Lezioni di Matematica
PROGRAMMA TRIENNIO SCUOLE SUPERIORI
Vol. 2
di
EMANUELE CASTAGNA
Docente di ruolo nelle scuole secondarie superiori
di MATEMATICA
STAMPA AUTONOMA
DIFFUSIONE GRATUITA
(1aedizione: dicembre 2023)
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Lezioni di matematica per studenti Lezioni per capire come fare il test di matematica Per capire meglio le lezioni di matematica per la scuola e per esame di maturità
Typology: Essays (high school)
2023/2024
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Lezioni di Matematica
PROGRAMMA TRIENNIO SCUOLE SUPERIORI
Vol. 2 di
EMANUELE CASTAGNA
Docente di ruolo nelle scuole secondarie superiori di MATEMATICA
STAMPA AUTONOMA
DIFFUSIONE GRATUITA
( 1 a^ edizione: dicembre 2023)
si avvicinasse allo studio della Matematica come percorso universitario di Laurea.
Quasi tutti gli argomenti sono presentati per come vengono insegnati ai propri allievi, nelle varie Classi dell’Istituto scolastico in cui si presta servizio da, ormai, piu di tre lustri. Gli esercizi presenti nell’ultimo capitolo, relativi agli argomenti spiegati nei primi quindici capitoli, so- no quasi tutti presi dalle varie verifiche scritte effettuate durante que- sti anni d’insegnamento e, per altro, molte delle tracce proposte sono originali e non sono state “scolasticamente” pensate per “far uscire” risultati carini: anche per questo essi non vengono indicati. Gli esercizi sono proposti per essere risolti per propria soddisfazione personale e, anche, per testare il livello di comprensione di quanto studiato fino a quel punto; per coloro che frequentano un corso scolastico, sarebbe op- portuno svolgere gli esercizi con il proprio docente il quale, tra l’altro, non dovra limitarsi a fare solo quelli presenti nel sedicesimo capitolo di questo libro, ma dovrebbe inventarne tanti altri, magari ispirando- si a quelli del libro, al fine di facilitare la discussione con gli allievi e l’approfondimento degli argomenti trattati.
Ringraziamenti. Si ringraziano gli amici che hanno sostenuto l’au- tore con incoraggiamenti e suggerimenti, la propria famiglia, che amo- revolmente ha sopportato gli stati d’animo non sempre allegri e le mo- mentanee difficolta. Un ringraziamento particolare agli eccellentissimi proff. Gianmarco Bramanti e Vincenzo Rubino, con i quali si ha la fortuna di condividere la stessa passione per la didattica, l’opportu- nita di confrontarsi nella risoluzione di problemi, che sanno stuzzicare curiosita e fantasia e che, in altri tempi, avrebbero sicuramente anima- to disfide matematiche al pari di Bernoulli & co.. Essi hanno suggerito migliorie, corretto le bozze e proposto originali esercizi per il completa- mento di questo volume. Tra i correttori, un ringraziamento specialee per un brillante giovane, che sta formandosi proprio in questi anni nello studio entusiastico della Matematica e di cui aspettiamo, fiduciosi, im- portanti risultati: grazie Vittorio Corea. Rimane sottinteso che ogni eventuale errore nella presente opera e ascrivibile totalmente all’autore che, comunque, ha gia ricevuto un grande aiuto nella correzione delle bozze da parte degli amici piu fidati e -sicuramente- piu autorevoli di lui sia nello studio, sia nella creazione e sopratutto nell’insegnamento delle Matematiche.
Catanzaro, 01.12.
Emanuele Castagna
L’intera opera e stata scritta utilizzando l’ambiente LATEX in un sistema Linux, per cui si ringraziano i creatori e curatori dei relativi progetti per la possibilita offerta di utilizzare questi mezzi informatici nella libera divul- gazione di opere d’ingegno e culturali. Le figure sono state realizzate con Geogebra, di cui si raccomanda l’utilizzo per chiarire molte delle idee pre- sentate o per approcciare gli esercizi proposti. Per le “scritture autografe” e le immagini “a mano libera”, lo strumento principale utilizzato `e stato il software Xournal++ per Linux, rilasciato sotto licenza GNU GPLv2 o successiva.
In copertina: collage di immagini scaricate dal sito “Wikimedia Commons”, ad opera dell’autore.
Quest’opera `e distribuita con licenza Creative Commons “Attribuzione – Non commerciale – Condividi allo stesso modo 3.0 Italia”.
