Download Laplace Transform for beginners and more Summaries Law in PDF only on Docsity!
CHAPTER 10
Laplace D¨on¨u¸s¨um¨u
- Laplace ve Ters Laplace d¨on¨u¸sm¨u
Laplace d¨on¨u¸s¨umleri, ba¸slangı¸c sınır de˘ger problemlerinin ¸c¨oz¨umleri i¸cin ¸cok etkili bir y¨ontemdir. Burada
uygulanacak olan i¸slemler sırasıyla
Adım 1.: Verilen ADD cebirsel denkleme d¨on¨u¸st¨ur¨ul¨ur. Adım 2.: Cebirsel denklem ¸c¨oz¨ul¨ur Adım 3.: 2. adımdaki cebirsel denklemin ¸c¨oz¨um¨u, ters d¨on¨u¸s¨um ile ADD nin ¸c¨oz¨um¨u elde edilir.
Bu y¨ontemin ¸cok ¨onemli avantajları mevcuttur.
1.: Ba¸slangı¸c de˘ger probleminin ¸c¨oz¨um¨u direkt olarak elde edilir. Di˘ger y¨ontemlerde c sabitleri ile elde edilen ¸c¨oz¨umde ba¸slangı¸c ko¸sulları verilerek c sabitleri bulunur. 2.: En ¨onemli avantajı homojen olmayan denklemlerde, sa˘g taraftaki fonksiyonun s¨urekli olmadı˘gı du- rumlarda da ¸c¨oz¨um¨u elde edebiliriz.
Tanım 40.1. f (t) , t ≥ 0 fonksiyonun Laplace 1 d¨on¨u¸s¨um¨u F (s) ile g¨osterilir
F (s) = L (f ) =
0
e −st f (t) dt (40.1)
ile tanımlanır.
Tanım 40.2. F (s) fonksiyonun ters Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u ise f (t) , t ≥ 0 dir
f (t) = L − 1 (F )
ile g¨osterilir.
Notasyon 40.3. t ye ba˘glı olanlar fonksiyonlar s ye ba˘glı olanları da d¨on¨u¸s¨umler olarak d¨u¸s¨unece˘giz. Fonksiy-
onları k¨u¸c¨uk harfler ile d¨on¨u¸s¨umleri ise b¨uy¨uk harfler ile g¨osterece˘giz. f (t) fonksiyonun d¨on¨u¸s¨um¨u F (s), y (t)
fonksiyonunun d¨on¨u¸s¨um¨u Y (s).
Ornek^ ¨ 40.4. f (t) = 1 fonksiyonun Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u bulunuz.
C¸ ¨oz¨um
L (f ) =
0
e −st dt = −
s
e −st
∞
0
s
Ornek^ ¨ 40.5. f (t) = eat, a sabit fonksiyonun Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u bulunuz.
C¸ ¨oz¨um
L (f ) =
0
e −st e at dt = −
s − a
e −(s−a)t
∞
0
s − a
, s > a
Teorem 40.6. Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u lineerdir:f (t) , g (t) fonksiyonları ve a, b sabitleri i¸cin
L (af + bg) = aL (f ) + bL (g)
(^1) Pierre Simon Marquis de Laplace (1749-1827) Fransız matematik¸ci, Pariste profes¨orl¨uk yapmı¸s ve Napoleon Bonaparte 1
senelik ¨o˘grencisi olmu¸sltur.
115
116 10. LAPLACE D ON ¨ US¨¸ UM ¨ U¨
Proof.
L (af + bg) =
0
e −st (af (t) + bg (t)) dt = a
0
e −st f (t) dt + b
0
e −st g (t) dt = aL (f ) + bL (g)
Teorem 40.7. Ters Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u lineerdir:f (t) , g (t) fonksiyonları ve a, b sabitleri i¸cin
L
− 1 (af + bg) = aL − 1 (f ) + bL − 1 (g)
Ornek^ ¨ 40.8. cosh at ve sinh at fonksiyonlarının Laplace d¨on¨u¸s¨umlerini bulunuz.
