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lydexe td math nombre reeles, Exercises of Mathematics

Ecole Mohammadia d'IngénieursMathematics

exercices sur les nombre reeles

Typology: Exercises

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zin-el-abidine-rahouhi
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Exercice 1: Déterminer la limite, si celle-ci existe, des suites (up) suivantes : 3 — (-2)" @) m= Fp cae tin = Vat tn— vnP—n (c) uy (d) w= al (« ER) Om Dare Oma Dat (g) tn = Le (h) tin = La :Exercice 2: Soient a,b € R ct soicnt (up), (vp) deux suites réelles telles que Un <@, Un a+b n—++co Montrer que (u,) converge vers a ct que (vn) converge vers b. Exercice 3: Soient (un) et (vn) deux suites telles que O 1 alors u, ———> +00. noo 3. Montrer que dans le cas ¢ = 1 on ne peut rien conclure. Exercice 6: Soit (un)nen une suite de réels strictement positifs. On suppose i Un+1 lim n>+c0o Un =. 1. Pour (a,b) € R34, établir : 2¥ab 1, un < Un; Un < Ungi et Uni S Un. 3. Etablir que (up) et (vn) convergent vers une méme limite. Exercice 8: On pose, pourn €N _2)n G=2)" 6 dex. [5 nt . Montrer que la suite (Z,) tend vers 0. = » Calculer Ip. (n+)! 5 io Bt Pour tout n € N, on pose . Montrer que: Wn EN’, In = t+ lngt e= lim n+00 4. En déduire que : \kExercice 9: “1 “1 1 1 m= oF et tn Oo al = =0 1. Montrer que (an) et (6,) sont strictement monotones et adjacentes. Leur limite commune est le nombre d’Euler e selon l’exercice précédent. 2. On désire montrer que e ¢ Q et pour cela on raisonne par Vabsurde en supposant. ¢ = 7 avec p € Z et q € N*. a. Montrer que pour tout n € N*, an 1 alors lim Un = +00. Un = cos(n) n’admet pas de limite. : n—-+o0 7 - j tet _ 1 Indication : cos(a) cos(b) = 3 (cos(a +b) + cos(a — b)). s er is = on ne peut rien concture. Be Observer que dans le cea n? Pp Exercice 12: Soit (up) une suite réelle telle que 4, Application : Calculer im, 7 et im, a (a € R4). sg i Vn, pe N*, 0< Ungp < ——. Exercice 7: np 1/2 Lydex : 1TSI-2 TD 11: Suites numériques Scanned with CamScanner Montrer que (un) tend vers 0. 3. En déduire ae Vp ———+ £ In Q Py Exercice 13: Soi (tm) une suite réelle telle que Exervice 22: vee (won); (u2n41) et (wan) convergent. Montrer que (tn) a a 1. En exploitant la formule du bindme de Newton montrer que, pour tout n € N, (3 + V5)" + (3 — V5)" est un ent {a Exercice 14: Pour tout n € N*, on pose H, = > $ pair. k=1 1. Btudier la monotonie de (Hp). 2. En déduire que la suite de terme général 2. Montrer que : vn €N*, Hon — Ha > q uy = sin ((3 + V5)"n) converge et déterminer sa limite, 3, En déduire que : lim Hy = too. »Exercice 23: — Déterminer les bornes des ensembles sui- | , “n-b400 vants : \ Exercice 15: Soit a > 0 et (u) la suite définie par : nm . 1 | = wee mmen} p= {24 (ayinen} | ug=a_ et Wn EN, Ungi = Un tur. 11 \ . , = {E+ 5 (um) en xn D =)0,1[N@ 1. Etudier la monotonie de la suite (un). a | > En dedus AExercice 24: Soit A une partie non vide bornée de R. | + En déduire que: Wn EN, un > 0. Montrer que : sup {|x — y|:2,y € A} = sup Aint A. \ 3. En déduire que un [>= too. yExercice 25: Soit rR. \ fn op lel | Exercice 16: On pose pour tout n@N* : Sp = Le dq, Mantret ques i, a. kel 2. Montrer que: lim /n?