Si invita alla massima pubblicazione e diffusione, grazie.
Indice
Prefazione iii
- Emanuele Castagna -“Lezioni di Matematica” - Vol.
- ISBN: 979-12-210-5058-
- (La Geometria di Ren´e Descartes) Parte 1. Geometria Analitica
- Capitolo 1. L’idea geniale
- L’algebra e la geometria si fondono.
- La distanza tra due punti
- Identificazione affine del piano
- Le coniche
- Equazioni analitiche e relazioni tra coordinate.
- Capitolo 2. La retta
- Pendenza
- Equazione (esplicita) della retta
- Come disegnare velocemente una retta
- Varie osservazioni sulla retta
- La retta ed i vettori
- Dall’espressione vettoriale all’equazione analitica e viceversa
- Parallelismo e perpendicolarit`a
- Qualche esempio di problema risolto
- Intersezioni tra rette e distanza punto-retta
- Rappresentazione implicita e fasci di rette.
- Le condizioni di passaggio
- Trasformazioni elementari del piano
- Capitolo 3. La parabola
- Come disegnare velocemente una parabola
- Determinazione dell’equazione della parabola
- Intersezione tra curve e risoluzione di sistemi
- Mutua posizione tra parabola e retta
- Propriet`a focali
- Capitolo 4. L’Ellisse
- L’eccentricit`a
- Mutua posizione tra ellisse e retta viii 0. INDICE
- Propriet`a focali
- Capitolo 5. L’iperbole
- Mutua posizione tra parabole e rette
- L’eccentricit`a per l’iperbole
- L’iperbole riferita ai propri asintoti
- Capitolo 6. La circonferenza
- Questioni di tangenza
- Considerazioni sull’equazione della circonferenza
- Intersezione tra due circonferenze
- Osservazioni sulla determinazione della circonferenza
- (Un interesse antichissimo) Parte 2. Goniometria e Trigonometria
- Capitolo 7. Goniometria... magica Trigonometria
- Le funzioni goniometriche elementari
- Descrizione delle funzioni goniometriche elementari
- Archi notevoli
- Archi associati
- Altre funzioni goniometriche
- Qualche formula utile
- Equazioni goniometriche elementari
- Equazioni risolvibili tramite archi associati
- Equazioni riconducibili a forme elementari
- Equazioni goniometriche lineari
- Trigonometria: la goniometria applicata ai triangoli
- Applicazioni
- Misurazione di distanze... “a distanza”
- Utilit`a in Fisica e per effettuare Rotazioni
- La pendenza di una retta
- (Le basi dei ragionamento sull’infinito) Parte 3. Successioni e funzioni esponenziali
- Capitolo 8. Progressioni e funzioni esponenziali
- Le progressioni aritmetiche (P.A.)
- Le progressioni geometriche (P.G.)
- La funzione esponenziale
- Legge degli esponenti: progressioni ed esponenziali
- I logaritmi
- Disequazioni esponenziali
- Capitolo 9. Le successioni numeriche ix
- Intorni, insiemi aperti ed insiemi chiusi
- I punti limite delle successioni
- Ordini di infinito
- Una successione fondamentale
- I limiti riconducibili al numero di Nepero
- (Una sinfonia coerente dell’infinito) Parte 4. L’Analisi Matematica
- Capitolo 10. Calcolo infinitesimale e calcolo differenziale
- Funzioni
- La funzione derivata
- Informazioni aggiuntive fornite dalla derivata
- Le derivate successive
- Approssimazioni locali tramite polinomi
- Problemi di Ottimizzazione
- Applicazioni varie del calcolo differenziale
- Continuit
a e discontinuita
- Continuit
- I punti singolari
- I Teoremi sulle funzioni continue
- I Teoremi sulle funzioni differenziabili
- Una questione lasciata in sospeso
- Capitolo 11. Serie numeriche ed Integrali
- Serie a termini (definitivamente) positivi
- Serie a termini alterni
- Alcune sommatorie notevoli
- Il problema delle aree e la soluzione geniale
- Propriet`a degli integrali definiti
- Come calcolare gli integrali indefiniti
- Applicazioni varie del calcolo integrale
- Capitolo 12. Curve nel piano e nello spazio
- Lunghezza di una curva
- La “Elena della Matematica”
- Rette e piani nello spazio
- Capitolo 13. Equazioni differenziali
- Termini e definizioni
- O.d.e. del primo ordine ed a variabili separabili
- O.d.e. lineari del primo ordine
- O.d.e. lineari del secondo ordine
- Parte 5. Matematica dell’incerto x 0. INDICE
- Capitolo 14. Richiami di calcolo delle probabilit`a e distribuzioni
