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LOGIQUE ET RAISONNEMENTS 3
Chapitre 1
Logique
et raisonnements
LeȱmathématicienȱitalienȱGiuseppeȱPeanoȱétaitȱtrèsȱsoucieuxȱ d’exposerȱlesȱmathématiquesȱdansȱunȱcadreȱprécisȱetȱrigoureux.ȱ Dansȱsonȱ Formulaireȱmathématique ȱpubliéȱenȱ1895,ȱilȱintroduisitȱdeȱ nombreuxȱsymbolesȱnouveaux.ȱOnȱluiȱdoitȱenȱparticulierȱȱetȱȱ désignantȱrespectivementȱl’intersectionȱetȱlaȱréunion.ȱIlȱutiliseȱlaȱ lettreȱgrecqueȱ epsilon ,ȱabréviationȱduȱgrecȱ esti,ȱilȱest ,ȱpourȱnoterȱ l’appartenanceȱetȱintroduitȱleȱquantificateurȱexistentielȱqu’ilȱ noteȱ,ȱrenversantȱunȱEȱpourȱsignifierȱl’initialeȱduȱmotȱitalienȱ esiste .ȱIlȱproposeȱaussiȱdeȱsupprimerȱlesȱdéclinaisonsȱduȱlatinȱ pourȱobtenirȱuneȱlangueȱinternationale,ȱsimpleȱetȱcompriseȱȱ parȱtous,ȱqu’ilȱnommeȱ Latinoȱsineȱflexione .ȱLeȱlogicienȱanglaisȱ BertrandȱRussellȱproposeȱunȱparadoxeȱquiȱremetȱenȱcauseȱlaȱ théorieȱdesȱensemblesȱetȱnécessiteȱdeȱlaȱfonderȱȱ surȱunȱsystèmeȱd’axiomes.ȱ
ȱ Bertrand Russell 1872-
les incontournables
manipuler les quantificateurs raisonner par implication ou par ´equivalence utiliser un raisonnement par l’absurde ou par contraposition effectuer un raisonnement par r´ecurrence simple ou double
et plus si affinit´es
appliquer une r´ecurrence forte raisonner par analyse-synth`ese
Objectifs
Les incontournables
Z Manipulerȱlesȱquantificateurs.ȱ
Z Raisonnerȱparȱimplicationȱouȱparȱéquivalence.ȱ
Z Utiliserȱunȱraisonnementȱparȱlȇabsurdeȱouȱparȱcontraposition.ȱ
Z Effectuerȱunȱraisonnementȱparȱrécurrenceȱsimpleȱouȱdouble.ȱ
Et plus si affinités...
Z Appliquerȱuneȱrécurrenceȱforte.ȱ
Z RaisonnerȱparȱanalyseȬsynthèse.ȱȱ ȱ
Remarque : d’apr`es cette table de v´erit´e, si P et P ⇒ Q sont vraies alors Q est vraie. C’est le principe de d´eduction.
D´efinition : Contrapos´ee —. Soit P et Q deux propositions. On appelle contrapos´ee de l’implica- tion P ⇒ Q l’implication non Q ⇒ non P
Th´eor`eme 1.1.— Soit P et Q deux propositions. L’implication P ⇒ Q et sa contrapos´ee sont ´equivalentes. Autrement dit :
(P ⇒ Q) ⇐⇒ (non Q ⇒ non P )
Proposition 1.2.— Soit P et Q deux propositions. Alors :
non (non P ) ⇐⇒ P non (P et Q) ⇐⇒ (non P ) ou (non Q)
non (P ou Q) ⇐⇒ (non P ) et (non Q) non (P ⇒ Q) ⇐⇒ P et (non Q)
Quantificateurs
D´efinition : Soit P (x) une propri´et´e d´ependant d’un parametre x, ou x est un ´el´ement d’un en- semble E.
- Quantificateur universel : Pour signifier que la propri´et´e P (x) est vraie pour tous les ´el´ements x de E, on ´ecrit : ∀x ∈ E, P (x)
Le symbole ∀ est appel´e quantificateur universel et se lit ≪^ quel que soit ≫.
- Quantificateur existentiel —. Pour signifier que la propri´et´e P (x) est vraie pour au moins un ´el´ement x de E, on ´ecrit : ∃x ∈ E, P (x)
Le symbole ∃ est appel´e quantificateur existentiel et se lit ≪^ il existe ≫.
