Download Linear Programming Tasks and more Assignments Mathematics in PDF only on Docsity!
Приклади вирішення задач лінійного програмування. Графічний метод Задачі лінійного програмування – це задачі знаходження мінімуму або максимуму функції.
1 ^1 ,^ min^2 ,^3 ,...,^^ n ^ ^ max
N Z (^) j c xj j x x x x x або (1.1)
при умовах:
1 ,^ ^ 1,...,
N j ^ a xij j^ ^ bi^ i^ k^ (1.2)
a x bi i k m
N j ij^ j
1 ^
xj 0 ; aij , bi , cj – задані постійні величини. (1.4) Функцію Z називають цільовою функцією задачі, умови (1.2) – (1.4) – обмеженнями задачі; або областю допустимих розв’язків. Якщо обмеження задачі формулюються тільки у вигляді (1.2), (1.4) – задачу називають стандартною задачею лінійного програмування. Якщо обмеження задачі формулюються у вигляді (1.3), (1.4) – задачу називають канонічною задачею лінійного програмування.
Сукупність чисел x 1 , x 2 ,..., xn , які задовольняють обмеженням (1.2) – (1.4), називають
допустимим розв’язком задачі, розмірність якого визначається числом N. Допустимий розв’язок, який доставляє цільовій функції оптимальні значення, називаються оптимальним розв’язком. Графічний метод базується на геометричній інтерпретації задачі лінійного програмування (ЗЛП) і застосовується у випадку двовимірного простору допустимих розв’язків, і в деяких випадках – для тривимірного простору допустимих розв’язків. Для випадків N 3 графічний метод не застосовується через неможливість зображення області допустимих розв’язків. Нехай ставиться задача лінійного програмування виду: Z c 1 x 1 c 2 x 2 min (1.5) при умовах: 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2
1 1 2 2 1 2
m m m
a x a x b a x a x b
a x a x b x x
^ ^
Кожна нерівність цієї системи геометрично визначає півплощину з граничною прямою
a xi 1 1 + a xi 2 2 bi i 1, 2, ..., т . Умови невід’ємності змінних визначають півплощини з
граничними прямими х 1 (^) 0 та х 2 (^) 0. Система сумісна, тому півплощини як опуклі
множини, перетинаючись, утворюють спільну частину, що є опуклою множиною і являє собою сукупність точок, координати кожної з яких є розв’язком даної системи. Сукупність цих точок (розв’язків) називають багатокутником розв’язків, або областю допустимих планів (розв’язків) задачі лінійного програмування. Це може бути точка (єдиний розв’язок), відрізок, промінь, багатокутник, необмежена багатокутна область. Якщо в системі обмежень буде три змінних, то кожна нерівність геометрично визначатиме півпростір тривимірного простору, граничними площинами котрого будуть
ai 1 x 1 + a xi 2 2 a xi 3 3 bi i 1, 2, ..., т , а умови невід’ємності — півпростори з граничними
площинами x j 0 j 1, 2,3, де і — номер обмеження, а j — номер змінної. Якщо система
обмежень сумісна, то ці півпростори як опуклі множини, перетинаючись, утворять у тривимірному просторі спільну частину, що називається багатогранником розв’язків. Він може бути точкою, відрізком, променем, багатокутником, багатогранником, багатогранною необмеженою областю. Нехай у системі обмежень кількість змінних більша, ніж три: х 1 , х 2 ,… хn; тоді кожна нерівність визначає півпростір n-вимірного простору з граничною гіперплощиною
а xi 1 1 a xi 2 2 a xi 3 3 a xin n = bi i 1, 2, ..., т . Кожному обмеженню виду відповідають
гіперплощина та напівпростір, який лежить з одного боку цієї гіперплощини, а умови
невід’ємності — півпростори з граничними гіперплощинами х j 0 j 1, 2, 3, ..., n .