- I principali teoremi del calcolo delle probabilit`a
- Distribuzioni di probabilit
a, cumulative e densita
- Distribuzioni di probabilit
- Principali Distribuzioni Discrete
- La normalit`a secondo Gauss
- Capitolo 15. EPILOGO
- TABELLA DELLA N p 0 , 1 q
- Parte 6. Esercizi
- Esercizi
- Relativi al Capitolo
- Relativi al Capitolo
- Relativi al Capitolo
- Relativi al Capitolo
- Relativi al Capitolo
- Relativi al Capitolo
- Relativi al Capitolo
- Relativi al Capitolo
- Relativi al Capitolo
- Relativi al Capitolo
- Relativi al Capitolo
- Relativi al Capitolo
- Relativi al Capitolo
- Relativi al Capitolo
- Esercizi di riepilogo: di tutto un po’
- primo lockdown per convid-19 Appendice A. Articoli distribuiti, ai propri studenti, durante il
- Indice analitico
- Bibliografia
Parte 1
Geometria Analitica
(La Geometria di Ren´e Descartes)
CAPITOLO 1
L’idea geniale
- L’algebra e la geometria si fondono. Nel 1637, come appendice del saggio filosofico intitolato “Discorso sul metodo”, il francese Ren´e Descartes (conosciuto in Italia col nome di Cartesio) scrisse un’opera, intitolata “Geometria”, fondamentale per lo sviluppo della Matematica occidentale, in cui descrive metodi rivolu- zionari che avrebbero portato allo studio delle propriet
a di particolari curve ad alla risoluzione di numerosi problemi rimasti fino ad allora aperti. Ma la portata rivoluzionaria delle sue idee andarono ben oltre, dato che tutta la Matematica moderna e la Fisica, per come affrontata ed impostata da Newton o Leibniz e tutti i loro successori, non potreb- be essere sviluppata prescindendo dal metodo di Cartesio. L’idea, in s´e, oggi nemmeno sembrerebbe cosı rivoluzionaria, dato che qualsiasi persona ragionevole la utilizzerebbe per dare indicazioni ai viandanti che chiedessero informazioni sulla posizione di qualche propria meta da raggiungere, ma -in effetti-e da tenere conto che fino alla prima meta del ’600, a nessuno era venuto in mente di fare le considerazioni che esporremo a breve e, soprattutto, di portare il ragionamento avanti, al fine di ottenere nuovi teoremi o rilevanti applicazioni nell’area tecnica- scientifica del sapere umano. Supponiamo che vi troviate in una citta di cui non conoscete le strade e che dobbiate chiedere informazioni per arrivare a casa di un vostro amico: un gentile signore vi indichera la posizione dicendovi, ad esempio, “andate avanti di tre isolati, poi gira- te a destra e proseguite per altre due traverse... sulla sinistra vedrete il portone che state cercando”. Ecco, a parte le indicazioni date, che avrebbero ben potuto essere altre, se vi foste trovati da qualche altra parte della citta, il punto chiave del discorsoe che quel signore -e voi stessi- per dirvi come arrivare dal vostro amico, ha considerato la po- sizione attuale come “l’origine” di un sistema di riferimento lungo cui muovervi in due direzioni: avanti di tre isolati e poi a destra per altre due traverse. Questa semplice idea `e l’osservazione fatta da Cartesio 1 per fondare il metodo delle coordinate.
(^1) Egli, per`o, narra che gli sia venuta in mente pensando a come localizzare gli
obbiettivi verso cui lanciare bombe con mortaio, quando era ufficiale dell’esercito.
3
4 1. L’IDEA GENIALE
1.1. La geometria cartesiana. Consideriamo due rette non pa- rallele, il punto d’intersezione la chiamiamo origine del sistema di ri- ferimento. Risulta chiaro che ogni punto del piano, compreso tra le due rette oppure che appartenga ad una di esse, puo essere raggiunto da un movimento che avviene nelle direzioni dei due assi. Si scel- ga allora un’unita di misura ed un verso di percorrenza degli assi, a partire dall’origine del sistema di riferimento, per determinare i movi- menti da effettuare lungo le due direzioni. A questo punto, ogni punto del piano verr`a identificato univocamente da una coppia di numeri reali, che indicano i movimenti da effettuare lungo le due direzioni, a partire dall’origine, per raggiungere il punto stesso (come nella figura d’appresso).