Proposition 1.3.— N´egation des propositions avec quantificateurs —. La n´egation de la proposition ∀x ∈ E, P (x) est : ∃x ∈ E, non P (x). La n´egation de la proposition ∃x ∈ E, P (x) est : ∀x ∈ E, non P (x).
Remarque : attention, l’ordre des quantificateurs est tr`es important. Lorsque plusieurs quantifi- cateurs apparaissent dans une proposition, on ne peut pas intervertir leur ordre sans changer (en g´en´eral) le sens de la proposition. Pour s’en convaincre, on pourra consulter le Vrai/Faux.
6 CHAPITRE 1
Raisonnement par r´ecurrence
Th´eor`eme 1.4.— Propri´et´e fondamentale de N —. Toute partie non vide de N admet un plus petit ´el´ement.
Th´eor`eme 1.5.— Principe de r´ecurrence —. Soit P(n) une proposition d´ependant de n ∈ N, et n 0 ∈ N. Si
- Initialisation : la proposition P(n 0 ) est vraie,
- H´er´edit´e : pour tout entier n n 0 , P(n) implique P(n + 1) ; alors la proposition P(n) est vraie pour tout entier n n 0.
Th´eor`eme 1.6.— R´ecurrence double —. Soit P(n) une proposition d´ependant de n ∈ N, et n 0 ∈ N. Si
- Initialisation : les propri´et´es P(n 0 ) et P(n 0 + 1) sont vraies,
- H´er´edit´e : pour tout entier n n 0 , (P(n) et P(n + 1)) implique P(n + 2) ; alors la proposition P(n) est vraie pour tout entier n n 0.
Th´eor`eme 1.7.— Principe de r´ecurrence forte (ou r´ecurrence avec pr´ed´ecesseurs) —. Soit P(n) une proposition d´ependant de n ∈ N, et n 0 ∈ N. Si
- Initialisation : la proposition P(n 0 ) est vraie,
- H´er´edit´e : pour tout entier n n 0 ,
P(n 0 ) et P(n 0 + 1) et · · · et P(n)
implique P(n + 1) ;
alors la proposition P(n) est vraie pour tout entier n n 0.
LOGIQUE ET RAISONNEMENTS 7
D´emontrer une implication
M´ethode 1.4.— Comment d´emontrer une implication par raisonnement direct Pour montrer directement l’implication P ⇒ Q, on suppose que P est vraie et on d´emontre que Q est vraie. La d´emonstration commence par ≪^ supposons que P est vraie ≫^ et se termine par ≪^ Q est vraie ≫.
Exemple : d´emontrer que, pour x et y r´eels, x^2 = y^2 =⇒ |x| = |y|. Soit x et y deux r´eels tels que x^2 = y^2. On a donc x^2 − y^2 = 0, soit (x − y)(x + y) = 0. Par cons´equent, x − y = 0 ou x + y = 0. Ainsi, x = y ou x = −y, ce qui signifie que |x| = |y| (x et y sont ´egaux ou oppos´es). On a donc d´emontr´e l’implication attendue.
M´ethode 1.5.— Comment d´emontrer une implication par contraposition Le raisonnement par contraposition est bas´e sur le th´eoreme 1.1 : l’implication P ⇒ Q est ´equivalentea sa contrapos´ee non Q ⇒ non P.
Ainsi, pour montrer que l’implication P ⇒ Q est vraie, on peut prouver que l’implication non Q ⇒ non P est vraie. En pratique, on suppose donc que non Q est vraie et on montre que non P est vraie.
Exemple : soit n un entier naturel. Montrer que, si n^2 est pair, alors n est pair.
La proposition a d´emontrer s’´ecrit : ≪^ n^2 est pair ⇒ n est pair ≫. Nous allons raisonner par contraposition en d´emontrant la proposition (´equivalente) : ≪^ n n’est pas pair ⇒ n^2 n’est pas pair ≫, c’est-a-dire ≪^ n est impair ⇒ n^2 est impair ≫. Consid´erons un entier impair n : il existe donc k ∈ N tel que n = 2k + 1. On a alors n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1, ce qui s’´ecrit aussi n^2 = 2p+1, o`u p = 2k^2 +2k. Par cons´equent, n^2 est un entier impair, ce qui d´emontre l’implication : si n est impair, alors n^2 est impair. Par contraposition, nous avons donc montr´e l’implication : si n^2 est pair, alors n est pair.