Якщо система обмежень сумісна, то за аналогією з тривимірним простором вона утворює спільну частину в n-вимірному просторі — опуклий багатогранник допустимих розв’язків. Отже, геометрично задача лінійного програмування являє собою відшукання координат такої точки багатогранника розв’язків, при підстановці яких у цільову лінійну функцію остання набирає максимального (мінімального) значення, причому допустимими розв’язками є усі точки багатогранника розв’язків. Цільову функцію в n - вимірному просторі основних змінних можна геометрично інтерпретувати як сім’ю паралельних гіперплощин, положення кожної з яких визначається значенням параметра Z. Розглянемо геометричну інтерпретацію задачі лінійного програмування на прикладі. Алгоритм графічного методу наступний:
- Зображається область допустимих розв’язків шляхом побудови прямих
1.4 Якщо область допустимих розв’язків (ОДР) є випуклою необмеженою областю, то задача має або один, або нуль, або безліч розв’язків (рисунок 1.4).
x 1 x 2
x 2 x (^2) , 03 1 2
1 2
x x
x x
Рисунок 1. 4
- Оптимальний розв’язок знаходиться шляхом паралельного переносу прямої
Z const в напрямку вектора N^ c 1 , c 2 . Мінімум задачі досягається в точці або на відрізку, в
яких пряма Z const вперше потрапляє на границю ОДР. Максимум задачі досягається в точці або на відрізку, в яких пряма Z const покидає ОДР при вказаному паралельному переносі. При вивченні графічного методу вдається встановити наступні властивості задача ЛП:
- Область допустимих розв’язків задачі ЛП – завжди випукла множина.
- Розв’язок задачі ЛП завжди знаходиться на границі області допустимих розв’язків.
- Число розв’язків задачі ЛП: або нуль; або один; або безліч. Задача має нуль розв’язків або у випадку, поки ОДР є порожньою множиною (рисунок 1), або у випадку, коли ОДР – необмежена область – пряма (^) Z const не може покинути ОДР через необмеженість останньої (рисунок 1.5).
x 2 x 2
x 1
N^
Рисунок 1. 5 Задача має один розв’язок, якщо пряма Z const вперше приходить в ОДР або ж покидає її рівно в одній точці (рисунок 1.6).
x 2 x 2
x 1
A (^) B N^
Рисунок 1. 6
Задача лінійного програмування має безліч розв’язків, якщо пряма (^) Z const при
паралельному переносі вздовж вектора N^ c 1 , c 2 при вході в ОДР або при виході з неї має з
ОДР більш ніж одну спільну точку (пряма (^) Z const паралельна одній із сторін ОДР (рисунок 1.7).).
B
x 2 x 2
x 1
A N^
l AB
l z const ||
;
Рисунок 1. 7
- Для знаходження розв’язку задачі ЛП необхідно визначити координати точки екстремуму шляхом розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що складається з двох рівнянь прямих, в перетині яких одержується точка екстремуму, та підставити одержані координати в (1.5).
- Між задачами на знаходження мінімуму та максимуму існує наступний зв’язок:
max Z min Z
Вказані властивості задачі лінійного програмування є справедливими для задач з будь- якою розмірністю простору допустимих розв’язків.
Приклади розв'язування задач графічним методом Розглянемо застосування графічного методу для розв'язування деяких економічних задач. Приклад 1. Розв’язати графічно задачу лінійного програмування f 3 x 1 (^) 2 x 2 extr
1 2 1 2
x x x x
^ ^
звідси маємо: х 1 (^) 13 ; х 2 (^) 7.
f *^ max f (C) f 13 ; 7 43
Аналогічно, здійснюючи паралельне перенесення лінії рівня вздовж напрямку спадання
N 3 ; 2 знаходимо іншу крайню точку — вершину А.
Координати точки А є розв'язком системи рівнянь, яку отримуємо як перетин другої та третьої прямих
1 2 1 2
x x x x
^ ^
звідси маємо: х 1 (^) 4 ; х 2 (^) 2.
В ній цільова функція f х набуває мінімального значення
f *min f ( A ) f 4 ; 2 16
5 0 5 10 15 20 25
5
5
10
15
20
25
Приклад 2. Фірма спеціалізується на виробництві офісних меблів, зокрема вона випускає два види збірних книжкових полиць - А та В. Полиці обох видів виготовляють на верстатах 1 та 2. Тривалість обробки деталей однієї полиці кожної моделі подано в таблиці
Верстат
Тривалість обробки полиці моделі, хв.