Al punto P saranno associati due numeri: il 3, che indica il movi- mento lungo la direzione dell’asse r ed il 2, che indica lo spostamento da effettuarsi lungo la direzione dell’asse s. Ora e chiaro che chiunque puo scegliere gli assi per come gli piace, specie se deve “adattarsi” a qualche riferimento fisicamente gia presente 2 , ma Cartesio suggerisce di considerare le due rette di riferimento, perpendicolari tra di loro. La perpendicolarita e una condizione privilegiata, dato che, come presto vedremo, ci permettera di considerare triangoli rettangoli, al fine dei nostri ragionamenti e, in ultima analisi, consente di applicare il Teore- ma di Pitagora senza patemi d’animo. Inoltre si conviene di chiamare l’asse orizzontale col nome di asse delle ascisse e l’asse verticale col nome di asse delle ordinate. Il primo movimento da indicare sar`a
(^2) Ad esempio, se ci trovassimo per strada e davvero chiedessimo indicazioni sulla
meta da raggiungere nel centro storico di una citt`a, difficilmente le strade saranno messe lungo direzioni comode.
6 1. L’IDEA GENIALE
distanza tra due punti di coordinate note?”. La risposta e chiaramen- te sı: le coordinate cartesiante conservano le informazioni geometriche e la mutua distanza tra punti `e un’informazione di tipo geometrico 4!
Osservazione: Prima di procedere, `e facile convincersi che l’ordina- ta di un punto rappresenta l’altezza rispetto all’asse orizzontale del punto stesso e “mutatis mutandi” l’ascissa rappresenta l’altezza del punto rispetto all’asse verticale.
Nel proseguo diremo verticale una retta parallela all’asse delle ordi- nate e orizzontale un asse parallelo all’asse delle ascisse
Considerando due punti qualsiasi del piano, A di coordinate pa 1 , a 2 q e B “ pb 1 , b 2 q a meno che essi non siano allineati in verticale o in oriz- zontale, nel qual caso la distanza e ovviamente la differenza tra l’altezza maggiore e l’altezza minore, tracciamo attraverso uno dei punti un asse verticale ed attraverso l’altro un asse orizzontale. Queste due rette si incontreranno in un punto (che nella figura di seguito indichiamo con P ): il triangolo ABPe rettangolo in P ed i cateti sono di lunghezza nota, poich´e i punti A e P cosı come B e P si troveranno allinea- ti o in verticale o in orizzontale. Si puo quindi applicare il Teorema di Pitagora per determinare la lunghezza dell’ipotenusa AB che sar`a proprio la distanza dpA, Bq che stiamo cercando.
In generale, considerando che elevando al quadrato un numero, esso risulta sempre positivo e che dpA, Cq “ |a 1 ´ b 1 | e dpB, Cq “ |a 2 ´ b 2 |
(^4) Ricordiamo che la distanza non `e altro che il segmento che ha come estremi i
due punti, di cui siamo interessati, in questo caso, alla sua misura.
2. LA DISTANZA TRA DUE PUNTI 7
allora, essendo questi due numeri le lunghezze dei cateti, si ha:
dpA, Bq “
a pa 1 ´ b 1 q^2 ` pa 2 ´ b 2 q^2.
Praticamente conviene “incolonnare” le coordinate dei due punti ed effettuare la sottrazione “elemento per elemento”, i numeri che si ot- tengono, che indichiamo con ∆x e ∆y rispettivamente 5 , si elevano al quadrato e si sommano, per estrarne, infine, la radice quadrata:
A= ( a 1 , a 2 ) B= ( b 1 , b 2 ) ∆x “ a 1 ´ b 1 , ∆y “ a 2 ´ b 2
ùñ dpA, Bq “
b p∆xq^2 ` p∆yq^2.
2.1. Punti medi. Supponiamo di voler inserire, tra A e B, il punto medio MAB oppure che si vogliano inserire 5 punti medi equidi- stanti tra A e B. Ribadendo il concetto fondamentale che le coordinate conservano l’informazione geometrica, ci si puo avvalere del Teorema di Talete per ottenere quello che vogliamo. Ricordiamo che dato un fascio di rette parallele, la congruenza dei segmenti su una trasversa- lee invariante qualsiasi sia la posizione assunta dalla trasversale. Per cui, se consideriamo gli assi cartesiani con delle trasversali, cosı come la retta su cui giace il segmento di estremi A e B, dividendo a meta i segmenti sugli assi cartesiani, si dividera a meta anche il segmento AB, come nella figura seguente esplicitato. Ma l’altezza media tra due altezze non e altro che la media aritmetica tra di esse, quindi il problema di determinare il punto medioe presto risolto!