C¸ ¨oz¨um
⇒ cosh at =
e at
⇒ L (cosh at) = L
e at
L
e at
L
e −at
s − a
s + a
s
s^2 − a^2
⇒ sinh at =
eat^ − e−at
2
⇒ L (sinh at) = L
eat^ − e−at
2
L
e at
L
e −at
s − a
s + a
a
s^2 − a^2
f (t) F (s) = L (f ) f (t) F (s) = L (f ) f (t) F (s) = L (f )
1 1 s eat^ cos wt s−a (s−a)^2 +w^2 cos at − cos bt
(b (^2) −a 2 )s (s^2 +a^2 )(s^2 +b^2 ) t 1 s^2 eat^ sin wt w (s−a)^2 +w^2
ebt^ −eat t ln s−a s−b t^2 2! s^3 teat^1 (s−a)^2
2(1−cosh at) t ln s
(^2) −a 2 s^2 tn^ n! sn+^ tneat^ n! (s−a)n+
2(1−cos wt) t ln s^2 +w^2 s^2 e at 1 s−a t^ sin^ wt^
2 ws (s^2 +w^2 )^2
sin wt t arctan^
w s
cos wt s s^2 +w^2 1 −^ cos^ wt^
w^2 s(s^2 +w^2 ) t
a , a > − 1
Γ(a+1) sa+ sin wt w s^2 +w^2 wt^ −^ sinwt^
w^3 s^2 (s^2 +w^2 ) t
− 1 / 2
π s
cosh at s s^2 −a^2 sin^ wt^ −^ wt^ cos^ wt^
2 w^3 (s^2 +w^2 )^2 t 1 / 2
√ π 2 s^3 /^2 sinh at a s^2 −a^2 sin wt + wt cos wt 2 w
(^2) s (s^2 +w^2 )^2 u (t − c) 1 s e−sc
Teorem 40.9. f (t) fonksiyonunun Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u F (s) olsun. eatf (t) fonksiyonunun Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u
F (s − a) dır
L (f (t)) = F (s) ⇒ L
e at f (t)
= F (s − a)
ve
e at f (t) = L − 1 (F (s − a))
Proof.
F (s − a) =
0
e −(s−a)t f (t) dt =
0
e −st
e at f (t)
dt = L
e at f (t)
Ornek^ ¨ 40.10. eat^ cos wt, eat^ sin wt fonksiyonlarının Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u bulunuz.
118 10. LAPLACE D ON ¨ US¨¸ UM ¨ U¨
Teorem 40.15. f (t) fonksiyonu par¸calı s¨urekli ve
|f (t)| ≤ M e λt , M > 0
ko¸sulunu sa˘glıyorsa, fonksiyonun Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u vardır.
- T¨urev ve ˙Integrallerin Laplace D¨on¨u¸s¨um¨u
Teorem 41.1. f (t) fonksiyonu (n − 1). mertebeye kadar t¨urevleri s¨urekli olsun
L (f ′ ) = sL (f ) − f (0)
L (f ′′ ) = s 2 L (f ) − sf (0) − f ′ (0)
L (f ′′′ ) = s 3 L (f ) − s 2 f (0) − sf ′ (0) − f ′′ (0)
...
L
f (n)
= s n L (f ) − s n− 1 f (0) − s n− 2 f ′ (0) − s n− 3 f ′′ (0) − · · · − sf (n−2) (0) − f (n−1) (0)
Ornek^ ¨ 41.2. f (t) = t sin wt fonksiyonu i¸cin L (f ′′) de˘gerini hesaplayınız.
C¸ ¨oz¨um
L (f
′′ ) = s
2 L (f ) − sf (0) − f
′ (0)
f (0) = 0
f ′ (t) = sin wt + wt cos wt ⇒
f ′ (0) = 0 ⇒
L (f ′′ ) = s 2 L (f ) = s 2 2 ws (s^2 + w^2 )
2 =^
2 ws^3
(s^2 + w^2 )
2
Teorem 41.3. F (s) fonksiyonu f (t) fonksiyonunun Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u olsun.
L
(∫ (^) t
0
f (α) dα
s
F (s) ⇒
∫ (^) t
0
f (α) dα = L − 1
s
F (s)
Ornek^ ¨ 41.4. Teorem 41.3 ¨u kullanarak
s (s^2 + w^2 )
ve
s^2 (s^2 + w^2 )
fonksiyonlarının ters Laplace d¨on¨u¸s¨umlerini bulunuz.