Ресурс робочого часу верстатів, А В^ год. на тиждень 1 ЗО 15 40 2 12 26 36
Прибуток фірми від реалізації однієї полиці моделі А дорівнює 50 у. о., а моделі В-30 у. о. Вивчення ринку збуту показало, що тижневий попит на книжкові полиці моделі А ніколи не перевищує попиту на модель В більш як на 30 одиниць, а продаж полиць моделі В не перевищує 80 одиниць на тиждень. Необхідно визначити обсяги виробництва книжкових полиць цих двох моделей, що максимізують прибуток фірми. Для цього слід побудувати економіко-математичну модель поставленої задачі та розв'язати її графічно. Побудова математичної моделі. Змінними в моделі є тижневі обсяги виробництва книжкових полиць моделей А та В. Нехай х 1 — кількість полиць моделі А, виготовлених фірмою за тиждень, а х 2 — кількість
полиць моделі В. Цільова функція задачі — максимум прибутку фірми від реалізації продукції. Математично вона подається так: Z 50 х 1 (^) 30 х 2 max Обмеження задачі враховують тривалість роботи верстатів 1 та 2 для виготовлення продукції та попит на полиці різних моделей. Обмеження на тривалість роботи верстатів 1 та 2 мають вид: для верстата 1: 30 х 1 (^) 15 х 2 2400 ; для верстата 2: 12 х 1 (^) 26 х 2 (^2160). Обмеження на попит записуються так: х 1 (^) – х 2 30 х 2 (^) 80 Загалом економіко-математичну модель цієї задачі можна записати так: Z 50 х 1 (^) 30 х 2 max
задачу буде розв'язано, якщо ми зможемо відшукати таку точку багатокутника ОАВСDЕ, в якій цільова функція Z набирає найбільшого значення.
Для цього побудуємо вектор N ( с 1 (^) ; с 2 )
uur , координатами якого є коефіцієнти при
змінних у цільовій функції задачі. Вектор N^ uur завжди виходить із початку координат і
напрямлений до точки з координатами x 1 ; x 2 c 1 ; c 2 У нашій задачі вектор N ( 50 ; 3 ) 0
uur .
Він задає напрям збільшення значень цільової функції Z , а вектор, протилежний йому, — напрям їх зменшення. Побудуємо лінію, що відповідає, наприклад, значенню Z = 0. Це буде пряма 50 x 1 (^) 30 x 2 0 , яка перпендикулярна до вектора N
uur і проходить через
початок координат. Оскільки в даному прикладі необхідно визначити найбільше значення цільової функції, то пересуватимемо пряму 50 x 1 (^) 30 x 2 0 паралельно самій собі згідно з
напрямом вектора N^ uur доти, доки не визначимо вершину багатокутника, яка відповідає оптимальному плану задачі. Із рисунка видно, що останньою спільною точкою прямої цільової функції та багатокутника ОАВСDЕ є точка С. Координати цієї точки є оптимальним планом задачі, тобто такими обсягами виробництва книжкових полиць видів А та В, що забезпечують максимум прибутку від їх реалізації за даних умов. Координати точки С є розв'язком системи рівнянь, які відповідають рівнянням першої і другої прямих:
1 2 1 2
х х х х
звідси маємо: x 1 (^) 50 , x 1 (^) 60
Отже, Z max 50 50 30 60 4300 при x *^ 50; 60.
Це означає, що коли фірма щотижня виготовлятиме 50 збірних книжкових полиць моделі А та 60 — моделі В, то вона отримає максимальний прибуток — 4300 у. о. Це потребуватиме повного використання тижневих ресурсів робочого часу верстатів 1 та 2.
Симплекс-метод Розглянемо застосування симплекс-методу для розв'язання деяких задач лінійного програмування. Графічний метод для визначення оптимального плану задачі лінійного програмування доцільно застосовувати лише для задач із двома змінними. За більшої кількості змінних вдаються до загального методу розв'язування задач лінійного програмування — так званого симплекс-методу. Процес розв'язування задачі симплекс-методом має ітераційний характер: обчислювальні процедури (ітерації) одного й того самого типу повторюються у певній послідовності доти, доки не буде отримано оптимальний план задачі або з'ясовано, що його не існує. Алгоритм розв'язування задачі лінійного програмування симплекс-методом складається з п'яти етапів:
- Визначення початкового опорного плану задачі лінійного програмування.
- Побудова симплексної таблиці.
- Перевірка опорного плану на оптимальність за допомогою оцінок (^) Z (^) j Cj. Якщо всі
оцінки задовольняють умову оптимальності, то визначений опорний план є оптимальним планом задачі. Якщо хоча б одна з оцінок Z (^) j Cj не задовольняє умову оптимальності, то
переходять до нового опорного плану або встановлюють, що оптимального плану задачі не існує.
