Matemática I Edilma Judith Díaz Julio Enrique Trujillo Daniel Vásquez, Summaries of Materials science

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Matemática I

Edilma Judith Díaz

Julio Enrique Trujillo

Daniel Vásquez

Revisión técnica

Agradecimiento

I

• 1. Funciones Prefacio IV
  • 1.1. Introducción
  • 1.2. Valor de una función
  • 1.3. Dominio y Codominio de una función
  • 1.4. Clasificación de las funciones
    • 1.4.1. Funciones algebraicas
    • 1.4.2. Gráfica de funciones polinomiales
    • 1.4.3. Funciones Trascendentales
  • 1.5. Operaciones con funciones
    • 1.5.1. Función suma y resta
    • 1.5.2. Función multiplicación y división
  • 1.6. Composición de funciones
  • 1.7. Función inversa
  • 1.8. Las funciones trigonométricas inversas
• 1. Límite y sus propiedades. Continuidad
  • 2.1. Introducción
  • 2.2. Cálculo del límite de funciones polinómicas
  • 2.3. Propiedades de los límites de funciones
  • 2.4. Límites Laterales
  • 2.5. Límites indeterminados
  • 2.6. Límites en el infinito
  • 2.7. Continuidad
  • 2.8. Límites Trigonométricos
• 1. La Derivada
  • 3.1. Introducción
  • 3.2. Derivada de una función
  • 3.3. Teoremas relacionados con el álgebra de funciones derivables
  • 3.4. Derivadas de las funciones trascendentes
    • 3.4.1. Derivada de la función logarítmica de base a
    • 3.4.2. Derivada de la función exponencial
    • 3.4.3. Derivada de las funciones trigonométricas ÍNDICE GENERAL III
  • 3.5. Funciones inversas e hiperbólicas
    • 3.5.1. Derivadas de las funciones trigonométricas inversas
    • 3.5.2. Derivada de las funciones hiperbólicas
  • 3.6. Derivadas de orden superior
  • 3.7. Derivación implícita
• 1. Aplicaciones de la derivada
  • 4.1. Introducción
  • 4.2. Máximos y Mínimos
    • 4.2.1. La existencia
    • 4.2.2. ¿En dónde se alcanzan los valores máximos y mínimos?
    • 4.2.3. ¿Cuáles son los valores extremos?
  • 4.3. Monotonía y concavidad
  • 4.4. Extremos locales y extremos en intervalos abiertos
  • 4.5. Graficación de funciones
  • 4.6. Optimización
• 1. Integral definida
  • 5.1. Introducción
  • 5.2. La Integral Indefinida
  • 5.3. La Integral Definida
    • 5.3.1. El Teorema Fundamental del Cálculo
  • 5.4. Área entre dos curvas
• Anexo

Prefacio

IV

Figura 1.

Nota: Comúnmente se usan las letras minúsculas f , g y h para representar una función. La notación f (x) se lee ” f de x” y es la imagen de x por la función f.

Piense en una función como una máquina que toma como entrada un valor x y produce una salida f (x). (Véase la figura 2). Cada valor de entrada se hace corresponder con un solo valor de salida. No obstante, puede suceder que diferentes valores de entrada den el mismo valor de salida.

Así, por ejemplo, f (x) = x^2 nos dice que la función f toma como entrada x y produce como salida x^2. De esta forma una entrada del valor 4 da como salida 16, lo que se puede escribir en la forma f ( 4 ) = 16.

Las funciones se pueden determinar de varias formas:

• Mediante una tabla de valores.
• Mediante su expresión analítica.
• Mediante su gráfica.

La expresión analítica se expresa en la forma y = f (x). Llamamos a la x variable in- dependiente y a la y variable dependiente. Cualquier valor en el dominio puede susti- tuirse por la variable independiente. Una vez seleccionado, este valor de x determina completamente el correspondiente valor de la variable dependiente y.

Ejemplo 1.1 Si f(x)=x − 1 entonces:

a) f ( 0 ) = 2 ( 0 ) − 1 = − 1 b) f (− 2 ) = 2 (− 2 ) − 1 = − 5

c) f ( 5 ) = 2 ( 5 ) − 1 = 9

d) f ( 2 + h) = 2 ( 2 + h) − 1 = 4 + 2 h − 1 = 2 h + 3 e) f ( 2 + h) − f (h) = [ 2 ( 2 + h) − 1 ] − [ 2 h − 1 ] = 2 h + 3 − 2 h + 1 = 4

Ejemplo 1.2 Si f (x) = x^4 encuentre f (− 2 ), f ( 2 ) y f (−x).