(^5) Dato che, solitamente l’asse delle ascisse `e indicato anche come asse x e
quello delle ordinate come asse y ed il simbolo ∆ sta per differenza tra, ovvero incremento di a seconda su dove si voglia puntare l’attenzione.
2. LA DISTANZA TRA DUE PUNTI 9
ed in ultimo:
P 5 “
5 1 , 3
In generale, se si vogliono inserire n medi aritmetici, basta trovare i due incrementi lungo gli assi coordinati
∆x “
b 1 ´ a 1 n ` 1
e ∆y “
b 2 ´ a 2 n ` 1
e sommarli ripetutamente a partire da A, per ottenere i punti medi aritmetici cercati
Pk “ pa 1 k ∆x, a 2 k ∆yq , k “ 1 , 2 ,... , n.
2.2. Il baricentro tra tre punti. Sfruttiamo quanto detto finora per determinare il baricentro tra tre punti, che ricordiamo essere il pun- to d’intersezione delle tre mediane, qualora considerassimo, i tre punti dati, come i vertici di un triangolo. Tale punto ha, comunque, un’altra propriet`a notevole, come dimostrato nel primo biennio di corso, esso ripartisce ciascuna mediana in due parti, l’una doppia dell’altra. Allora potremmo pensare di determinare il baricentro tra tre punti semplice- mente trovando dapprima il punto medio tra due di essi e poi il punto che divide il segmento tra il vertice rimanente ed il punto medio appena trovato il due parti, l’una doppia dell’altra (il che equivale ad inserire due medi aritmetici e poi prendere le coordinate del secondo). Proce- diamo dapprima con un esempio e poi con una formula di tipo generale. Siano dati i punti A “ p´ 2 , 3 q, B “ p 1 , 4 q e C “ p 3 , ´ 2 q. Per come indicato precedentemente scegliamo due punti e ci troviamo pronta- mente il loro punto medio, ad esempio: MBC “ p 2 , 1 q. Tra A e MBC
inseriamo due medi aritmetici: ∆x “ 2 ´p´ 3 2 q “ 43 e ∆y “ 1 ´ 3 3 “ ´^23. Il baricentro `e il secondo medio aritmetico, pertanto ha le coordinate del punto G che determiniamo qui di seguito:
G “ p´ 2 2∆x, 3 2∆yq “
´ 2 `
10 1. L’IDEA GENIALE
In generale, se abbiamo i punti di coordinate A “ pa 1 , a 2 q, B “ pb 1 , b 2 q e C “ pc 1 , c 2 q, risulter`a chiaro che MBC “
b 1c 1 2 ,^
b 2 `c 2 2
e la divisione
del segmento AMBC in tre parti uguali sar`a operato da ∆x “
b 1 `c 1 2 ´a^1 3
e ∆y “
b 2 c 2 2 ´a^2 3.^ Il baricentro^ G,^ pertanto, avra coordinate:
G “ pa 1 2∆x, a 2 2∆yq “
a 1 `
b 1 ` c 1 ´ 2 a 1 3
, a 2 `
b 2 ` c 2 ´ 2 a 2 3
a 1 b 1 c 1 3
a 2 b 2 c 2 3
Osservazione: Si poteva ottenere lo stesso risultato per via geo- metrica, utilizzando il Teorema di Talete (in forma generale) che, ri- cordiamo, afferma essere invariante, sotto un fascio di rette parallele, il rapporto tra i segmenti che si formano su una stessa trasversale, qualsiasi posizione assuma quest’ultima rispetto al fascio stesso 9.
- Identificazione affine del piano Facciamo ora una considerazione tanto semplice quanto importate. Se noi consideriamo un punto P qualsiasi di coordinate pp 1 , p 2 q ed il segmento con estremi nell’origine del sistema di riferimento Op 0 , 0 q e P pp 1 , p 2 q, orientato da O verso P, ovvero se noi consideriamo il
(^9) Si invitano i lettori interessati a produrre la dimostrazione che le coordinate
del baricentro si determinano facendo la media aritmetica delle tre coordinate omo- loghe, tramite l’applicazione diretta del Teorema di Talete sulle proiezioni di una mediana sugli assi cartesiani.