+2[na] - Vn? = 2. 1. Etudier la monotonie de la suite (Sn). Bai 2. Vérifier que : Wk > 2, 1 (—1)*up. u 0 L+un notes k=0 "nto 1. Montrer que (San) et (S2n41) sont adjacentes. 2. On suppose que "> wn ___, 0 et (un) est bornée. +uz n++00 2. En déduire que (Sp) converge. Montrer que tn ——— 0. N->+00 Exercice 18: Soit (up) une suite de nombre réels. Exercice 27: Pour tout n €N, on pose 1. On suppose que (u,) est croissante et qu’elle admet une a s,<— en a suite extraite convergente. Que dire de (un)? Sn => aE ot ne 3 —. k=) k=1 2. On suppose que (un) est croissante et qu’elle admet une suite extraite majorée. Que dire de (un)? 1, Etablir que pour tout p > 1, X®xercice 19 : Donner I’expression du terme général et la rr a < 1 < ft Lian. limite de la suite récurrente réclle (tn)nz0 définie par : p P Sprit L. uy =Oet Wn EN, tng = 2un +1, Een déduire la limite de (S,). 2. uy =00t WHEN, tng = y 2. Ktablir que S%,, = Su. XBxercice 20: Donner |’expression du terme général des | 3. En déduire la limite de (S),). suites récurrentes (up) suivantes : Exercice 28: Soit @ > 0. Montrer que 1. Unde = 3tng1 — 2tn, Uo = 3 et m=5. ; . a siazl 2. tinea = 4ting1 — Attn, Uo = Let uy = 0. lim, Viel = { Oo etaon ine ~ as ~ a uo = Leb = 2 Exercice 29: Soit (un) une suite réelle convergeant vers 4. = —-—,u=letu=—-l. leR. Unt2 Unt1 Un _ Exercice 21: Soit (um) une suite croissante de limite 21.1. Montrer que si £€ R\Z alors [vn] —{? (2). n-+00 On pose i e peut rien conclure sur la uy tet Un 2. Montrer que si £ € Z on ne pt Un a . convergence de (|tn]). 1. Montrer que (vm) est croissante. Exercice 30: Soit (u») une suite & valeurs dans Z, conver- Un + Un 2, Etablir que van 2 ——y— gente. Montrer que (un) est stationnaire. yo Ame Scanned with CamScanner LYCEE D’EXCELLENCE DE BENGUERIR - CPGE - | Année scolaire : 2020-2021 Classe : 1TSI-2 [ Devoir Maison n°6 : corrigé Exercice 1 1. Soit p> 1. pel ptt Onaz¥relnpt th 2 <2, done: [ tars [ tee x p InP Pp P P P On a aussi : Vr € [p— 1.) i> > S done: f lar >/ Lael. P pit p-iP P wth 1 1 1 Alors : =dr< o < i = dg on encore : In(p + 1) - In(p) < = < In(p) — In(p— 1). p pat 2. Soit n € N*. En vertu de la question précédente, on a: Vk € [1,n]}, In(n +k +1) —In(n +h) <> + E< In(n + &) —In(n +k 1). Done : Stn +k4+)1)—-n(nt+hy< ve <0 +k)-In(n+k-1). Par des simplifications télescopiques, on in a a= In(n +1) < Sy < In(2n) — In(n) = In(2). in (222) <1n@2), alors lim. S, = In(2) grace au théoréme des gendarmes. n+l n3+ee Or lim In(2n+1)—In(n+1) = lim nore nto0 3. Raisonnons par récurrence sur n. rT log a (-E 11 Pourn=tonaSi= Joppa get =P a1 y= 7 done Sh= Sh. Soit n € N*. Supposons que S5,, = Sn. Montrons que $3,429 = Sn41- Ona: 2n+2 kel 2n rn a (ep SRD 1 Log 1 1 Sings = DO Sel ad 9+ SAS +2 1 1 -S d 1 ko Os “In+2> Gontk M42 kool on a effectué le changement d’indice = k—1 Mm+2” Sent1—l" MF2° Seny1—e OM Ainsi, d’aprés le principe de récurrence, $3,, = S, pour tout n € N*. 4, D’aprés la question 2, on a Sp > In(2). n—+00 1 Sh = "gs ai) Be Done : Sq = Sn z=? In(2) et Sina = Shu + 557 Goya In) Ainsi + Sy > In(2)- Exercice 2 1. Pour tout n €N, ona: Ung — Un = (Anz — Qug1) — (Ang — An) = Ante — 2ans1 + Ay 2 0. Done (1) est croissante. 