- Перехід до нового опорного плану задачі виконується визначенням розв'язувального елемента та розрахунком нової симплексної таблиці.
- Повторення дій починаючи з п. 3. Розглянемо докладніше кожний з етапів алгоритму.
- Визначення першого опорного плану починають із запису задачі лінійного програмування в канонічній формі, тобто у вигляді обмежень-рівнянь з невід'ємними правими частинами. Якщо в умові задачі присутні обмеження-нерівності, то перетворення їх на рівняння виконується за допомогою додаткових змінних, які вводяться до лівої частини обмежень типу « » зі знаком « + », а до обмежень типу « » — зі знаком « ». У цільовій функції задачі додаткові змінні мають коефіцієнт нуль. Після зведення задачі до канонічного вигляду її записують у векторній формі. За означенням опорного плану задачі лінійного програмування його утворюють т одиничних лінійно незалежних векторів, які становлять базис m - вимірного простору (де т — кількість обмежень у задачі лінійного програмування). На цьому етапі розв'язування задачі можливі такі випадки:
1 ^ 1...
m (^) j Z (^) j C (^) j (^) i c ai ij c (^) j j n
або безпосередньо із симплексної таблиці як скалярний добуток векторів-стовпчиків « Cбаз »
та « xi » мінус відповідний коефіцієнт Cj. Розраховані оцінки записують в окремий рядок
симплексної таблиці, який називають оцінюючим. У процесі перевірки умови оптимальності можливі такі випадки: а) усі (^) j j 1, n задовольняють умову оптимальності, і тоді визначений опорний план
є оптимальним; б) не всі j задовольняють умову оптимальності, і тоді потрібно виконати перехід до
наступного, нового опорного плану задачі.
- Перехід від одного опорного плану до іншого виконується зміною базису, тобто виключенням з нього деякої змінної та введенням замість неї нової з числа вільних змінних задачі. Змінна, яка включається до нового базису, відповідає тій оцінці Z (^) j Cj , що не
задовольняє умову оптимальності. Якщо таких оцінок кілька, серед них вибирають найбільшу за абсолютною величиною і відповідну їй змінну вводять до базису. Припустимо, що індекс зазначеної змінної j = k. Відповідний стовпчик симплексної таблиці називають розв’язувальним. Для визначення змінної, що має бути виключена з базису, знаходять для всіх додатних
aik розв’язувального стовпчика величину a^ biki. Вибирають найменше значення , яке
вказує на змінну, що виводиться з базису. Припустимо, що це виконується для і = r. Відповідний рядок симплексної таблиці називатиметься розв’язувальним. Перетином розв’язувального стовпчика та розв’язувального рядка визначається число симплексної таблиці аrk , яке називають розв’язувальним елементом. За допомогою елемента
аrk і методу Жордана-Гаусса розраховують нову симплексну таблицю. Далі ітераційний процес повторюють доти, доки не буде визначено оптимальний план задачі. У разі застосування симплекс-методу для розв'язування задач лінійного програмування можливі такі випадки.
- Якщо в оцінюючому рядку останньої симплексної таблиці оцінка Z (^) j Cj 0
відповідає вільній (небазисній) змінній, то це означає, що задача лінійного програмування має альтернативний оптимальний план. Отримати його можна, вибравши розв'язувальний елемент у зазначеному стовпчику таблиці та здійснивши один крок симплекс-методом.
- Якщо при переході у симплекс-методі від одного опорного плану задачі до іншого в напрямному стовпчику немає додатних елементів аrk, тобто неможливо вибрати змінну, яка
має бути виведена з базису, то це означає, що цільова функція задачі лінійного програмування є необмеженою й оптимальних планів не існує.
- Якщо для опорного плану задачі лінійного програмування всі оцінки Z (^) j C (^) j j 1... n задовольняють умову оптимальності, але при цьому хоча б одна штучна
змінна є базисною і має додатне значення, то це означає, що система обмежень задачі несумісна й оптимальних планів такої задачі не існує.