- BDP PROBLEMLERINE UYGULAMALARI 119
C¸ ¨oz¨um
F (s) =
(s^2 + w^2 )
⇒ L
− 1 (F (s)) =
sin wt
w
= f (t) ⇒
L
− 1
s (s^2 + w^2 )
= L
− 1
s
F (s)
∫ (^) t
0
sin wα
w
dα = −
w^2
cos wα
t
0
w^2
(1 − cos wt) = g (t)
L
− 1
s^2 (s^2 + w^2 )
= L
− 1
s
s (s^2 + w^2 )
∫ (^) t
0
w^2
(1 − cos wα) dα =
w^2
α −
w
sin wα
t
0
w^2
t −
sin wt
w
- BDP problemlerine uygulamaları
S¸imdi Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨un BDP problemlerinin ¸c¨oz¨um¨une nasıl uyguland˘gını g¨orelim:
y ′′
y (0) = k 0 ,
y ′ (0) = k 1
BDP problemini ele alalım. (42.1) denklemine Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u uygulayalım:
⇒ L (y ′′
⇒ L (y ′′ ) + aL (y ′ ) + bL (y) = R (s)
⇒
s^2 L (y) − sy (0) − y′^ (0)
- a (sL (y) − y (0)) + bL (y) = R (s)
⇒
s 2
Y (s) = R (s) + (s + a) k 0 + k 1
⇒ Y (s) = L (y) =
R (s) + (s + a) k 0 + k 1
s^2 + as + b
⇒ y (t) = L − 1
R (s) + (s + a) k 0 + k 1
s^2 + as + b
Ornek^ ¨ 42.1.
y ′′ − y = t,
y (0) = 1 , y ′ (0) = 1
BDP nin ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.
- BASAMAK FONKSIYONU (HEAVISIDE^3 FONKSIYONU) 121
C¸ ¨oz¨um Once ¸¨ c¨oz¨um¨u 0 noktasına ¨otelemeliyiz.
t = x +
π
4
d¨on¨u¸s¨um¨u ile t de˘gi¸skenine ba˘glı fonksiyonu x de˘gi¸skenine d¨on¨u¸st¨urm¨u¸s oluruz. Buna g¨ore BDP yi
y ′′
x +
π
4
y (0) =
π
2
, y ′ (0) = 2
⇒ L (y ′′
x +
π
4
⇒ L (y ′′ ) + L (y) = 2L
x +
π
4
= 2L (x) +
π
2
L (1)
s 2 L (s) − sy (0) − y ′ (0)
s^2
π
2 s
s 2
L (y) =
s^2
π
2 s
πs
2
2 s^2
(πs + 4)
s 2
⇒ L (y) =
(πs + 4)
2 s^2
π
2 s
s^2
⇒ y = L − 1
π
2 s
s^2
π
2
L
− 1
s
+ 2L
− 1
s^2
π
2
π
2
t −
π
4
= 2t
- Basamak Fonksiyonu (Heaviside 2 Fonksiyonu)
Makine m¨uhendisli˘ginde ve elektrik m¨uhendisliklerinde sistemin kapalı veya a¸cık olmasını ifade eden ¨onemli bir
fonksiyondur birim basamak fonksiyonudur.
Tanım 43.1.
u (t − a) =
0 , t < a 1 , t > a
, a ≥ 0
fonksiyonuna birim basamak fonksiyonu veya Heaviside fonksiyonu denir.
(^2) Oliver Heaviside (1850-1925), ingiliz elektrik m¨uhendisi
122 10. LAPLACE D ON ¨ US¨¸ UM ¨ U¨
Ornek^ ¨ 43.2.
y (t) =
0 , 0 < t < π 1 , π < t < 2 π 0 , t > 2 π
fonksiyonunu birim basamak fonksiyonu cinsinden ifade ediniz.
C¸ ¨oz¨um
y (t) = u (t − π) − u (t − 2 π)
124 10. LAPLACE D ON ¨ US¨¸ UM ¨ U¨
Ornek^ ¨ 43.11.
y ′′
48 e 2 t , 0 < t < 4 0 , t > 4
y (0) = 0 , y′^ (0) = 0
BDP nin ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.