Solución

f (− 2 ) = (− 2 )^4 = 16

f ( 2 ) = ( 2 )^4 = 16

f (−x) = (−x)^4 = x^4

Ejemplo 1.3 Si f (x) = x^3 encuentre f (− 2 ), f ( 2 ) y f (−x).

Solución

f (− 2 ) = (− 2 )^3 = − 8

f ( 2 ) = ( 2 )^3 = 8

f (−x) = (−x)^3 = −x^3

En los dos ejemplos anteriores notamos que para f (x) = x^4 , f (−x) = f (x) y para f (x) = x^3 , f (−x) = − f (x). Esto da pie a la siguiente definición:

Definición 1.3 i) Una función f : A → B es par si f (x) = f (−x) para todo x ∈ A.

ii) Una función f : A → B es impar si f (x) = − f (x) para todo x ∈ A.

Si una función no cumple las condiciones i) o II) de la definición anterior no es par ni impar.

Práctica

1. Encuentre f (− 2 ), f (− 1 ), f ( 0 ) y f ( 2 ) en las siguientes funciones

a) f (x) = 3 x − 1

b) f (x) = 3 x^2 − x − 1

c) f (x) = (x^2 − 1 )^3 − 8

1. diga cúal de las siguientes funciones es par y cual es impar

a) f (x) = x^3 − x

b) f (x) = x^4 + 2 x^2 c) f (x) = x^3 − 4 x^2

d) f (x) = 4 x^2 + 1

1.3. Dominio y Codominio de una función

Para indicar la correspondencia de una función f se usa la notación

f : A → B

donde A denota el dominio y B el codominio o rango. La regla de correspondencia, junto con el dominio, determinan el rango. Por ejemplo, si A = {−1, 0, 1} y f : A → B es la correspondencia dada por f (x) = x + 2 entonces el codominio es B = {1, 2, 3}.

El dominio de una función, denotado Dom( f ) es el conjunto de números para los cua- les f (x) existe. De esta forma, los números que se deben excluir del dominio son aque- llos que causarían en la regla de correspondencia una división entre cero o la raíz cua- drada de un número negativo.

1. g(t) =

2 t + 6

1. g(t) =

t^2 + 1

1. g(t) =

t^2 − 1

1. g(t) =

4 − t^2

1.4. Clasificación de las funciones

Las funciones se clasifican en funciones algebraicas y funciones trascendentales.

1.4.1. Funciones algebraicas

Definición 1.4 Una función algebraica explícita es aquella cuya variable dependiente y se ob- tiene combinando un número finito de veces la variable independiente x y constantes reales por medio de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces.

Dentro de las funciones algebraicas tenemos un conjunto de funciones que llamamos ”funciones polinomiales y son aquellas cuya regla de correspondencia es un polino- mio”. Recuerde que el grado de un polinomio es el mayor exponente de la variable. Así podemos hablar de una función polinomial de grado n.

Definición 1.5 Una función polinomial de grado n, es aquella que tiene la forma

f (x) = an xn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0

donde an 6 = 0 y n es un entero positivo.

Todas las funciones polinomiales tienen como dominio al conjunto de números reales R , pero su codominio o rango varía dependiendo del tipo de función que sea. Casos particulares de funciones polinomiales son la función constante, la función lineal, la función cuadrática y la función cúbica las cuales definiremos a continuación indicando su codominio en cada caso y graficaremos casos particulares.

1.4.2. Gráfica de funciones polinomiales

La gráfica de una función f simplemente es la gráfica de la ecuación y = f (x). A continuación veremos la gráfica de ciertas funciones polinomiales

• Función constante

Se representa por f (x) = c, donde c ∈ R , y su gráfica es una recta paralela al eje X sobre c. Su codominio es el conjunto unitario Cf = {c}.

Ejemplo 1.5 Dada la función f (x) = 2 , construya la gráfica y busque el dominio y codominio.

Solución

Como x puede tomar cualquier valor D (^) f = R , y como el codominio son los valores de y, entonces Cf = 2. Algunos valores de la tabla quedan así:

x − 1 0 1 y 2 2 2

Figura 1.