Прилади розв'язування задачі симплекс-методом Приклад 3. Виробнича фірма планує випускати два види продукції. Для виготовлення цієї продукції використовуються трудові ресурси, матеріальні ресурси та верстатне обладнання. Загальний обсяг ресурсів (в розрахунку на трудовий тиждень), витрати кожного ресурсу на одиницю продукції і ціна одиниці продукції приведені у таблиці. Необхідно знайти, скільки продукції і якого виду буде вироблено із обмежених ресурсів, щоб загальна виручка від реалізації всього обсягу продукції була б максимальною. Припускається, що попит не обмежений. Розв'язати цю задачу лінійного програмування і провести економіко-математичний аналіз її розв'язків. Для цього: Побудувати математичну модель задачі. Розв'язати задачу симплексним методом; дати економічне тлумачення основним і додатковим змінним початкової і двоїстої задач.
Обсяг ресурсів
Норми витрат ресурсів на одиницю продукції П 1 П 2 1533 7 3 1044 9 2 371 7 1 Ціна 1 од. 5 2 Розв’язання:
- Побудуємо математичну модель цієї задачі: Цільовою функцією задачі є загальний прибуток від реалізації готової продукції z 5 x 1 (^) 2 x 2 max
Оскільки вектори A 3
uur , A 4
uur та A 5
uur одиничні та лінійно незалежні, то саме з них
складається початковий базис у зазначеній системі векторів. Змінні задачі x 3 , x 4 та x 5 , що
відповідають одиничним базисним векторам, називають базисними, а решту — вільними змінними задачі лінійного програмування. Прирівнюючи вільні змінні до нуля, з кожного обмеження задачі дістаємо значення базисних змінних: х 1 (^) х 2 0 , x 3 (^) 1533 , x 4 (^) 1044 , x 5 (^) 371.
Згідно з визначеними x j j 1...5 векторна форма запису системи обмежень цієї
задачі матиме вигляд: 0 uu A r 1^ 0 uu A r 2 (^) 1533 uu A r 3 (^) 1044 A uur 4 (^) 371 uu A r 5 (^) uu A r 0
Оскільки додатні коефіцієнти (^) xj відповідають лінійно незалежним векторам, то за
означенням X 0; 0; 1533; 1044; 371 є опорним планом задачі і для цього початкового плану
Z 0 5 0 2 0 0 1533 0 1044 0 3 71 0
Далі побудуємо першу симплексну таблицю для початкової задачі Симплексна таблиця 1
Сi баз xi баз
bi i x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0 x 3 7 3 1 0 0 1533 219 0 x 4 9 2 0 1 0 1044 116 0 x 5 7 1 0 0 1 371 53 Z (^) j – C (^) j (^0) -- 5 - 2 0 0 0 Z 0 (^) 0 Елементи останнього рядка симплекс-таблиці є оцінками (^) j Z (^) j Cj , за допомогою
яких опорний план перевіряють на оптимальність. Їх визначають так:
Z 1 – с 1 0 7 0 9 0 7 – 5 –5 ;
Z 2 – с 2 0 3 0 2 0 1 – 2 –2 ;
Z 3 – с 3 0 1 0 0 0 0 – 0 0 ;
Z 4 – с 4 0 0 0 1 0 0 – 0 0 ;
Z 5 – с 5 0 0 0 0 0 1 – 0 0.
У стовпчику « bi » оцінюючого рядка записують значення цільової функції Z, якого
вона набуває для визначеного опорного плану: Z 0 (^) 5 0 2 0 0 1533 0 1044 0 3 71 0.
Після обчислення всіх оцінок опорний план перевіряють на оптимальність. Для цього продивляються елементи оцінюючого рядка. Якщо всі (^) j 0 (для задачі на тах ), то
визначений опорний план є оптимальним. Якщо ж в оцінюючому рядку є хоча б одна оцінка,
що не задовольняє умову оптимальності (від'ємна в задачі на тах ), то опорний план є неоптимальним і його можна поліпшити. У цій задачі в оцінюючому рядку дві оцінки 1 5 та 2 2 від'ємні, тобто не
задовольняють умову оптимальності, і тому перший визначений опорний план є неоптимальним. За алгоритмом симплекс-методу необхідно від нього перейти до іншого опорного плану задачі. Перехід від одного опорного плану до іншого здійснюють зміною базису, тобто через виключення з поточного базису якоїсь змінної та включення замість неї нової з числа вільних змінних. Для введення до нового базису вибираємо змінну x 1 , оскільки їй відповідає найбільша
за абсолютною величиною оцінка з-поміж тих, які не задовольняють умову оптимальності
–5^ |^ –2|^. Щоб визначити змінну, яка підлягає виключенню з поточного базису, для всіх додатних
елементів стовпчика « x 1 » знаходимо відношення 1
i i
b a і вибираємо найменше значення.