Exemple : montrer l’implication ≪^ x /∈ Q ⇒ 1 + x /∈ Q ≫.
Nous allons de nouveau utiliser la contrapos´ee en d´emontrant l’implication ≪^ 1+x ∈ Q ⇒ x ∈ Q ≫. Soit x un r´eel tel que 1 + x ∈ Q. On peut ´ecrire x = (1 + x) − 1. Or 1 + x est un nombre rationnel (hypoth`ese), et 1 aussi. Par cons´equent, (1 + x) − 1 est un nombre rationnel, ce qui montre que x ∈ Q. Par contraposition, on a d´emontr´e l’implication ≪^ x /∈ Q ⇒ 1 + x /∈ Q ≫.
Mise en œuvre : exercice 1.
M´ethode 1.6.— Comment d´emontrer une implication par l’absurde L’implication P ⇒ Q est la proposition non P ou Q, sa n´egation est donc P et non Q. Pour d´emontrer par l’absurde l’implication P ⇒ Q :
- on suppose que P est vraie et que Q est fausse ;
- on montre que cela aboutit `a une contradiction.
LOGIQUE ET RAISONNEMENTS 9
Exemple : soit x, y ∈ R+. En raisonnant par l’absurde, montrer que, si (^) 1+xy = (^) 1+yx , alors x = y.
On raisonne par l’absurde en supposant que (^) 1+xy = (^) 1+yx et x �= y (P est vraie, Q est fausse). Il en r´esulte que x(1 + x) = y(1 + y), d’ou l’on tire x^2 − y^2 = y − x, soit (x − y)(x + y) = y − x, d’ou (x − y)(x + y + 1) = 0. Comme x �= y, on en d´eduit que x + y + 1 = 0, donc x + y = −1. Absurde vu que x et y sont positifs! leur somme ne saurait ˆetre n´egative. D’o`u le r´esultat.
D´emontrer une ´equivalence
M´ethode 1.7.— Comment d´emontrer une ´equivalence par double implication Par d´efinition, l’´equivalence ≪^ P ⇔ Q ≫^ est la proposition ≪^ P ⇒ Q et Q ⇒ P ≫. D´emontrer par double implication l’´equivalence P ⇔ Q, c’est d´emontrer que les implica- tions P ⇒ Q et Q ⇒ P. En pratique, pour d´emontrer P ⇔ Q par double implication :
- on d´emontre P ⇒ Q ;
- puis on d´emontre Q ⇒ P.
Dans ce cas, il y a donc deux d´emonstrations `a faire pour obtenir l’´equivalence.
Exemple : on pose f (x) = mx + 1. Montrer que f garde un signe constant sur R si et seulement si m = 0. Nous allons prouver cette ´equivalence en raisonnant par double implication. ⇒ Si m = 0, f est constante et ´egale `a 1, elle garde donc un signe constant (positif) sur R. ⇐ R´eciproquement, montrons que, si f garde un signe constant sur R, alors m = 0. Pour cela, on raisonne par contrapos´ee en supposant que m �= 0. On a alors :
f (x) = m
x +
m
et f change de signe en − (^) m^1 (du signe de m pour x > − (^) m^1 , du signe de −m pour x < − (^) m^1 ). Ainsi, si m �= 0, f change de signe sur R. Nous avons montr´e les deux implications. Ainsi, f garde un signe constant sur R si et seulement si m = 0.
Exemple : r´esoudre dans R l’´equation 2x =
x^2 + 1. On va raisonner par double implication.
- Si x est solution de l’´equation, alors (2x)^2 = x^2 + 1, soit 4x^2 = x^2 + 1, d’o`u 3x^2 = 1. On obtient donc x = √^13 ou x = − √^13.
- R´eciproquement, √^13 et − √^13 sont-ils solutions de l’´equation? Si x est ´egal `a √^13 ou − √^13 , alors √ x^2 + 1 =
4 /3 = √^23. Par cons´equent, √^13 est solution mais − √^13 ne l’est pas.
Finalement, l’unique solution de l’´equation est √^13.
M´ethode 1.8.— Comment d´emontrer une ´equivalence par raisonnement direct Pour d´emontrer l’´equivalence P ⇔ Q, on peut ´egalement enchaˆıner les ´equivalences. On passe de P a Q par une succession d’´equivalences en s’assurant,a chaque ´etape du raisonnement, que l’´equivalence est bien conserv´ee.
10 CHAPITRE 1
