme un cylindre en roulant la feuille de papier et en
faisant coïncider deux bords opposés. En faisant de même avec les deux
autres bords opposés, on obtient un autre cylindre.
Les deux cylindres ont-ils même volume?
- Dans une feuille de papier de format A4, on enlève deux triangles de
mêmes dimensions selon la figure ci-dessous :
Si on roule la feuille restante bord à bord, on obtient un premier cylindre
(n°1). Si on la roule en faisant coïncider les autres bords opposés, on
obtient un second cylindre (n°2).
Trouver la ou les valeurs de x (en cm) pour que les deux cylindres ainsi
obtenus aient le même volume.
Corrigé
Commençons par des considérations générales qui serviront tout au long
de l’exercice.
Pour un cylindre dont la hauteur est h , le rayon de base R et la surface de
base B , la formule donnant le volume est :
2 V B h R h.
Pour un cercle de rayon R , la formule donnant le périmètre est p^ ^2 R.
Si le cylindre est formé à partir d’un rectangle ou d’un parallélogramme de
base a qu’on enroulera et de hauteur b qui sera aussi la hauteur du
cylindre, on aura :
a 2 R d’où
2
a
R
puis
2
a
V b
soit
2
V a b
- Prenons une feuille de papier de 21 cm de large ( l 21 ) et 29,7 cm de
long ( L^ ^29 ,7)
Notons a 21 l et b^ ^29 ,7 L^.
Selon la façon dont on roule la feuille pour obtenir un cylindre, le
volume sera :
2
1
V L l
(^) ou
2
2
V l L
Ainsi
1
2
V L
V l
et comme L l , il en découle que 1 2
V V .
Remarquons qu’il n’est pas nécessaire d’effectuer des calculs pour
conclure.
- Dans une feuille de papier de format A4, on enlève deux triangles de
mêmes dimensions selon la figure donnée dans l’énoncé. Selon la
façon dont on roule la feuille on obtient deux cylindres de tailles
différentes.
Pour le cylindre n°1, on a avec les notations précédentes :
a 29.7 x L x et b 21 l d’où ^ ^
2
1
V L x l
Pour le cylindre n°2, on doit déjà calculer les valeurs de a et b.
Ceci est possible si
2 l L
L l
(^) soit L l 2.
mais 29 n’est qu’une valeur approchée (certes très bonne) de
Si le format A4 était non 21 29.7 mais (^21) 21 2 (peut-être l’est-il, il
faudrait demander aux papetiers…) , l’exercice donnerait pur
résultat :
2
2 2 2 2
L
L
L l L
x
L L L
soit
4
L
x (^) sic….
Remarque :
Il existe une magnifique explication géométrique de ce
résultat!
Saurez-vous le trouver?
A suivre …
Olympiades de mathématiques
Session 2006
Académie de Besançon
Exercice 4
Deux carrés en un.
ABCD et BEFG sont deux carrés dont les côtés ont pour longueurs
respectives a et b , de telle sorte que a^ b.
- Soit I le point d’intersection des droites (EG) et (DF). Démontrer que I
est le milieu du segment [FD].
2) Soit le cercle de centre I passant par le point B. On note H le
deuxième point d’intersection de avec la droite (AB).
Justifier que [FD] est un diamètre de , puis démontrer que la droite
(IH) est la médiatrice de [FD].
- Soit J le point d’intersection des droites (BG) et (HF). On « découpe » la
figure initiale selon les triangles EFH , FGJ , ADH et le quadrilatère CDHJ.
Montrer qu’en assemblant ces 4 polygones sans les superposer, on
peut reconstituer un carré. Faire un dessin avec a =4cm et b =3cm.
- Exprimer la longueur c=DH en fonction de a et b.
Référence : sujet conçu pour justifier le découpage apparaissant dans le
livre
Les inattendus mathématiques de J.-P. Delahaye, éd. Belin–Pour la
science (chap. 6, p.70)
Commentaires :
Ce problème est l’étape principale de la démonstration du théorème
suivant :
D
A B
C
E
G F
a
b
Autre méthode plus simple :
utiliser Thalès dans le triangle BFD , (EG) médiatrice du segment [BG] étant
parallèle à (BD).
Question 2 :
Le cercle a pour rayon R=IB et pour centre I. Or, I est le milieu de [FD] ,
donc, pour montrer que [FD] est un diamètre de , il suffit de prouver que
IF=R.
BEFG est un carré, donc (EG) est la médiatrice de [BF]. Or I (EG) , donc
IB=IF=R.
Donc [FD] est bien un diamètre de .
B et F appartiennent au cercle de centre I , donc BIF est un triangle
isocèle en I.
Donc : 2 .
BIF FBI
Par ailleurs :.
4
3
)
4
( ) (
FBI EBF IBH IBH IBH
De plus, B et H appartiennent au cercle de centre I , donc BIH est un
triangle isocèle en I.
Donc : 2 .
BIH IBH
Donc :.
2 2
( )
2
) 2
4
3
2 2 (
BIH IBH FBI FBI BIF BIF
Par conséquent :.
2
BIH BIF
Donc
2
HIF BIH BIF et par conséquent : ( IH )( IF ).
I est le milieu de [FD] et (IH) est orthogonale à [FD] , donc (IH) est la
médiatrice de [FD]****.
Autre méthode :
introduisant la médiatrice de la corde [HB] : elle coupe (AE) en un
point J.
utiliser le théorème de Thalès : I milieu de [DF] donc J milieu de
[AE].
en déduire que AH=BE=EF puis AD=AH+HB=HB+BE=HE.
en déduire que les triangles DAH et HEF sont superposables.
Ainsi DH = HF donc H est sur la médiatrice de [DF].
Question 3 :
On fait tourner le triangle AHD autour du point D d’un angle de.
2
L’image du point A est le point C et l’image du point H est un point que
l’on note K. Les points K , C et G sont alignés.
est un cercle de diamètre [FD] et H , donc (HD) est
orthogonale à (HF).
H appartient à la médiatrice de [FD] , donc HF=HD.
Par construction : DK=DH.
2
HDK HDC CDK HDC ADH , donc (KD) est orthogonale à (HD).
De ces 4 points, on déduit que le quadrilatère DHFK est un carré.
De la même façon, on fait tourner le triangle EFH autour du point F d’un
angle de.
2
(^) L’image du point E est le point G et l’image du point H est
un point que l’on note L. Les points L , C et G sont alignés.
De la même manière que ci-dessus, on démontre que le quadrilatère DHFL
est un carré. Deux carrés ayant trois sommets en commun sont
identiques, donc K=L.
Par conséquent, en superposant AHD à ACK et FEH à FGK , on reconstitue
bien un carré, en l’occurrence, le quadrilatère DHFK.
Question 4 :
Le carré DHFK a pour aire (^).
2 c
D
A B
C
E
G F
a
b