• Función lineal

Son aquellas que se denotan con f (x) = mx + b, representa una recta en el plano cartesiano, donde m es la pendiente y b la ordenada en el origen. Su codominio es el conjunto de los números reales R. Ejemplo 1.6 Dada la función y = 2 x − 5 , encuentre el dominio, codominio y construya la gráfica.

En la función lineal tanto el dominio y codominio son iguales a los números reales D (^) f = R , y el Cf = R , y la tabla de valores es:

x − 1 0 1 y − 7 − 5 − 3

• Función Cuadrática

Una función cuadrática es un polinomio de segundo grado. Tiene la forma f (x) = ax^2 + bx + c, donde a, b y c son constantes, y a 6 = 0. Su gráfica es una parábola que es cóncava hacia arriba o hacia abajo dependiendo del signo de a. Su codominio es el intervalo [ f (− 2 ba , ∞) si a > 0, y (−∞, f (− 2 ba ] si a < 0, donde f (− 2 ba ) es la ordenada del vértice de la parábola.

Ejemplo 1.7 Dada la función y = x^2 , encuentre el dominio, codominio y construya la gráfica de la función.

Solución

• Función cúbica

La función cúbica se define como un polinomio de tercer grado; y tiene la forma: f (x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, a 6 = 0. El codominio de la función cúbica son todos los números reales.

Ejemplo 1.8 Dada la función y = x^3 − 2 , encuentre el dominio, codominio y construya la gráfica de la función. Solución

Como el exponente de x es impar entonces puede tomar todos los valores, por lo tanto domino son todos los números reales, y el codominio también es todo los números reales. La tabla de valores es: D (^) f = R , Cf = (−∞, ∞)

x − 2 − 1 0 1 2 y − 11 − 3 − 2 − 1 − 6

Figura 1.

Práctica

Dadas las siguientes funciones hacer un bosquejo de la gráfica y determinar su dominio y codominio

1. f (x) = − 3

2. f (x) = 2 − x

3. f (x) = 4 − 2 x^2

4. f (x) = x^3 − 3 x

5. f (x) = x^2 − 4

6. f (x) = 2 x + 1

1.4.3. Funciones Trascendentales

Las funciones trascendentes son las que no son algebraicas. Entre ellas tenemos las funciones logarítmicas, las exponenciales, las trigonométricas, las trigonométricas in- versas y las hiperbólicas. A continuación definiremos y graficaremos ciertas funciones trascendentales, expresando su dominio y codominio.

• Función exponencial

La función exponencial se denota por y = ex. Su dominio es el conjunto de los números reales y el codominio el intervalo (0, ∞).

Figura 1.

• Función logaritmo natural

La función logaritmo natural se denota por y = ln?x. Su dominio es el intervalo (0, ∞) y el codominio es el conjunto de los números reales.

Figura 1.

• Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas son 6: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. En este módulo solo veremos las tres primeras.

entre la función coseno. La notación de la función tangente es:

y = tan x =

sen x cos x

Por lo tanto la función coseno no puede tomar el valor de cero. Entonces el do- minio de la función tangente es:

D (^) f = R − {

n π 2

con n impar}

El codominio es el conjunto de los números reales La tabla de valores quedará así: x − 3 π − 4 π 0 π 4 π 3 y −

Figura 1.

1.5. Operaciones con funciones

Al igual que dos números a y b pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse para producir un nuevo número, se puede hacer lo mismo con dos funciones f y g para producir una nueva función. De esta forma, dadas dos funciones p(x) y q(x), se definen las siguientes funciones:

1.5.1. Función suma y resta

f (x) = p(x) + q(x)

g(x) = p(x) − q(x)

1.5.2. Función multiplicación y división

h(x) = p(x) · q(x)

i(x) =

p(x) q(x)

siempre que q(x) 6 = 0

En cada una de las operaciones anteriores el dominio es la intersección de los dominios de las funciones p(x) y q(x) excepto en el caso de la división en donde además se pide que Domq 6 = 0