Згідно з даними симплексної таблиці маємо, що
i min min ^ 1533 1044 371^7 ; 9 ; 7 min 219;116;53 53. Тому третій рядок буде
розв’язувальним. Отже, розв'язувальний елемент a 31 (^) 7. Дальший перехід до нового
опорного плану задачі полягає в побудові наступної симплексної таблиці, елементи якої розраховують за методом Жордана — Гаусса. Визначимо елементи наступної таблиці. У цій таблиці спочатку заповнюють два перших стовпчики « xбаз » і « Сбаз », а решту елементів нової таблиці розраховують за
розглянутими нижче правилами:
- Кожний елемент розв'язувального рядка необхідно поділити на розв'язувальний елемент і отримані числа записати у відповідний рядок нової симплексної таблиці.
- Розв'язувальний стовпчик у новій таблиці записують як одиничний з одиницею замість розв'язувального елемента.
- Якщо в розв’язувальному рядку є нульовий елемент, то відповідний стовпчик переписують у нову симплексну таблицю без змін.
- Якщо в розв’язувальному стовпчику є нульовий елемент, то відповідний рядок переписують у нову таблицю без змін.
- Усі інші елементи наступної симплексної таблиці розраховують за правилом прямокутника.
Симплексна таблиця 3
Сi баз xi баз
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 bi^ i 0 x 3 - 14 0 1 0 - 3 420 0 x 4 - 5 0 0 1 - 2 302 0 x 2 7 1 0 0 1 371 Z (^) j – C (^) j 0 9 0 1 2 Z 2 (^) 742 В оцінюючому рядку третьої симплексної таблиці немає від'ємних чисел, тобто всі оцінки (^) Z (^) j – C (^) j 0 задовольняють умову оптимальності. Це означає, що знайдено оптимальний
план задачі:
х 1 * (^) 0; х * 2^ 371; х * 3^ 420; x * 4^ 302; x 5 * 0.
або
X *^ 0;371; 420;302;0
Z (^) max 742 Користуючись знайденими результатами , можна зробити такі висновки. З двох видів продукції для досягнення максимальної виручки, рівної 742 вартісних одиниць доцільно виробляти другий вид продукції у кількості 371 одиниця.
Транспортна задача Транспортна задача — це специфічна задача лінійного програмування, застосовувана для визначення найекономічнішого плану перевезення однорідної продукції від постачальників до споживачів. Математична модель транспортної задачі має такий вигляд:
1 1
min;
m n
Z i j cij xij
за обмежень
1 ^ 1...
n
j ^ xij^^ ^ ai^ i^ m^ ;
1 ^ 1...
m
i ^ xij^^ ^ bj^ j^ n^ ;
xij 0 i 1... m ; j 1... n .
де (^) xij — кількість продукції, що перевозиться від і-го постачальника до j-го споживача;
cij — вартість перевезення одиниці продукції від i-го постачальника до j-го споживача; ai — запаси продукції i-го постачальника; bj — попит на продукцію j-го споживача. Якщо в транспортній задачі загальна кількість продукції постачальників дорівнює
загальному попиту всіх споживачів, тобто 1 1
m n
i i j bj , то таку транспорту задачу називають
збалансованою, або закритою. Якщо ж така умова не виконується, то транспортну задачу називають незбалансованою, або відкритою. Планом транспортної задачі називають будь-який невід'ємний розв'язок системи
обмежень транспортної задачі, який позначають матрицею x xij i 1... m ; j 1... n .
Оптимальним планом транспортної задачі називають матрицю
X x ij i 1... m ; j 1... n
(^) r^ , яка задовольняє умови задачі і для якої цільова функція
набуває найменшого значення. Теорема (умова існування розв'язку транспортної задачі). Необхідною і достатньою
умовою існування розв'язку транспортної задачі є її збалансованість, тобто 1 1
m n
i i j bj.
Транспортна задача є задачею лінійного програмування, яку можна розв'язати симплекс-методом. Але специфічна структура транспортної задачі дає змогу використовувати для її розв'язування ефективніший метод, який повторює, по суті, кроки симплекс-алгоритму. Таким є метод потенціалів.