2. Puisque la suite (an) est bornée, il existe M 2 0 tel que : Vn EN, Jan] < M. Done : Vn EN, |un| < langal + lan] < 240. D’oi la suite (u,,) est bornée et, comme elle est croissante, alors elle converge d’aprés le théoréme de la limite monotone. L a 3. a. Puisque £ > 0, alors Jim | ug > ry Done il existe np € N tel que : Vn 2 No, Un > z n> DM n°G: corrigé 1/2 Lydex : 1TSI-2 Scanned with CamScanner b. Soit n > ng +1. En vertu de la question a ona: Vk > no, up > £ : 2 n-1 n=1 D’ot: > UR > ~s k=no Kang 2 n-1 n—-1 n-1 Par ailleurs, on a = f£_é , on Ub = (@k41 — ak) = aq — Gn, et 05 = =z(n—n0). k=no k=n9 Keno? 2 ns : £ Ainsi (4) devient : an — an, > Pi — 7g) Ou encore ay > s(n — 1g) + Ang: dpa , mete £ c. D’aprés la question précédente, on a: ¥n > ng +1, an > 3 (2 No) + ang jee FOO (car £ > 7 ainsi an —— ea ro d’aprés le théoréme de minoration. Mais ceci contredit le fait que (a,,) est bornée, d’ot £ < L £ 4. Puisque ¢ < 0, alors lim Un < 3 Donc il existe ng € N tel que : Vn > 79, uy, < 3 Alors, pour tout n > 9 +1, n-1 n=1 l Qn — Ang = > un < > i gn — mo) k=no k=ng Dio: Wn > no +1. an < F(n — No) + ang Fore? 7% (car < 0), ainsi a, Fore’ 0 daprés le théoréme de n> n>+co majoration. Mais ceci contredit le fait que (a,,) est Bones, du coup £ > 0. 5. Il découle des questions 3 ct 4 que din Un = 0. Or (un) est décroissante selon la question 1, alors > Ya € Nyi, := Qny1 — a, 2 0. Ainsi (ay) est croissante. 6. Comme (a,) est croissante ct bornée, alors clle converge Wapreés le théoréme de la limite monotone. ee Qs . . Scanned with CamScanner 00 — Probléme 2 —<>01 OS Premiére partie aoe considére la fonction f définie sur Ri. par : f(x) = 2 — 1-In(z). a. Etudier les variations de la fonction f. V )y. Btudier les branches infinies de f et construire une allure de la représentation graphique. Nc. Déduire de l’étude des variations de f que : Vz € R',, In(x) < 2-1. \J2. a. Déterminer une primitive de la fonetion f. 1 Vb. Calculer : lim, [ f(x)dz. Ne. Calculer : wn, | S(z)de. Deuxiéme partie On considére Péquation différentielle (Ey) : cy’ — y = In(z), définie sur R}. 1Na. Résoudre l’équation homogéne associée. fb. Déterminer une solution particuliére de léquation complite. \fc. Exprimer ensemble des solutions de l’équation (1). d 2. Montrer que la fonction f est solution de l’équation (E1) telle que f(1) = 0. Troisiéme partie On considére ’équation différentielle (£2) = g2y! — xy! +y =1 -In(2), définie sur Ri. 2 homogtne associée 4 (Ez) de la forme x + x avec a € R. a a. Déterminer une solution de Véquati R une foncti J a. Justifier que z est deux fois dérivable sur R. fb. Pour 2 > 0, exprimer y(z), y'(2), et y!"(a) & Vaide de la fonction z et Inz. 5 et seulement si z est solution de Péquation (B3): 2" —22/+z2=1-t. siet s Vc. Montrer que y est solution de (EQ Ja. Déterminer l’ensemble des solutions de Véquation (E3). Vv e. En déduire l’ensemble des solutions de 1’é (définie dans la premiére pai quation (E2). ) J3. Démontrer que la fonction f rtie) est unique solution de l'équation (£2) telle que f(1) = 0 et f’(1) = 0. 2/2 Scanned with CamScanner