C¸ ¨oz¨um
y ′′
- 16y = 48 e 2 t (u (t) − u (t − 4))
y (0) = 0 , y ′ (0) = 0
olarak yazabiliriz. Bu durumda Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u denkleme uyguladı˘gımızda
⇒ L (y ′′
48 e 2 t (u (t) − u (t − 4))
⇒ L (y ′′ ) + 16L (y) = 48L
e 2 t u (t)
− 48 L
e 2 t u (t − 4)
ve burada
F (s) = L (f ) ⇒ e −as F (s) = L (f (t − a) u (t − a))
L (f (t) u (t − a)) = e −as L (f (t + a))
ifadelerini kullanırsak
s 2 L (y) − sy (0) − y ′ (0)
s − 2
48 e − 4 s
s − 2
1 − e−^4 s
s − 2
⇒ L (y) =
1 − e − 4 s
(s − 2) (s^2 + 16)
5 (s − 2)
5 (s^2 + 16)
12 s
5 (s^2 + 16)
1 − e − 4 s
⇒ y =
L
− 1
(s − 2)
− 2 L
− 1
(s^2 + 16)
− L
− 1
s
(s^2 + 16)
L
− 1
e−^4 s
(s − 2)
− 2 L
− 1
e−^4 s
(s^2 + 16)
− L
− 1
e−^4 s
(s^2 + 16)
e 2 t −
sin 4t − cos 4t
e 2(t−4) −
sin 4 (t − 4) − cos 4 (t − 4)
u (t − 4)
Ornek 43.12.^ ¨ Bir RLC devresinde C = 10−^2 F (arad), L = 0. 1 H(enry), R = 11Ω ve 2 π saniyeye kadar verilen
elektromotive kuvvet E (t) = 100 sin (400t) , 0 < t < 2 π ve sonra bir kuvvet verilmemektedir: E (t) = 0, t > 2 π.
Ba¸slangı¸cta elektrik y¨uk¨u ve akım olmadı˘gına g¨ore herhangi zamandaki elektrik y¨uk¨un¨u bulunuz.
- BASAMAK FONKSIYONU (HEAVISIDE^5 FONKSIYONU) 125
C¸ ¨oz¨um
q ′ = I, VR = RI, VC =
C
q, VL = LI ′
⇒ RI +
C
q + LI ′ = E (t)
⇒ Lq ′′
C
q = E (t)
⇒ 0. 1 q ′′
100 sin (400t) , 0 < t < 2 π 0 , t > 2 π
q (0) = 0 , q ′ (0) = 0
⇒ q ′′
3 sin (400t) , 0 < t < 2 π 0 , t > 2 π
= 10 3 sin (400t) (1 − u (t − 2 π))
⇒ L
q ′′
= L
3 sin (400t) (1 − u (t − 2 π))
⇒ L (q ′′ ) + 110L (q ′ ) + 10 3 L (q) = 10 3 (L (sin (400t)) − L (sin (400t) u (t − 2 π)))
⇒
s 2 L (q) − sq (0) − q ′ (0)
- 110 (sL (q) − q (0)) + 10 3 L (q)
= 10
3 (L (sin (400t)) − L (sin (400 (t − 2 π)) u (t − 2 π)))
s 2
L (q) =
4
s^2 + 400
3 e − 2 πs 20 s^2 + 400
4 ∗
1 − e − 2 πs
s^2 + 400
⇒ L (q) =
4 ∗
1 − e − 2 πs
(s^2 + 400) (s + 10) (s + 100)
45 000 (s + 10)
11 520 000 s^ −^
3 26 000 s^2 + 400
936 000 (s + 100)
4 ∗
1 − e − 2 πs
45 000 (s + 10)
11 520 000 s − 3 26 000 s^2 + 400
936 000 (s + 100)
4
45 000 (s + 10)
11 520 000 s^ −^
3 26 000 s^2 + 400
936 000 (s + 100)
4 ∗ e − 2 πs
⇒ q =
4
L
− 1
s + 10
4
L
− 1
s
s^2 + 400
4 L − 1
s^2 + 400
L
− 1
(s + 100)
4
L
− 1
e − 2 πs
s + 10
4
L
− 1
se − 2 πs
s^2 + 400
4 L − 1
20 e − 2 πs
s^2 + 400
L
− 1
e−^2 πs
(s + 100)
e − 10 t −
cos (20t) +
sin (20t) −
e − 100 t
e − 10 t −
cos (20t) +
sin (20t) −
e − 100 t
u (t − 2 π)
e−^10 t^ −
cos (20t) +
sin (20t) −
e−^100 t
(1 − u (t − 2 π))