Ejemplo 1.9 Para las funciones p(x) = 2 x + 3 y q(x) = x^2 + 2 x + 1 se tiene que

f (x) = (p + q)(x) = p(x) + q(x) = ( 2 x + 3 ) + (x^2 + 2 x + 1 ) = x^2 + 4 x + 4

g(x) = (p − q)(x) = p(x) − q(x) = ( 2 x + 3 ) − (x^2 + 2 x + 1 ) = −x^2 + 2

h(x) = (p · q)(x) = p(x) · q(x) = ( 2 x + 3 ) · (x^2 + 2 x + 1 ) = 2 x^3 + 4 x^2 + 2 x + 3 x^2 + 6 x + 3 = 2 x^3 + 7 x^2 + 8 x + 3

i(x) =

p q

(x) =

p(x) q(x)

2 x + 3 x^2 + 2 x + 1

El dominio de las funciones de las f (x), g(x), h(x) anteriores es todo R. El dominio de la función i(x) es R − { 1 }.

Práctica

Para las siguientes funciones determine f (x), g(x), h(x) e i(x) y sus repectivos domi- nios.

1. p(x) = x y q(x) = x^2 − 1.

2. p(x) = 2 x − 1 y q(x) = 3 + x.

3. p(x) =

x − 4 y q(x) =

x + 4.

1. p(x) = 2 x y q(x) =

x

1.7. Función inversa

Una vez que ya hemos visto la función compuesta, vamos a estudiar ahora el concepto de función inversa. Antes damos la siguiente definición.

Definición 1.7 (Función inyectiva) Se dice que una función es inyectiva si cada número en el codominio de f se asocia con exactamente en su dominio.

Para verificar que una función f es inyectiva se debe comprobar que

f (a) = f (b) implica quea = b

Definiremos a continuación el concepto de función inversa.

Definición 1.8 Sea f una función inyectiva con dominio X y codominio Y. Si existe una función g con dominio Y y codominio X tal que:

i) f (g(x)) = x para toda x ∈ Y.

ii) g( f (x)) = x para toda x ∈ X.

entonces decimos que las funciones f y g son inversas una de la otra. En tal caso denotamos f −^1 la función inversa de f.

En otras palabras, si intercambiamos las coordenadas del par ordenado (x, f (x)) obte- nemos ( f (x), x), que son los puntos de la función inversa f −^1. Es decir, el dominio de f es el codominio de f −^1 y el codominio de f es el dominio de f −^1.

Observación: f −^1 (x) no significa (^) f (^1 x).

Pasos para calcular la inversa de una función.

Ejemplo 1.11 Determine la inversa de la función f (x) = 2 x + 7.

Primero: Se determina que la función es inyectiva

f (a) = f (b) implica que 2 a + 7 = 2 b + 7 implica que a = b

Segundo: Se despeja x en términos de y

y = 2 x + 7 implica que x =

y − 7 2

Tercero: Se intercambia la x por la y, donde se obtiene la función inversa

f −^1 (x) =

x − 7 2

Las funciones encontradas satisfacen que

f ( f −^1 (x)) = f −^1 ( f (x)) = x

como lo puede comprobar el lector.

Observación. La función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial y viceversa, es decir, si f (x) = ln x y g(x) = ex^ entonces

( f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (ex) = ln ex^ = x

y

(g ◦ f )(x) = g( f (x)) = g(ln x) = eln^ x^ = x

Sus gráficas se presentan en la siguiente figura.

Note que las gráficas son simétricas con respecto a la recta y = x.

Práctica

Diga cuál de las siguientes funciones posee inversa. En caso afirmativo calcularla.

1. y = x + 5

2. y = 2 x − 4

3. y =

x x − 1

1. y =

x − 2

1. y = x^2 − 3

2. y = x^3 − 2

3. y =

x − 2 − 3

1.8. Las funciones trigonométricas inversas

Ya conocemos las operaciones inversas. Por ejemplo, la suma y la resta, la multiplica- ción y división son operaciones inversas, al igual que la potenciación y la radicación. Cada operación hace lo opuesto de su inversa.

La idea es la misma en trigonometría. Las funciones trigonométricas inversas hacen lo opuesto de las funciones trigonométricas normales. Por ejemplo,

• Seno inverso sen−^1 hace lo opuesto del seno.
• Coseno inverso cos−^1 hace lo opuesto del coseno.
• Tangente inversa tan−^1 hace lo opuesto de la tangente.

De esta forma se tiene que

• y = sen−^1 x sí y solo si x = sen y.
• y = cos−^1 x sí y solo si x = cosy.